专题26 奇偶分析

这是一份专题26 奇偶分析，共4页。试卷主要包含了奇数≠偶数等内容，欢迎下载使用。
阅读与思考
整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数．
由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析．
运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：
1.奇数≠偶数.
2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.
3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.
4.若是整数，则与，，（为自然数）有相同的奇偶性.
5.设，是整数，则，，，都有相同的奇偶数.
6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.
例题与求解
【例1】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是：前两个数是1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有____个偶数．
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.
【例2】 如果，，都是正整数，且，是奇数，则是( ).
A．只当为奇数时，其值为奇数
B．只当为偶数时，其值为奇数
C．只当为3的倍数时，其值为奇数
D．无论为任意正整数时，其值均为奇数
（五城市联赛试题）
解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择．
【例3】 能否找到自然数和，使.
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
解题思路：假设存在自然数和，使等式成立，则，从，的奇偶性展开推理．

【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.
（北京市竞赛试题）
解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用与=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.
【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B，B变成C…最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.
表甲 表乙
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.
【例6】 设，，…为＋1或－1，并且
.证明能被4整除.
解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易．
能力训练
1．若按奇偶分类，则是______数.
2．已知是质数，是奇数，且，则_______.
（江苏省竞赛试题）
3．若质数，满足，则的值为____________.
（河北省竞赛试题）
4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个.
（全国初中数学联赛试题）
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种.
A.2 B.3 C.4 D.5
6．设，为整数，给出下列四个结论
（1）若是偶数，则是偶数
（2）若是偶数，则是奇数
（3）若是奇数，则是偶数
（4）若是奇数，则是奇数
其中正确结论的个数是 ( )．
A.0 B.2 C.4 D.1或3
（“五羊杯”竞赛试题）
7．如果，，是三个任意整数，那么，，( )．
A.都不是整数 B.至少有两个是整数
C.至少有一个是整数 D.都是正数
（“T1杯”全国竞赛试题）
8．将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有( )．
A.499个 B.496个 C.996个 D.995个
9．设，，…是1，2，3，…，1999的一个排列，求证：为偶数.
10．在黑板上记上数1，2，3，…，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零．
（数学奥林匹克竞赛试题）
11．你能找到三个整数，，，使得关系式成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.
（“希望杯”邀请赛试题）
12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1 999次开关后，问哪几盏是开的？
S
O
B
R
K
B
D
S
T
Z
E
P
H
E
X
G
H
O
C
N
R
T
B
S
A
D
V
X
C
F
Y
A