2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市泰兴市九年级上学期数学期末试题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 2x+y＝1B. x2+3xy＝6C. x+＝4D. x2＝3x﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.
2. 若2x＝5y，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积计算，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
详解】解：A、由可得，2y=5x, 故本选项符合题意;
B、由可得，2x=5y, 故本选项不符合题意;
C、由可得，5(x+y)=7x,即2x=5y, 故本选项不符合题意;
D、由可得，2(x-y)=3y, 即2x=5y, 故本选项不符合题意;
故选A.
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键．
3. 在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
4. 已知一组数据、、、的平均数是3，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据、、、、3，则新数据与原数据相比，方差将（ ）
A. 不变B. 变大C. 变小D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据原数据、、、的平均数是3，可表示出原数据的方差，在这组数据后再添加数据3得到一组新数据、、、、3的平均数还是3，再表示出新数据的方差，比较大小即可.
【详解】∵、、、的平均数是3，
在这组数据后再添加数据3得到一组新数据、、、、3的平均数还是3，
那么这组新数据的方差为
∴新数据与原数据相比，方差将变小.
故选：C
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式.
5. 如图，四边形内接于，，，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示（见详解），连接，根据，，可求出，，根据圆周角于圆心角的关系即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，掌握圆的等弦对等弧，等弧对等角，同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半的知识是解题的关键．
6. 已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A. 图像开口向下B. 图像经过原点
C. 当时，随的增大而减小，则D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数化成顶点式为，再根据二次函数的性质进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意；
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意；
把代入，得，
∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 方程的解为_____________．
【答案】，
【解析】
【分析】利用分解因式法解方程即可.
【详解】
或
得，
故答案为: ，
【点睛】本题主要考查了分解因式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_____________．
【答案】（）cm
【解析】
【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.
【详解】为的黄金分割点，
故答案为：（）cm.
【点睛】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的.
9. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数平移的方法即可得出结论.
【详解】将抛物线向上平移3个单位长度得
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与几何变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键.
10. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，，
∴．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
11. 一个圆锥的底面半径和高都是，则圆锥的侧面积为_____________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理可得圆锥母线长，则圆锥侧面积＝×底面周长×母线长．
【详解】解：由勾股定理知：圆锥母线长，
则圆锥侧面积，
故答案为：
【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算公式应用．需注意应先求出母线长．
12. 已知锐角中，，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长．
【详解】如图，过点作于点，
设，
，,
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
13. 已知、是方程的根，则式子的值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用根与系数的关系得到，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值．
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则，正确的计算是解决本题的关键．
14. 如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．
【答案】26
【解析】
【分析】根据垂径定理得，设圆的半径为R，根据勾股定理列方程求出R即可.
【详解】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
∵为的中点，为弧的中点，
∴三点共线，且
,
在Rt中，根据勾股定理得
解得
故答案为：26
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
15. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为4，将的面积和的面积计算出来，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求出此点取自黑色部分的概率.
【详解】设正方形的边长为4，
则,且
是等腰直角三角形

∵Rt中，
∴此点取自黑色部分的概率是
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.
16. 如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为．连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】证明，从而说明，则点在以为直径半圆上运动，设圆心为，利用勾股定理求出，然后分、、三点共线与、、三点不共线两种情况讨论即可．
详解】解：矩形中，，，
∴，，
设运动时间为，则，，
∴，
又∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上运动，设圆心为，连接，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
在中，，
当、、三点共线时，，
∴，
当、、三点不共线时，点为半圆上任意一点，
∴，
∴，
∴，
综上所述，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分相等成比例，勾股定理，角所对的弦是直径，三角形三边关系定理等知识点．掌握相似三角形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先算开立方，0次幂及特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可.
（2）运用配方法或公式法解此方程即可.
【详解】（1）解：原式
（2）解：
，
【点睛】本题主要考查了实数的运算及一元二次方程的解法.熟练掌握开立方运算，0次幂，特殊角的三角函数值及一元二次方程的解法是解题的关键.
18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）取一个合适的的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到，解不等式即可解答；
（2）可取或，代入原方程中，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：可取或，
若时，方程为，解得，．
若时，方程为，解得．
（或写一种情况即可）
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
19. 某学校要调查该校学生（学生总数1200人）双休日的学习状况，采用下列调查方式：①从一个年级里选取200名学生；②选取学校里200名女学生；③按照一定比例在三个不同年级里随机选取200名学生．
（1）上述调查方式中最合理的是__________；（填写序号即可）
（2）将最合理的方式调查得到的数据制成频数分布直方图（如图1）和扇形统计图（如图2），在这个样本中，200名学生双休日在图书馆等场所学习的有__________人；
（3）在（2）的条件下，请估计该学校1200学生双休日学习时间不少于4小时的人数．
【答案】（1）③ （2）60
（3）852人
【解析】
【分析】（1）根据题意可得本次调查最合理的是抽样调查，即可.
（2）用样本容量乘以在图书馆等场所学习的人所占的百分比即可求出在图书馆等场所学习的人数.
（3）先算出样本中学习时间不少于4小时的频率，再用全校总人数乘以双休日学习时间不少于4小时的频率即可.
【小问1详解】
根据题意可得上述调查方式中最合理的是：③按照一定比例在三个不同年级里随机选取200名学生．
故答案为：③
【小问2详解】
在这个样本中，200名学生双休日在图书馆等场所学习的人数为人，
故答案为：60
【小问3详解】
样本中学习时间不少于4小时的频数：
频率：
估计该校双休日学习时间不少于4小时的人数为人
【点睛】本题主要考查了普查和抽样调查的特点，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，会根据图像获得相关信息.
20. （1）如图，将“二”“十”“大”三个汉字随机填写在三个空格中（每空填一个汉字，每空中的汉字不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右汉字顺序恰好是“二十大”的概率；
（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将“祖”“国”“你”“好”四个汉字任意填写其中（每空填一个汉字，每空中的汉字不重复），从左往右汉字顺序恰好是“祖国你好”的概率为___________．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）画树状图将可能出现的结果表示出来，再根据概率公式计算所求结果的概率；
（2）画树状图将可能出现的结果表示出来，再根据概率公式计算所求结果的概率．
【详解】解：（1）画树状图将可能出现的结果表示如下，
∴恰好是“二十大”的概率为；
（2）画树状图将可能出现的结果表示如下，
∴恰好是“祖国你好”的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表把所有可能的结果表示出来，计算概率的方法是解题的关键．
21. 如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得.
（2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值.
【小问1详解】
四边形是平行四边形
，
，
【小问2详解】
四边形是平行四边形
设
由（1）得
，
四边形是平行四边形
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
22. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
（1）给出下列信息：①；②；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
（2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③，证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）证明是的切线，根据，，可证明，由此即可求证；
（2）如图所示（见详解），作于，在中，可求出，在中，可求出，，，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①，
以选择①②可证明③为例证明，
证明：如图所示，连接，
，
，
，
，即，点在上，
∴与相切．
故答案为：①②，③．
【小问2详解】
解：如图所示，作于，
在中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明，不规则图形的面积，掌握圆的切线的证明方法，观察图形的组成部分，几何图形的面积计算方法是解题的关键．
23. 如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔（）的高度．在古塔所在的地平面上选定点．在处测得古塔顶端点的仰角为，小明遥控无人机悬停在点正上方的处时，测得古塔顶端点的俯角为，若此时无人机显示屏上显示其离地面的高度（）为．求古塔（）的高度以及观测点到古塔的水平距离（）．（参考数据：，，）
【答案】古塔的高度为，观测点到古塔的水平距离为
【解析】
【分析】作于，设，分别在和中解直角三角形得到，，然后利用列方程求解x即可解答．
【详解】解：作于，则，，
设，
在中，
，
；
在中，
；
，
，解得，
，
，
答：古塔的高度为，观测点到古塔的水平距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、一元一次方程的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键．
24. 一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为元/千克时，一天销售总质量为千克．
（1）求与的函数关系式．
（2）若水果店货源充足，每天以固定价格元/千克销售，试求出水果店每天利润与单价的函数关系式，并求出当为何值时，利润达到最大．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设该商品价格为元/千克，根据“以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价”，得到销售总质量与的函数关系式．
（2）根据利润=每千克利润×销售总质量，得到有关利润的二次函数求最值即可；
【小问1详解】
由题意可得，
【小问2详解】
由题意可得，
当时，利润达到最大
答：当时，利润达到最大
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是了解利润和售价，销售量之间的关系．
25. 数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片．
（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数．
（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点．
①如图2，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形．试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹．
②在①的条件下，取的内心，则___________．
③如图3，当在弧上三等分点S、之间（包括S、两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度．
【答案】（1）
（2）①图见解析，说明见解析；②；③不变，
【解析】
【分析】（1）根据折叠得出，证明是等边三角形，，同理得出，即可得出的度数；
（2）①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、即可；
②设，则，，，求出，根据，得出，求出x，即可得出答案；
③取中点，连接，，，作交于点，设，，则，，，根据勾股定理得出，最后在中，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由折叠可得，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
；
【小问2详解】
解：①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、得；
根据作图可知，，
根据折叠可知，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
②根据解析①可知，为等边三角形，，
∴内心的内心N在上，，，
设，则，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．
③不变，理由如下：
如图，取中点，连接，，，作交于点，
设，，则，，，
在中，，
为的中点，
，
在中，，
在中，，
即有化简得，
在中，
；
即，的值不变．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质．
26. 阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图像上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若，求出，的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．
【答案】（1）；
（2）是在轴上，理由见解析
（3）①是，；②
【解析】
【分析】（1）直接根据中点坐标公式求解即可；
（2）先根据题意以及坐标与图形性质分别求出点A、C、D、E、F坐标，进而可得结论；
（3）①利用中点坐标公式和坐标与图形性质，结合已知可求得，，进而可得到，可得结论；
②根据题意和两点之间线段最短可知，当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，利用两点坐标距离公式和二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，是中点，
∴，，
；
，，是中点
，，
；
【小问2详解】
解：是在轴上，理由如下：
，点是关于轴的对称点，
，
是中点，是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在轴上；
【小问3详解】
解：①，，是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点．延长至，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②∵是轴上一点，是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了中点坐标公式、坐标与图形性质、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式、两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．