2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区九年级上学期数学期中试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】A.的分母含有自变量，故不是二次函数；
B.，是二次函数；
C.=x3+x的自变量的最高次数是3，故不是二次函数；
D.的自变量的次数是1，故不是二次函数；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
2. “a是实数，”这一事件是
A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属于哪一种类别.
【详解】∵a为实数，
∴，
∴该事件一定成立，是必然事件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 把一枚均匀的骰子抛掷一次，朝上面的点数为的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】抛一枚质地均匀的骰子，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，
故所求概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等可能情况下概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．属基础题
4. 关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ）
A. 当时，y有最小值0B. 当时，y有最大值0
C. 当时，y有最小值1D. 当时，y有最大值1
【答案】D
【解析】
【分析】先把二次函数解析式换成顶点式，即可得出最值．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
∴当时，y有最大值1；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5. 如图，已知扇形BOD， DE⊥OB于点E，若ED=OE=2，则阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得△ODE为等腰直角三角形，可得出扇形圆心角为45°，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵DE⊥OB，OE=DE=2,
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴∠O=45°，OD=OE=2.
∴S阴影部分=S扇形BOD-S△OED=
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，利用转化法求阴影部分的面积是解题的关键．
6. 若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，然后根据二次函数的对称性可直接进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，
∵二次函数图像过点，
∴点关于y轴对称的点为，
∴点必在二次函数的图像上；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
7. CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A. AC的长为B. CE的长为3
C. CD的长为12D. AD的长为10
【答案】A
【解析】
【分析】连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．
【详解】解：连接AO，
∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理
,
∵CD为圆O的直径，
∴OC=OD=OA=5，
∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；
在Rt△ACE中，根据勾股定理
，故A选项正确；
在Rt△ADE中，根据勾股定理
，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．
8. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（ ）
A. 132°B. 120°C. 112°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形外角的性质可得∠ACB=56°，再根据圆周角定理可求得结果．
【详解】解：∵，，
又
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠ACB度数是解题关键．
9. 已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m图象上的点，则（ ）
A. y2＞y1＞y3B. y2＞y3＞y1C. y1＜y2＜y3D. y3＜y2＜y1
【答案】A
【解析】
【分析】把原函数解析式化成顶点式，然后根据三点与对称轴位置关系，开口方向判断，，的大小．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为x＝-2，
(-3，)，(-2，)与(1，)三点中，点(-3，)离对称轴较近，点(-2，)在对称轴上，点(1，)离对称轴较远，
＜＜．
故选A．
【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．
10. 如图，已知ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点E、D，设∠C＝α，∠A＝β，则（ ）
A. 若α+β＝70°，则弧DE的度数为20°B. 若α+β＝70°，则弧DE的度数为40°
C. 若α﹣β＝70°，则弧DE的度数为20°D. 若α﹣β＝70°，则弧DE的度数为40°
【答案】B
【解析】
【分析】设 的度数是x，连接BD，根据圆周角定理求出∠ABD＝90°，求出∠ADB＝90°﹣β，再根据三角形外角性质得出90°﹣β＝α+x，求出的度数是180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．
【详解】解：连接BD，
设 的度数是x，
则∠DBC＝x，
∵AC过O，
∴∠ABD＝90°，
∵∠A＝β，
∴∠ADB＝90°﹣β，
∵∠C＝α，∠ADB＝∠C+∠DBC，
∴90°﹣β＝α+ x，
解得：x＝180°﹣2（α+β），
即的度数是180°﹣2（α+β），
当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故A选项不符合题意；B选项符合题意；
当α﹣β＝70°，即α＝70°+β时，的度数是180°﹣2（70°+2β）＝40°﹣4β或180°-（α+α-70°）=250°-2α，故C、D选项都不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
二、填空题（共6小题）
11. 若四边形是圆内接四边形，若它的内角，则_________．
【答案】##72度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形对角互补的性质列方程．
12. 一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h（米）与经过的时间t（秒）满足的函数关系为，则该球从弹起至回到地面的时间需_____秒，它距离地面的最大高度为______米．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】令 可得解方程可得该球从弹起至回到地面的时间，再求解的最大值，可得此球距离地面的最大高度，从而可得答案．
【详解】解： ，
令 则


所以该球从弹起至回到地面的时间需
，＜
当有最大值，
所以球距离地面的最大高度为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先列举出所有可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】任意摸出一个球，有4种结果，其中1个是黑球，
∴从中任意摸出一个球，是黑球概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握运用概率公式是解答本题的关键．
14. 如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝_____．
【答案】75°##75度
【解析】
【分析】先由平行线的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠EOD，即可利用三角形外角的性质求解．
【详解】解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠ADB＝∠A＝25°，
∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
15. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元．
【答案】 ①. 360 ②. 10240
【解析】
【分析】设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价．
【详解】设房价为x元，利润为y元，
则有，
故元时，y的利润最大，最大值为10240元，
故答案为：360；10240．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键．
16. 如图，二次函数与反比例函数的图象相交于点三个点，则不等式的解是____．
【答案】或
【解析】
【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，找出x的范围即可．
【详解】解：不等式的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，
∴不等式的解为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查利用函数图象解不等式，即比较图象的高低．
三、解答题（共7小题）
17. 如图所示，已知二次函数的图象经过点，.当时，求函数值．
【答案】
【解析】
【分析】设该二次函数的解析式为，把点，代入解析式，求出解析式之后将代入即可求解．
【详解】解：设该二次函数的解析式为，
把点，代入解析式，可得：
，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
当时，．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
18. 现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取-张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率=抽到是0的可能÷所有可能；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个数的积等于0的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）从中随机抽取一张卡片，正面的数字是0的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两个数的积等于0的结果数为5，
所以两个数的积等于0的概率=；
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19. 如图，某零件的截面为弓形.
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若，弓形的高为1．
①求弓形的半径
②求的长
【答案】（1）见解析；（2）①2；②
【解析】
【分析】（1）在弧AB上取一点C，连接AC，分别作出AC、AB的垂直平分线即可；
（2）①根据垂径定理可得，再根据勾股定理求解即可；②根据，求出圆心角，根据公式计算即可；
【详解】（1）在弧AB上取一点C，连接AC，分别作出AC、AB的垂直平分线，如图，点O即为所求．
（2）①如图，过点O作交圆O与点D，
∵，
∴，
设弓形的半径为r，
在Rt△AOE中，，
即，
解得：；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了尺规作图垂直平分线、垂径定理、锐角三角函数、弧长的计算，准确计算是解题的关键．
20. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程的解．
②当满足什么条件时，．
【答案】（1）；（2）①，；②或
【解析】
【分析】（1）把点代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）①由（1）及图像可直接进行求解即可；②当时可由图像直接进行求解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）由五点法可得如图所示：
①由图像可得：
方程的解是，；
②由图象可得，当时，或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
21. 如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．
（1）求的度数；
（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；
（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）连结，

是的直径，
，
（2），，
∴
，，且是直径

．
【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
22. 已知，点在函数的图象上，也在函数图象上．
（1）观察、图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．
（2）若，当时，请比较、的大小．
（3）求证．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数顶点式写出两函数的顶点坐标，观察两顶点坐标即可求解；
（2）当，求出、的交点，分三种情况依次讨论求解；
（3）求出，，即可得出答案．
【详解】（1），顶点坐标；顶点坐标，两点均在函数的图象上，
（2）时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上：当时，；
当时，；
当时，，
（3）点在和的函数图象上，
∴，
①＋②，，
，
②－①，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
23. 如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，从而得到，即可求解；
（2）由题意易得，则有，进而可得，则，即可求证；
（3）先证明，可得，进而可得，然后可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．