专题12 数余的扩充

这是一份专题12 数余的扩充，共5页。试卷主要包含了 把握无理数的定义等内容，欢迎下载使用。

阅读与思考
人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.
理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：
1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里，是互质的整数，且≠0）；
2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；
3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；
4．明确无理数的真实性.
克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”
想一想：
下列说法是否正确？
①带根号的数是无理数；
②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；
③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；
④一个无理数的平方一定是有理数.
例题与求解
【例1】 已知．则的平方根是________.
（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）
解题思路：运用式子的非负性，求出，，的值．
【例2】若，是实数，且．则的值是( ).
A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：由算术根的双非负性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝±2．
由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：
①中≥0； ②≥0.
运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.
【例3】 已知实数，，满足等式
，求的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现，互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．
【例4】已知，是有理数，且，求，的值．
解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于，的方程组.
实数有以下常用性质：
①若，都是有理数，为无理数，且，则＝＝0;
②若，，，都是有理数，，为无理数，且“，则＝，．
要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾.
想一想
怎样证明是无理数？
【例5】一个问题的探究
问题：设实数，，满足≠0．且.
求证：
在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：
(1)设，，为两两不相等的有理数，求证：为 有理数．
（2）设，求的整数部分.
解题思路：从公式入手．
【例6】设，，，…，， 求的值（用含的代数式表示，其中为正整数）．
（四川省成都市中考试题）
解题思路：解答此题的关键是将变形为一个代数式的平台。
能 力 训 练
A 级
1．在实数－4，，0，，，，中，共有_______个无理数．
（贵州省贵阳市中考试题）
2．设，是的小数部分，则的值为____ .
(2013年全国初中数学竞赛试题)
3．已知，则的值为_______．
（山东省济南市中考试题）
4．观察下列各式：
，
，
，
猜测：________ .
（辽宁省大连市中考试题）
5．已知有理数，，，满足，，那么＝________.
A. B. C. D.
（2013年“实中杯”数学竞赛试题）
6．若，为实数，且，则的值为( )．
A. 1 B．－1 C．2 D．－2
（天津市中考试题）
7．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )．
A. B． C． D．
（山东省潍坊市中考试题）
8．若，则的值为( )．
A．－1 B．1 C．2 D．3
（湖北省荆门市中考试题）
9．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根．
10.计算：． （广西竞赛试题）
11.若，满足，求的取值范围．
（全国初中数学联赛试题）
B 级
1．与互为相反数，且．那么的值为____．
（全国初中数学竞赛试题）
2．若，则的值为_______ ．
（海南省竞赛试题）
3．已知实数满足，则＝_______ .
4．的整数部分为，小数部分为，则的值为____．
（广东省竞赛试题）
5．已知非零实数，满足，则等于( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
6．已知，，．则，，的大小关系是( )．
A. B. C. D.
7．已知：，那么代数式的值为( )．
A． B． C． D.
（重庆市竞赛试题）
8．下面有3个结论：
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；
②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.
其中，正确的结论有( )个．
A.0 B．1 C．2 D．3
（江苏省竞赛试题）
9．已知是整数，求所有满足条件的正整数的和．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
10.设，，，，都是有理数，是无理数. 求证：
(1) 当时，是有理数；
(2) 当时，是无理数．
11.已知非零实数，满足.求值．
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）