专题17 不等式（组）的应用

这是一份专题17 不等式（组）的应用，共4页。试卷主要包含了作差或作商比较有理数的大小，求代数式的取值范围，求代数式的最大值或最小值，列不等式解应用题，若，且≥2，则，设，，则P，Q的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在：
1．作差或作商比较有理数的大小．
2．求代数式的取值范围．
3．求代数式的最大值或最小值．
4．列不等式(组)解应用题．
列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．
例题与求解
【例1】如果关于的方程只有负根，那么的取值范围是_________．
(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)
解题思路：由＜0建立关于的不等式．
【例2】已知A＝，B＝，C＝，则有( )．
A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．B＞C＞A
(浙江省绍兴市竞赛试题)
解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较
【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数的最大值．
(北京市竞赛试题)
解题思路：设＜＜＜···＜，则+++···+＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式．

【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．

【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．
(河北省竞赛试题)
解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．
【例6】已知，皆为自然数，且1＜＜．若，．求的值．
(香港中学数学竞赛试题)
解题思路：此题可理解为在个连续自然数中去除其中一个数 (且1＜＜，是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求和之和。

能力训练
A级
1.若方程的解小于零，则的取值范围是___________．
2.若方程组的解为，，且2＜＜4，则－的取值范围是___________．
（山东省聊城市中考试题）
3.，，，是正整数，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，设＋＋＋的最大值为M，最小值为N，则M－N＝_________．
（重庆市竞赛试题）
4．一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站时有名乘客下车，则车上原有______________名乘客．
（吉林省长春市中考试题）
5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．
(河北省竞赛试题)
6．若，且≥2，则( )
A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值
(浙江省杭州市中考题)
7．设，，则P，Q的大小关系是（ ）．
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定
8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( )
A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克
(山东省烟台市中考试题)
9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?
(江苏省竞赛试题)
10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：
一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港．
根据题目中所给的条件，回答下列问题：
(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______小时；
(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？
（江苏省苏州市中考试题）
B级
1．设，，，都是整数，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值为_______．
（“新世纪杯”数学竞赛试题）
2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．
3．已知＜0，满足不等式，那么的取值范围是___________．
4．若，满足，S＝，则S的取值范围是__________．
(广西竞赛试题)
5．已知，，，…，是彼此互不相等的负数，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
(江苏省竞赛试题)
6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行( )套．
A．2 000 B．3 000 C．4 000 D．5 000
(“希望杯”邀请赛试题)
7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
(北京市竞赛试题)
8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积1 9分．
(1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．
(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。
(黑龙江省中考试题)
9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?
(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所?
(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
(湖北省襄樊市中考试题)
10．设，，…，是整数，且满足下列条件：
(1)－l≤≤2(＝1，2，…，2 008)；
(2)；
(3)．
求的最大值和最小值．
(“宗沪杯”竞赛试题)
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1500
700
0