专题29 归纳与猜想

这是一份专题29 归纳与猜想，共5页。试卷主要包含了数与式的特征观察，几何图形的结构观察，给出下列丽列数，自然数按下表的规律排列等内容，欢迎下载使用。

阅读与思考
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法.
归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径：
1．数与式的特征观察．
2．几何图形的结构观察．
3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.
需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．
【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是___________.
（“东方航空杯”上海市竞赛试题）
(A) (B) (C)
解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。

【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是____．

（湖北省武汉市竞赛试题）
解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n＝1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想．
【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
(1)“17”在射线____上．
(2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律．
(3)“2 007”在哪条射线上？

（贵州省贵阳市中考试题）
解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同．
【例4】观察按下列规则排成的一列数：
EQ \F(1,1)， EQ \F(1,2)， EQ \F(2,1)， EQ \F(1,3)， EQ \F(2,2)， EQ \F(3,1)， EQ \F(1,4)， EQ \F(2,3)， EQ \F(3,2)， EQ \F(4,1)， EQ \F(1,5)， EQ \F(2,4)， EQ \F(3,3)， EQ \F(4,2)， EQ \F(5,1)， EQ \F(1,6)，…(※)
(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝ EQ \F(2,2001)时，求m的值和这m个数的积．
(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．
（湖北省竞赛试题）
解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，
【例5】在2,3两个数之间，第一次写上 EQ \F(2＋3,1)＝5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上 EQ \F(2＋5,2)＝\F(7,2)和 EQ \F(5＋3,2)＝4，如图所示：

第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 EQ \F(1,k)．
(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和．
(2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k＋1次操作后所有数的和记为
Sk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式．
(3)求S6的值．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可．
(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的
n－2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk＋1
(3)根据(1)，(2)可算出S6的值．
能力训练
1．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，则第100组的三个数之和为 ．
（广东省广州市竞赛试题）
2．如图有一长条型链子，其外形由边长为1 cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有________个白色六边形．
（2013年“实中杯”数学竞赛试题）
3．按一定规律排列的一串数：
EQ \F(1,1)． EQ －\F(1,3)， EQ \F(2,3)， EQ －\F(3,3)， EQ \F(1,5)， EQ －\F(2,5)， EQ \F(3,5)， EQ －\F(4,5)， EQ \F(5,5)， EQ －\F(1,7)， EQ \F(2,7)， EQ －\F(3,7)，…中，第98个数是__________.
（山东省竞赛试题）
4．给出下列丽列数
2，4，6，8，10,…，1 994
6，13, 20, 27, 34,…，1 994
则这两列数中，相同的数的个数是( )．
A．142 B．143 C．284
（浙江省竞赛试题）
如图，∠AOB＝45°，对OA上到点Ｏ的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线且与OB相交，得到并标出一组黑色梯
形，面积分别为S1，S2，S3，…，则S10＝ .
6．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为ｎ部分，则n等于( )
A．16 B．18 Ｃ．24 D．31
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
7．观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律．那么2013这个数标在( )．
A．第503个正方形的左下角 B．第503个正方形的右下角
C．第504个正方形的左下角 D．第504个正方形的右下角
（2013年浙江省衢江市竞赛试题）
8．自然数按下表的规律排列：
(1)求上起第10行，左起第13列的数．
(2)数127应在上起第几行，左起第几列．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）
9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…
问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由．
（“五羊杯”竞赛试题）
11.下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数： EQ \F(1,2)－(1＋\F(－1,2))；
第2个数：；
第3个数：；
…
第n个数：．
那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个？
12.有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？