9.5 三定问题及最值（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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定点
参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】（1）由椭圆方程可得其焦距为，离心率为；
由椭圆可得其焦距为，离心率为；
由题意知：，解得：（舍）或，
，.
（2）设，，，则，
，，分别为的中点，
，，，
，
，，，即，
同理可得：，直线的方程为，
直线恒过定点.

【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，，.
则，，，所以.
因为，又，所以，.
故的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以，即.
设，，则，.
由化简，得，
由韦达定理，得
所以，
所以，
故，即以为直径的圆过原点.
当直线的斜率不存在时，的方程为或.
这时，或，.
显然，以为直径的圆也过原点.综上，以为直径的圆恒过原点.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，，
周长，当且仅当三点共线时等号成立，故，

所以，所以的方程；
（2）设，直线，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
从而中点，
以为直径的圆为，
由对称性可知，定点必在轴上，
令得，，
，
所以，即，因为，
所以，即，
解得，所以圆过定点.

2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)
(2)经过定点，定点坐标为
【解析】（1）如图所示，

∵，且，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程，则，，∴，.
所以点的轨迹方程为：.
（2）设直线的方程为：，
由，得
设，，则，.
所以，，
因为直线的方程为：，令，得，
所以，，同理可得，
以为直径的圆的方程为：，
即，
因为圆过点，所以，，
得，代入得，
化简得，，解得或（舍去），
所以直线经过定点，
当直线的斜率为0时，此时直线与轴重合，直线经过点，
综上所述，直线经过定点.
考点二 定值
【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，
又面积的最大值为2，，即，
，，，解得，
椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则有，，解得，
椭圆的标准方程为，
设，，，点在曲线上，，
依题意，可设直线，的斜率分别为，
则的方程分别为，，
于是，
联立方程组，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
为定值.
【一隅三反】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆：（）与椭圆：（）的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆上，试探究梯形的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)是定值，该定值为．
【解析】（1）由题意知，，且，
解得，．
（2）梯形的面积是定值，该定值为．
理由如下：
由（1）知：，：,

设，，，则，
因为，，所以A，B分别为PD，PC的中点，
则，，则，
作差可得，．
因为，即，所以．
同理可得，，所以C，D都在直线上，
即直线CD的方程为．
联立，可得，，
则，
即．
又因为点P到直线CD的距离，
所以的面积为．
又因为∽，，所以，
所以梯形ABCD的面积为．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）将，代入到，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.
化简整理得：，
，
，.
则
，
，所以.
综上可知，为定值.

考点三 定直线
【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，因为直线过点且斜率不为，
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，
其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，．
从而．
（3）由（1）知，设，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
所以直线与直线的交点的坐标为，
所以点在定直线上.
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.

(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在直线上
【解析】（1）解：如图所示：

延长与交于，因为，，
则，即，
令，则，
所以，，
由双曲线的定义可得，则，
，则，
又因为，即，解得，
所以，，，
由勾股定理可得，则，
故，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线的交点为双曲线的两个顶点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，

由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
易知点、，则，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线、的方程并消去可得，
可得
，解得，
因此，直线与直线的交点在定直线上.
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
考点四 最值
【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆的左､右顶点分别为，且焦距为.点在椭圆上且异于两点，若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线，交于点.求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知：，，设，
则，，
又，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）
设直线，，则，
由得：，
显然，，，
，又，
直线方程为：，
令，则，
直线过定点；
而，
则，
令，有在上单调递增，
则，即时 ，取最小值4，
于是当时，，
所以面积的最大值是.
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点在椭圆上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)求的面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】(1)1
(2)
【解析】（1）由题意得，解得，
代入椭圆方程中，，解得或6（舍去），
故，

当直线的斜率不存在时，关于轴对称，此时有对称性可知，直线，的斜率之和不为0，舍去；
设，联立椭圆方程得，，
则，则，
设，则，
，
故，
即，故，
即，
当时，，此时直线，
显然直线恒过，矛盾，
当时，经检验，满足题意，
故直线的斜率为1；
（2）设，联立椭圆方程得，，
，解得，
，
点到直线的距离为，
故
，
故当，即时，取得最大值，最大值为.
2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线，直线与C交于A，B两点，且.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）设，
由，可得，
所以，，
所以，
即，因为，解得；
（2）由（1）得抛物线，
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，，
由，可得，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将，代入得，
，，
所以，且，解得或，
设点到直线的距离为，则，
，
所以的面积，
而或，
所以当时，的面积.