2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市东丽区九年级上学期数学期末试卷及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解∶A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、含2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
3. 抛物线向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原抛物线的顶点坐标，再把点向右平移3个单位长度得点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式．
故选A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解答本题的关键．
4. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 标准大气压下，通常加热到，水会沸腾B. 明天太阳从东方升起
C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数D. 从装有黑球、白球的袋里摸出绿球
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】A．标准大气压下，通常加热到100℃，水会沸腾，是必然事件，故错误；
B．明天太阳从东方升起，是必然事件，故错误；
C．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故正确；
D．从装有黑球、白球的袋里摸出绿球，是不可能事件，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
6. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键．
7. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ）
A 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可．
【详解】解：,
在中,
由旋转的性质得
在 中，
故选：B
【点睛】本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 二次函数的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数解析式求得对称轴是，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，
∴另一个交点的坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线图像的对称轴．
9. 从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：从一副扑克牌中随机抽取一张是6的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键．
10. 正方形边长为4，则其外接圆半径为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于E，连接，在中，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：作于E，连接，则，．
在中，
故选B．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11. 用一条长为的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可能的是（ ）
A. 64B. 96C. 100D. 101
【答案】D
【解析】
【分析】设围成面积为，矩形形的长为,则宽为，然后根据矩形的面积公式表示出，此时可以将方程看成是一个关于的一元二次方程，根据方程的根的判别式即可得到的取值范围，即可得解．
【详解】解：设围成面积为，矩形形的长为,则宽为,
依题意得
整理得,
由于此方程有解，则,
解得,
值不可能为101
故选：D
【点睛】本题考查矩形的相关知识以及一元二次方程的应用，解题关键根据一元二次方程根的判别式得解．
12. 二次函数的图象与x轴交于，其中，下列三个结论：①；②；③．正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点可依次确定a、b、c的符号，进而可判断①；根据对称轴的位置可得a、b的关系，再根据当时，，把得出的a、b的关系式代入整理即可判断②；易判断，展开整理再结合即可判断③．
【详解】解：①已知，
∵图象与x轴交于，其中，
∴抛物线对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
②∵图象与轴交于两点，，其中，
∴，
∴，
当时，，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故②错误；
③∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，所以③正确．
综上，正确的是①③，共2个，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 一元二次方程的两根之和为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由根与系数的关系得：一元二次方程的两根之和为，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．
14. 掷一枚质地均匀的骰子时，观察向上一面的点数，点数大于2且小于5的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由掷一个骰子，共有6种等可能的结果，点数大于2且小于5的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷一个骰子，共有6种等可能结果，点数大于2且小于5的有2种情况，
∴点数大于2且小于5的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 点与点关于原点对称，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
16. 如图，的半径为3，在上，若，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连结、，根据圆周角定理求出的度数，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】连结、，如图：
∵，
∴，
为等腰直角三角形
∵的半径是3，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
17. 如图，在中，，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出三角形的高，再用三角形面积减去扇形面积即可求出阴影部分面积．
【详解】如图，过点A作于点G，
连
∵
∴．
．
【点睛】本题考查三角形面积公式和扇形面积公式，细心观察，发现阴影部分面积是三角形面积与扇形面积的差是解题的关键．
18. 当，函数的最小值为1，则的值为____________．
【答案】-1或2
【解析】
【分析】利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：在上，当y=1时，有，
解得：，.
∵当时，函数有最小值1，
结合函数图像可知，m=2或m+1=0，
∴m=2或m=-1，
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图像上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】(1);(2)
【解析】
分析】(1) 方程利用配方法求出解即可；
(2) 方程利用因式分解法求出解即可.
【详解】(1) 移项,得:x2-4x=6
两边同时加上4,得:x2-4x+4=10
配方,得:(x-2)2=10
两边开方,得:x-2=
移项,得:x=2
(2)
分解因式得：(x-3)(x+1)=0
可得x-3=0或x+1=0
解得：.
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
20. 一个不透明的口袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4，随机抽取1张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片．
（1）用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果；
（2）求两次抽出数字之积为偶数的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据所有可能的情况有16种，其中两次抽出的数字之积为偶数的结果有12种，可得两次抽出数字之积为偶数的概率．
【小问1详解】
解： 列表如下：
【小问2详解】解：所有可能的情况有16种，
其中两次抽出的数字之积为偶数的结果有12种（记为事件A）
【点睛】此题考查了列表法和概率计算公式，读懂题意列举出所有可能情况是解题关键．
21. 如图，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）线段的长为___________；
（2）画出绕C点顺时针旋转的图形，并写出的坐标；
（3）直接写出点A绕点C顺时针旋转所走过的路径长为___________．
【答案】（1）；
（2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质作图即可，由图可得答案；
（3）点A所走的路径长即为的长，利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
∴；
【小问3详解】
解：由题意得，点A绕点C顺时针旋转所走过的路径长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，求弧长，坐标与图形变化——旋转，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 如图，在中，弦，且于E，连接，若，求的半径．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，由弦，可得，继而可得，然后由圆周角定理，证得，由，可求得，继而可得是直角三角形，则可求得，最后由勾股定理可解决问题．
【详解】证明：∵，
，
∴
∵
∴
∴
连接，
∴
∵
又∵，
∴
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线和运用数形结合思想．
23. 运动员将一个小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示：
（1）求h与t之间的函数表达式（不要求写出t的取值范围）；
（2）小球从飞出到落地要用多长时间？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）求出当时t的值即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数表达式为
根据题意把，，代入得：
解得
∴与之间的函数表达式为
【小问2详解】
当时，，解得，，
∴小球从飞出到落地需要．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
24. （1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交，于点E，F，且，连接，若，探究：线段之间的数量关系，并说明理由．
（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你证明结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．
（3）解决问题：如图（3），在中，，，点D，E均在边上，且，若，计算的长度．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转，得到，据此知．证得，从而得出答案；
（2）将绕点A顺时针旋转α得到，知，证得；
（3）将绕点A逆时针旋转90°，得到，连接．据此知，由知，即，从而得．易证得，根据可得答案．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，将绕点A顺时针旋转，得到，
∵四边形中，，，
∵，，
∴，即点F，D，G共线．
由旋转可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴；
（2）成立．；
证明：设，则，
如图，将绕点A顺时针旋转α得到，
∴．
∵，
∴，
∴点C，D，H在同一直线上．
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，，即，
∴．
∵，
∴，即，
解得．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查旋转变换的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的有关性质等．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线经过B，C两点，则________；_________；
（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2），；
（3）；
（4）存在，，，，
【解析】
【分析】（1）把点两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可；
（2）利用待定系数法可得和的值；
（3）由(2)知直线的解析式为，再确定抛物线的对称轴方程，设直线与直线相交于点，根据轴对称的最短路径可知此时的值最小，从而得到此时点的坐标；
（4）存在，分情况讨论：以为腰和底边，分别画图，进而即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线过，
解得
抛物线的解析式为
【小问2详解】
解： 把代入中得：
解得：
故答案为：1,6
【小问3详解】
解：如图1，由(2)知：直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线
直线与直线相交于点，则，此时最小，
此时点的坐标为
【小问4详解】
解： ,
分三种情况：
①，如图2，此时点的坐标为或
②当，此时与重合时，也是等腰三角形，此时;
③当，此时垂直平分，如图3，此时点的坐标为
综上所述，点的坐标为，，，
【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、三点共线求最短路线的长度以及等腰三角形的性质，要求学生熟练掌握．
1
2
3
4
1
（1 ，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1 ，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
t（单位：s）
0
1
2
h（单位：m）
0
15
20