江苏版高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动课时学案

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(对应学生用书第82页)
一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(×)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。(×)
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。(×)
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。(√)
二、教材习题衍生
1.(平抛运动的基本规律)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度为eq \r(2gh)·tan θ
B．小球着地速度大小为eq \f(\r(2gh),sin θ)
C．若小球初速度减为原来一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度减为原来一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
[答案] B
2．(平抛与斜面的结合)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，击中坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此不能算出的是( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
D [设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝eq \f(1,2)vyt，x＝v0t，得eq \f(H－h,x)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，x＝eq \f(h,tan θ)，联立解得H＝h＋eq \f(h,2tan2θ)，故A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；因不知道炸弹的质量，不能求出炸弹投出时的动能，故D错误。]
3．(斜抛运动规律的应用)由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16eq \r(3) m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3
B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3
D．38.4 m 0.776 m3
A [水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上：
vy＝vsin θ 代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝eq \f(v\\al(2,y),2g)＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝eq \f(vy,g)
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量为V＝eq \f(0.28,60)×2.4 m3＝
1．12×10－2 m3，A项正确。]
平抛与斜抛运动的基本规律
(对应学生用书第83页)
1.(平抛规律的理解与应用)(2022·全国甲卷)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小g取10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
[解析] 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝eq \f(1,2)g(4T)2＝0.2 m
s1＝eq \r(,x2＋y2)
s2＝eq \r(,x2＋3y2)
eq \f(s1,s2)＝eq \f(3,7)
解得x＝eq \r(,0.032) m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝eq \f(x,4T)
解得v0＝eq \r(,0.8) m/s。
[答案] eq \r(,0.8) m/s
2.(平抛运动推论的应用)将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点。改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是( )
A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球
B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球
C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球
D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球
C [
根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，如图，在与A等高处其他位置水平抛出，无论左侧还是右侧，只要经过B点，则不满足平抛运动的推论，A、B项错误；当在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球速度等于原小球经过该点的速度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过B点，C项正确；在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方向经过B点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D项错误。]
3.(不同高度平抛后落在同一水平面上的多体平抛问题)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的eq \f(1,2)
D．A的末速度比B的小
A [位移为初位置到末位置的有向线段，如题图所示可得sA＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l ，sB＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝eq \r(\f(2×2l,g))＝eq \r(2)×eq \r(\f(2l,g)) ，tB＝eq \r(\f(2×l,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则A的运动时间是B的eq \r(2)倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝eq \f(l,tA)＝eq \f(\r(gl),2) ，vxB＝eq \f(2l,tB)＝eq \r(2gl)，则A的初速度是B的eq \f(\r(2),4)，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2eq \r(gl)，vyB＝eq \r(2gl)，所以可得vA＝eq \f(\r(17gl),2)，vB＝2eq \r(gl)＝eq \f(\r(16gl),2)，即vA>vB，D错误。]
4.(同一高度平抛后落在同一竖直面上的多体平抛问题)(2022·江苏七市二模)如图所示，在飞镖比赛中，某同学将飞镖从O点水平抛出，第一次击中飞镖盘上的a点，第二次击中飞镖盘上的b点，忽略空气阻力，则( )
A．飞镖第一次水平抛出的速度较小
B．飞镖第二次抛出时的动能较小
C．飞镖两次在空中运动的时间相等
D．飞镖两次击中飞镖盘时的速度方向相同
B [飞镖做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，知飞镖第二次下降的高度大，运动时间较长。由x＝v0t，x相等，知飞镖第二次水平抛出的速度较小，动能较小，故A、C错误，B正确。飞镖击中飞镖盘时的速度方向与水平方向夹角正切为tan α＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，知飞镖第二次抛出时运动时间较长，而初速度较小，可知飞镖第二次抛出时击中飞镖盘时的速度方向与竖直方向的夹角较大，故D错误。]
5．(斜抛问题)(2022·山东卷变式)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点，网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝2eq \r(2) m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
D [设网球飞出时的速度为v0，
根据运动学公式可知竖直方向veq \\al(2,0y)＝2g (H－h)
代入数据得v0y＝12 m/s
运动时间t＝eq \f(v0y,g)
根据速度的分解有：v0x＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y))
网球水平方向到P点的距离
x0x＝v0xt
根据几何关系可得，网球打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0x1＝eq \f(x0x1,t)
平行墙面的速度分量v0x2＝eq \r(v\\al(2,0)－v\\al(2,0y)－v\\al(2,0x1))
反弹后，垂直墙面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
则反弹后的网球速度大小为
v＝eq \r(v\\al(2,0x3)＋v\\al(2,0x2))
联立代入数据解得：v＝3eq \r(2) m/s
网球落到地面的时间t′＝eq \r(\f(2H,g))
着地点到墙壁的距离d＝v0x3t′
代入数据解得：d＝3.9 m
故D正确，ABC错误。]
平抛运动的重要结论和推论
(1)飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
(4)两个重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2)。
②做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
有约束条件的平抛运动
(对应学生用书第85页)
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
[典例] (从斜面平抛且落点在斜面上)(一题多法)如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
审题指导：
[解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2
L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcs 37°＝v0t，即v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s。
(3)方法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cs 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcs 37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin 37°＝gcs 37°·t，解得t＝1.5 s。
方法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有eq \f(gt,v0)＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝eq \f(gt,v0)(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
[跟进训练]
物体从空中抛出垂直打在斜面上
1.(2023·常州模拟)将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经eq \r(3) s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g取10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15 m
C．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
C [设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tan θ＝eq \f(v0,gt)，解得θ＝30°，A项错误；小球距过A点水平面的距离为h＝eq \f(1,2)gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m，B项错误；若小球的初速度为v′0＝5 m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误。]
物体从斜面上抛出落在斜面上
2．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
A [甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]
3.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
4.(2023·南京市高三调研)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以速度v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为eq \f(t,2)
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为eq \f(1,2)gt2
D．A点距水平面MN的高度为eq \f(3,4)gt2
D [
落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故C错误；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，所以v2＝eq \f(gt,2)，故A、B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝eq \f(1,4)gt2，故A距水平面MN的高度H＝h＋eq \f(1,2)gt2＝eq \f(3,4)gt2，故D正确。 ]
落点在圆弧面上的平抛运动
5.如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为( )
A．tan α B．cs α
C．tan αeq \r(tan α) D．cs αeq \r(tan α)
C [设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立可得eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确。]
6.(2023·宜兴中学模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为eq \r(\f(3R,2g))
B．小球平抛的初速度大小为eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C．小球到达B点时水平位移为eq \f(\r(3)R,2)
D．小球到达B点时竖直位移为eq \f(\r(3)R,2)
B [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝eq \f(vy,v0)，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝eq \f(1,2)tan 30°＝eq \f(y,x)，又知x＝R＋Rcs 60°＝eq \f(3,2)R，veq \\al(2,y)＝2gy，联立解得y＝eq \f(\r(3),4)R，vy＝eq \r(\f(\r(3)gR,2))，v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，小球到达B点飞行的时间为t＝eq \f(vy,g)＝eq \r(\f(\r(3)R,2g))，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题
(对应学生用书第86页)
平抛中常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例] (排球平抛运动的临界和极值问题)排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
[解析] (1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s