8.3 分布列（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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1．（2022春·黑龙江哈尔滨）已知随机变量的分布列是：
则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以.
故选：A.
2．（2023·北京顺义）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
A．0.3B．0.8C．1.2D．1.3
【答案】D
【解析】依题意可得，解得，所以；
故选：D
3．（2023春·江苏连云港）若随机事件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.故选：D
4．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则在第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设表示第i次投篮的人为甲，；表示第i次投篮的人为乙，；
则第2次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率： ，
故选：A.
5．（2023春河南）由1，2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，
∴．
故选：C．
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）（多选）已知随机事件满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．相互独立
【答案】ABD
【解析】法一：由，，得，.
得，
即成立，则相互独立，
故相互独立，相互独立，相互独立，选项D正确；
，，则选项AB正确；
又由相互独立，则，故选项C错误.
法二：由，，得，，且已知，
对选项A，由，且与互斥，
所以，
则有，故A正确；
对选项B，同理，
则有，故B正确；
对选项C，因为，故C错误；
由，得，
所以相互独立，故D正确.
故选：ABD.
7．（2023秋·湖北）（多选）设为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，，则当且仅当时，是互斥事件
B．若，，则是必然事件
C．若，，则时是独立事件
D．若，且，则是独立事件
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以是互斥事件，所以A正确，
对于B，若事件为“抛骰子点数出现1或2”，则，若事件为“抛骰子点数出现的是小于等于4”，则，
而此时不是必然事件，所以B错误，
对于C，因为，，，，
所以，得，
所以，所以是独立事件，所以C正确，
对于D，因为，所以，
因为， ，所以，
所以是独立事件，则也是独立事件，所以D正确，
故选：ACD
8．（2023山东）（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】ABD
【解析】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员．
则由已知，，
所以，所以，故C正确．
故选：ABD.
9．（2023春·安徽滁州）某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6名，其中3名男生，3名女生；乙组有选手5名，其中3名男生，2名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A表示事件“从甲组随机抽取的一人是女生”，表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有3种可能情况，所以，A正确；
B选项，在A发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3种可能情况，所以错误；
C选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是男生有4种可能情况，所以，C正确；
D选项，在发生时，从乙组随机抽取一人，有6种可能情况，其中抽取的一人是女生有2种可能情况，所以，D错误.
故选：AC．
10．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】BC
【解析】由可知，
又可得，
由可得，所以A错误；
由可知，，所以B正确；
由条件概率公式可得，即C正确；
又可得，同理，即D错误.
故选：BC
11．（2022·安徽安庆）已知，且若，，则 ．
【答案】/
【解析】由可得相互独立，
又，，
又因为，所以，
所以
故答案为：．
12．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表.
(1)设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望；
(2)记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N是否相互独立，并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)不相互独立，理由见解析
【解析】（1）由题意得X的可能取值有100，60，0，
则，
，
，
所以X的分布列为
所以.
（2）由（1）可知，
又，，
则，所以事件M，N不相互独立.
13．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队之间进行单循环（每只球队均与另外三只球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25，出现平局的概率为0.5．
(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望；
(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）球队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6，
则，，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
随机变量的数学期望：
.
（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；
6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，
要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.
若每支球队得3分：
则6场比赛都出现平局，其概率为：；
若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，
其概率为：﹒
所以四支球队积分相同的概率为.
14．（2023·云南保山）旅游业是保山市特色产业，我市有热海风景区､和顺古镇､银杏村等多个著名景点.2022年，随着新冠疫情防控常态化，保山市有效统筹疫情防控和经济社会发展，全市文化旅游产业持续复苏，为进一步推动旅游业发展，市旅游局对市民近半年的旅游情况进行了统计调查，其中去过3个或3个以上景点的称为“旅游达人”，否则称为“非旅游达人”，从参与调查的人群中随机抽取了100人的数据进行统计分析，得到如下列联表：
附：参考公式：.
(1)请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，判断称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别是否有关联？
(2)现从抽取的男性人群中，按“旅游达人”和“非旅游达人”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，设抽到“非旅游达人”的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)列联表答案见解析，“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）
零假设为：称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别无关，
经计算
故推断不成立，即称为“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）按分层抽样抽取的5人中：2名为“旅游达人”，3名为“非旅游达人”.
则从这5人中随机选出3人，的所有可能取值为.
，
所以，的分布列为
所以.
15．（2023春·江苏南京）为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则
，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为；
（2）（ⅰ）因为，所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为；
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
.
16．（2023·全国·高二专题练习）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；
(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
(3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，；
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
.
（2）由题意可知，样本方差，故，所以，
该厂生产的产品为正品的概率：
；
（3）X所有可能值为0，1，2，3.
，，
，.
所以的分布列为
数学期望.
17．（2023·北京·高三景山学校校考期中）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下
62ㅤ65ㅤ72ㅤ78ㅤ86ㅤ86ㅤ86ㅤ87ㅤ87ㅤ88ㅤ90ㅤ98
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良.
(1)写出这组数据的众数和中位数；
(2)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
(3)从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)这组数据的众数是86，中位数是86；
(2)；
(3)分布列见解析，期望为．
【解析】（1）这组数据的众数是86，中位数是；
（2）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，
依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，
设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，
则；
（3）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
∴ξ的分布列为
∴的期望
1．（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）（多选）盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ）
A．第一次取到黑球的概率为
B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立
C．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为
D．第二次取到黑球的概率为
【答案】AC
【解析】对于A，第一次取到黑球的概率为，故A正确；
对于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况；
“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B错误；
对于C，设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件，
则第一次取到白球第二次取到黑球的概率为，，
所以在第一次取到白球的条件下，
第二次取到黑球的概率为，故C正确；
对于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以第二次取到黑球的概率为，故D错误.
故选：AC.
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立B．事件A与C为互斥事件
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（ ）
A．若，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而增大
D．当时，随着的增大而减小
【答案】C
【解析】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；
对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；
对于选项C、D，
，
，
，
当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；
当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；
故选：C.
4．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知是两个事件，且，则事件相互独立的充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】若，
则事件没有共同部分，即互斥，
得不出事件相互独立，A错；
由，
得
，
则，
得，
即，
则事件相互独立，B正确；
由，
即，
得，
即，
则事件相互独立，C正确；
由，①
且，②
②式两边平方，并利用①式可得，
，③
结合①③，可得，
，
则，
所以，
,
所以，
即事件相互独立，D正确
故选：BCD
5．（2023·山东淄博·统考三模）（多选）某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：

用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B．若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大
C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D．若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则
【答案】CD
【解析】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A选项错；
若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，
，
则，且，
可得，且，
所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B选项错；
记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；
事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽；
根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：
，故C选项正确；
由题意可知X服从二项分布，，
所以，故D选项正确；
故选：CD
6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
7．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）（多选）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当时，
【答案】BC
【解析】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，
故A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，故C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，故D错误，
故选：BC
8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ．
附：，，
【答案】4
【解析】因为蓝莓果重量服从正态分布其中，
，
设第次抽到优等果的概率（），
恰好抽取次的概率，所以，
设，则，
两式相减得：，
所以，
由，即，的最大值为．
故答案为：．
9．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则，，.参考数据：.
【答案】(1)，，中位数为
(2)
【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得.
故平均数.
设中位数为，因，，故，则，解得，即中位数为.
（2）由题意，，且，，
故，
所以在时间大于分钟的平台内约有件；，
所以在时间小于分钟的平台内约有件；
则“合格平台”约有件，
所以需要资金为 ，
由于，可令，则，令有，当时，递减；
当时，递增；
故有最小值，故至少需要准备元.
10．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①队伍A和D在决赛中过招的概率；
②D在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
(2)若A的实力出类拔萃，即有A参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
【答案】(1)①；②.
(2)
【解析】（1）解：假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为，
①由题意，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以A和D在决赛中过招的概率为；
②设表示队伍D在比赛中胜利，表示队伍D所参加的比赛中失败，
则事件：队伍D获得亚军，事件：队伍D所参加所有比赛中失败了两场，
事件：包括，，，，五种情况.
其中这五种情况彼此互斥，可得:
，
其中积事件包括，两种情况.
可得，
所以所求概率为.
（2）解：由题意，A获胜的概率为，B、C、D之间获胜的概率均为，
要使得D进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A与D在决赛中相遇，分为A1胜，3胜，D1负4胜5胜，或A1负4胜5胜，D1胜，3胜，
可得概率为；
②若B与D决赛相遇，D1胜，3胜，B2胜3负5胜，或D1胜，3负，5胜，B2胜3胜，可得概率为，
③若C与D决赛相遇，同B与D在决赛中相遇，
可得概率为；
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
1
2
3
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5
所取球的情况
球同色
三球均不同色
其他情况
所获得的积分
100
60
0
X
100
60
0
P
0
1
2
3
4
6
旅游达人
非旅游达人
合计
男
20
50
女
15
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
旅游达人
非旅游达人
合计
男
20
30
50
女
35
15
50
合计
55
45
100
1
2
3
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6
0
1
2
3
0
1
2
3
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