专题06 有理数的计算

这是一份专题06 有理数的计算，共7页。试卷主要包含了利用运算律，以符代数，裂项相消，分解相约，巧用公式等，若与互为相反数，则＝，如果，，则的值是等内容，欢迎下载使用。

在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：
1．利用运算律．
2．以符代数．
3．裂项相消．
4．分解相约．
5．巧用公式等．
例题与求解
【例1】 已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则的值等于______________．
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．
【例2】 已知整数满足，且，那么等于（）
A． 0 B． 10 C．2 D．12
（江苏省竞赛试题）
解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．
【例3】 计算：
（1）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（2）；
（江苏省泰州市奥校竞赛试题）
（3）．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对于（1），若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2），由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算．
【例4】 都是正整数，并且，
．
(1)证明：，；
(2)若，求和的值．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
解题思路：（1）对题中已知式子进行变形．（2）把（1）中证明得到的式子代入，再具体分析求解．
【例5】 在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图①，所示的几何图形．
（1）请你用这个几何图形求的值．
（2）请你用图②，在设计一个能求的值的几何图形．
（辽宁省大连市中考试题）
解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键．
【例6】 记，令称为这列数的“理想数”，已知的“理想数”为2004．求的“理想数”．
（安徽省中考试题）
解题思路：根据题意可以理解为为各项和，为各项和的和乘以．
能力训练
A级
1．若互为相反数，互为倒数．，的值为____________．
（湖北省武汉市调考试题）
2．若，则=___________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．计算：（1）＝________________；
（2）＝__________________．
4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直至最后减去余下的，最后的答案是_______________．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5．右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着－1，2，3，－4，5，6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是___________．
（湖北省仙桃市中考试题）
6．如果有理数满足关系式，那么代数式的值（）
A． 必为正数 B．必为负数 C．可正可负 D．可能为0
（江苏省竞赛试题）
7．已知有理数两两不相等，则，，中负数的个数是（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．0个或2个
（重庆市竞赛试题）
8．若与互为相反数，则＝（）
A． 0 B． 1 C． －1 D．1997
（重庆市竞赛试题）
9．如果，，则的值是（）
A．2 B． 1 C． 0 D．-1
（“希望杯”邀请赛试题）
10．若是互为不相等的整数，且，则等于（）
A．0 B． 4 C． 8 D．无法确定
11． 把，3.7，，2.9，4.6分别填在图中五个Ο内，再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中．找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数．
（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
12．已知都不等于零，且的最大值为，最小值为，求的值．
B级
1．计算：＝________________．
（“五羊杯”竞赛试题）
2．计算：＝________________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．计算：＝____________________．
4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”．
已知2000年底，人类知识总量，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．
（1）2009年底人类知识总量是：__________________；
（2）2019年底人类知识总量是：__________________；
（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是____________________．
（北京市顺义区中考试题）
5．你能比较和的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论
（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“=”“＜”）
①，②；③；④；⑤
（2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________；
（3）根据以上归纳．猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小_____：．
（福建省龙岩市中考试题）
6．有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和．若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）
A． －2 B．－1 C．0 D．2
（全国初中数学竞赛海南省试题）
7．如果，那么的值为（）
A． －1 B．1 C． D．不确定
（河北省竞赛试题）
8．三进位制数201可用十进制数表示为；二进制数1011可用十进制法表示为．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数，二进位制数，则与的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．不能确定
（重庆市竞赛试题）
9．如果有理数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（“希望杯”邀请赛试题）
10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这个1998个有理数的和为（）
A． B． C． D．
（《学习报》公开赛试题）
11．观测下列各式：，
，


．．．
回答下面的问题：
（1）猜想＝______________．（直接写出你的结果）
（2）利用你得到的（1）中的结论，计算的值．
（3）计算①的值；
②的值．