高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀课后测评，文件包含52导数的运算精讲原卷版docx、52导数的运算精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。


考点一 导数公式求函数的导数
【例1】（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【一隅三反】
1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，
可得.
2．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；
(7)；(8).
【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
【解析】（1），.
（2）.
（3）.
（4），.
（5），.
（6）.
（7）.
（8）.
考点二 运算法则求函数的导数
【例2】（2023秋·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)
(3)(4)
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【一隅三反】
1．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）求下列函数的导数．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）
（2）
（3）．
（4）．
2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
3．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；(4)
(5)；(6)．
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【解析】（1），
（2），
（3），
（4），
（5）
（6）
考点三 求复合函数的导数
【例3】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有．
（2）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有．
（3）函数可以看作与复合而成，
根据复合函数求导法则有.
【一隅三反】
1．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）令，则，
所以，，
所以.
（2）令，则，
所以，，
所以.
（3）令，则，
所以，，
所以.
（4）令，则，
所以，，
所以.
2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以
（4）因为，所以
考点四 切线方程
【例4】（2023·云南）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)，切点为
【解析】（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
【一隅三反】
1．（2023春·广东惠州·高二统考期中）已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为，所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）解：设切点为，则，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，即，解得，
故所求切线方程为．
2．（2023秋·高二课时练习）已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过原点的切线方程及切点坐标.
【答案】(1)
(2)，
【解析】（1），
在点处的切线的斜率为，
切线的方程为，即；
（2）设切点为,，
则直线的斜率为，
直线的方程为，
又直线过点，
，
整理得，，
，
，
．
直线的方程为，切点坐标为．
考点五 切线方程的应用
【例5-1】（2022·高二课时练习）已知和曲线相切的直线的倾斜角为， 则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，得,
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为，即，又，
所以的取值范围为．
故选：D．
【例5-2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
【答案】5
【解析】由，得，由，解得，
则直线与曲线相切于点，
∴，得，
∴直线是曲线的切线，
由，得，设切点为，
则，且，联立可得，
解得，所以．
∴．
故答案为：5．
【例5-3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
【一隅三反】
1．（2023·北京）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 .
【答案】2
【解析】设是图像上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故答案为：
2．（2023春·安徽亳州·高二涡阳四中校考阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由可得：
设直线与曲线相切于，则有.
所以切线方程可表示为，即.
由可得：
设直线与曲线相切于，则有.
所以切线方程可表示为，即.
所以，消去s，整理得：，解得：，所以.
所以斜率.
故答案为：
3．（2023秋·高二课时练习）点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最短距离为
【答案】
【解析】由题，
令，
解得或（舍）．
曲线上距离最近的点坐标为，
则所求距离为：.
故选：D.
4．（2023·高二课时练习）已知曲线．
(1)求曲线在点处切线的方程；
(2)设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为，则，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，即，
又因为，所以，，
故的取值范围是.
考点六 实际应用
【例6】（2022·高二课时练习）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A．20天B．30天C．45天D．60天
【答案】D
【解析】由得，
因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，解得，
则，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
所以，即，所以，解得.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：）与时间t（单位：h）满足函数关系．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)已知摄氏度x与华氏度y（单位：）满足函数关系，求y关于t的导数，并解释其实际意义．
【答案】(1)，实际意义见解析；
(2)，实际意义见解析.
【解析】（1）由，求导得，
所以，在第1时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第1附近，汽水温度大约以的速率下降.
（2）依题意，，求导得，
所以y关于t的导数为，在第时，汽水温度的瞬时变化率为，
说明在第附近，汽水温度大约以的速率下降.
2．（2023秋·高二课时练习）吹一个球形的气球时，气球半径将随空气容量的增加而增大．
(1)写出气球半径关于气球内空气容量的函数表达式；
(2)求时，气球的瞬时膨胀率（即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率）．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）利用球的体积公式直接可得，即，
所以气球半径关于气球内空气容量的函数表达式为
（2）由（1）知，所以，
当时，，
即时，气球的瞬时膨胀率.