2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中考试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市河北区九年级上学期数学期中考试卷及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
可知A、B、D是中心对称图形；
选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
2. 在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （﹣4，﹣5）B. （﹣4，5）C. （4，﹣5）D. （4，5）
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案．
【详解】解：点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标为：（﹣4，5）．
故选B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
3. 二次函数得顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：D．
【点睛】本题考查是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式．
4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】解：将抛物线y=-x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解析式是y=-（x-2）2+5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
5. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，直接计算判别式，确定符号即可确定答案．
【详解】解：一元二次方程，
，
一元二次方程没有实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根是解决问题的关键．
7. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24°，则∠ABD=（ ）
A. 54°B. 56°C. 64°D. 66°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=∠BCD=24°，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-24°=66°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质可以得到，然后根据，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到的度数．
【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
即的度数为，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向和对称轴，根据，，与对称轴的距离大小关系求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
10. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 二次函数的图象开口向下，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和二次函数的性质即可求解．
【详解】 二次函数的图象开口向下，
，



（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是明确．
12. 二次函数的对称轴是直线________．
【答案】
【解析】
【分析】二次函数，对称轴为直线，代数计算即可．
【详解】解：已知二次函数，，
所以对称轴为直线，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记其性质是解题的关键．
13. 若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则它的内切圆半径为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据三角形的两种面积计算方法可以得到解答．
【详解】解：设三角形内切圆的半径为r，则由题意得：
， 解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
14. 如图，四边形内接于，若，则等于________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
15. 和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．
【答案】4．
【解析】
【分析】由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD＝OC−OD求出CD．
【详解】解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD＝＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4（m）．
故答案为4．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
16. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA＝6，∠APB＝60°，则OC的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质和切线长定理可得OA⊥PA，∠APO=30°，PA=PB，根据直角三角形的性质可得OA=2CO，根据勾股定理可求AO的长，即可求OC的长．
【详解】解：如图，连接OA，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=6，∠APB=60°，
∴OA⊥PA，∠APO=30°，PA=PB，
∴∠AOC=60°，AB⊥PO
∴∠CAO=30°
∴AO=2CO，
在中，
∴
∵
∴
∴
∴CO=
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．
17. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由旋转确定，得到，，确定垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【详解】解：如图所示，连接，
由旋转可得，，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
且
设，则，，
，
，
中，，即，解得，
的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18. 如图，在中，，的半径为4，点P是上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最小值．
【详解】解：连接OP，OQ，
∵PQ与圆O相切，
∴∠PQO=90°，
∵OQ不变，
∴当OP最小时，PQ最小，
此时OP与AB垂直，
∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∴OP==，
∴PQ==，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
三、解答题（共46分）
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先整理为一般式，再用因式分解法进行计算即可．
【详解】解：，
整理得：，
因式分解可得：，
则或，
解得：
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记各种解法是解题的关键．
20. 如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出的值，再由解析式求出顶点坐标即可；
（2）当时，由图象可直接得出y的取值范围
【小问1详解】
解：将，两点坐标代入，
可得：，
解得：，
，
化为顶点式：，则顶点坐标为
小问2详解】
解：由图得当时，在对称轴右侧，此时y随x的增大而减小，
时，， 时，，
所以y的取值范围为：
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，以及图象与性质，牢固掌握待定系数法及其性质是解题的关键．
21. 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元．每天销售额为y元．
（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：
（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）
【答案】（1）35-x，50+2x；（2）y=-2（x-5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35-x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；
（2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35-x）（50+2x），配方后得到y=-2（x-5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．
试题解析：（1）35-x，50+2x；
（2）根据题意，每天的销售额y=（35-x）（50+2x），（0＜x＜35）
配方得y=-2（x-5）2+1800，
∵a＜0，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．
考点：二次函数的应用．
22. 在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC=58°．
（1）如图①，若∠APC=100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（2）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【答案】（1）∠BAD=42°，∠CDB=32°；（2）∠E=26°．
【解析】
【分析】（1）由三角形的外角性质得出∠C=42°，由圆周角定理得∠BAD=∠C=42°，∠ADC=∠ABC=58°，∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）连接OD，求出∠PCB=32°，由切线的性质得出∠ODE=90°，由圆周角定理得出∠BOD=2∠PCB=64°，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C=∠APC-∠ABC=100°-58°=42°，
由圆周角定理得：∠BAD=∠C=42°，∠ADC=∠ABC=58°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-58°=32°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CPB=90°，
∴∠PCB=90°-∠ABC=90°-58°=32°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∵∠BOD=2∠PCB=64°，
∴∠E=90°-∠BOD=90°-64°=26°．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．
（1）如图①，若α＝90°，求AA'的长；
（2）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；
（3）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理可得出答案；
（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，则可得出答案；
（3）根据旋转时，点M的位置即可得出MN的最大值和最小值．
【详解】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，
∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'＝＝＝5；
（2）如图②，若α＝45°，则∠OBO'＝45°，过点O'作O'C⊥OB于点C，
则∠O'CB＝90°，
∴BC＝CO'，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A'BO′，
∴OB＝OB'＝4，
∴BC＝CO'＝4×＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2，
∴O'（2，4﹣2）；
（3）在旋转过程中，点M与点N可能重合，重合时MN值最小为0；
AB在N点上方与y轴重合，且M点在点A时，MN最大，最大值：4-1+5=8，
∴MN的取值范围是MN≤8．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
【答案】（1），；
（2）△PAD的面积最大值为，P（1，）；
（3）（0，）或（0，-9）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；
（2）过点P作PEy轴交AD于E，设P（n，），则E（n，），根据，得到PE的值最大时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点（1，-6），设D交y轴于点，则∠AD=45°，分别求出直线DT，直线D的解析式即可解决问题．
【小问1详解】
解：将点A、B、D的坐标代入，，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线l经过点A，D，
∴设直线l的解析式y=kx+m，
，得，
∴直线l的解析式为；
【小问2详解】
如图1，过点P作PEy轴交AD于E，
设P（n，），则E（n，），
∵，
∴PE的值最大时，△PAD的面积最大，
∵
=，
∴当n=1时，PE的值最大，最大值为，
此时△PAD的面积最大值为，P（1，）；
【小问3详解】
如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），
设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点（1，-6），
则直线D的解析式为y=3x-9，
设D交y轴于点，则∠AD=45°，
∴（0，-9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线与y轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．
原价
每件降价1元
每件降价2元
…
每件降价x元
每件售价（元）
35
34
33
…
每天售量（件）
50
52
54
…