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重庆市沙坪坝区初中学业水平暨高中招生适应性考试数学试题
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这是一份重庆市沙坪坝区初中学业水平暨高中招生适应性考试数学试题，文件包含重庆市沙坪坝区初中学业水平暨高中招生适应性考试数学试题原卷版docx、重庆市沙坪坝区初中学业水平暨高中招生适应性考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可求得答案．
【详解】．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟记法则．
3. 沙坪坝融创雪世界是重庆人的玩雪胜地，总建筑面积为25000平方米．其中数据25000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：25000=．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 如图，AB是的直径，点C在圆上，连结BC，OC，若，则的度数是（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵，
∴∠B=∠AOC=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 的立方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴8的立方根是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
6. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，再得出选项即可．
【详解】解：三角形的内角和等于180°，
四边形的内角和等于360°，
五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
六边形的内角和等于（6-2）×180°=720°，
所以三角形的内角和最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°是解此题的关键．
7. 若关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. B. 9C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出DE的长．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∵AB=4，
∴DE的长为：2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别得出每个选项的解集，继而得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
A.的解集是，故不符合题意；
B.的解集是，故符合题意；
C.的解集是，故不符合题意；
D.的解集是，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一 次不等式的基本能力， 严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
10. 甲、乙两自行车运动爱好者从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人离A地的距离y（单位：km）与乙骑行时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 乙骑行1h时两人相遇
B. 甲的速度比乙的速度慢
C. 3h时，甲、乙两人相距15km
D. 2h时，甲离A地的距离为40km
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h时两人相遇，故选项A不合题意；
甲的速度比乙的速度快，故选项B不合题意；
甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h），
3h时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km），故选项C符合题意；
2h时，甲离A地的距离为：30×（2-0.5）=45（km），故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 4B. 2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元一次不等式组的解可得a-1≤2，再解分式方程得y=，由方程的解为整数，且≠3，可求a的值为-2，0，即可求解．
【详解】解：，
由①得，x＞2，
由②得x＞a-1，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴a-1≤2，
∴a≤3，
3-ay+3=3-y，
（a-1）y=3，
y=
∵方程的解为整数，
∴a=-2，0，2，4，
∵y≠3，
∴≠3，
∴a≠2，
∵a≤3，
∴a的取值为-2，0，
∴所有满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解，一元一次不等式组的解法，注意分式方程增根的情况是解题关键．
12. 数轴上A，B两点表示的数分别为，b，点A在点B的左侧．将点B右移1个单位长度至点，再将点右移1个单位长度至点，以此类推，…．点是数轴上位于右侧的点，且满足（，2，）．若点表示的数为9，则b的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得Bn=b+n，则ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），结合条件即可求解．
【详解】解：∵点B右移1个单位长度至点B1，即B1表示的数为：b+1，
点B1右移1个单位长度至点B2，即B2表示的数为：b+2，
..．
∴Bn=b+n，
∴ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），
∵ABn=3BnCn，
∴b+n+7=3[Cn-（b+n）]，
整理得：Cn=，
∴当点C10表示的数为9时，＝9，
解得：b=-5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由题意得到Cn=．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，进行运算，即可求得
【详解】解：
=4+1
=5
故答案为：5
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，熟练掌握和运用去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，是解决本题的关键
14. 在不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字，1，2，从这三个小球中任意取出一个球，记数字为m，不放回，再取出一个记数字为n，则m与n的积为正数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能结果数，找到m与n的积为正数的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中m与n的积为正数的有2种结果，
所以m与n的积为正数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到CF=BE=4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，
由勾股定理得，EF=＝＝3，
∴BF=BE-EF=4-3=1，
由勾股定理得，AB=＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
16. 每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【答案】504
【解析】
【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解．
【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，
由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429，
解得：（3a+4b）（x-y）=429，
∵，
∴11＜x-y＜，
∵a，b，x，y为非负整数，
∴x-y=13，3a+4b=33，
∴a=3，b=6，x=13+y，
∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y，
∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504，
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用单项式乘多项式、平方差公式化简，再合并同类项计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．
小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
=
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，解答的关键是熟练掌握混合运算法则和运算顺序，熟记完全平方公式和平方差公式．
18. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，．
∵EF平分AC，
∴________．
∴________．
∴________．
又∵，
∴四边形AFCE是________．
又∵，
∴四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）详见解析；
（2）；；CF；平行四边形．
【解析】
【小问1详解】
（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线EF即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明．
如图，直线EF即为所求；
【小问2详解】
证明：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
∵EF平分AC，
∴AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
故答案：AO=CO，△COF（ASA），CF，平行四边形，
【点睛】本题考查作垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了关于心肺复苏急救知识的专题讲座，并进行了心肺复苏急救知识测评．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的测试成绩是：96，78，69，99，77，60，86，100，86，86．
八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：85，87，87．
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，m的值；
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
（3）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握心肺复苏急救知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】（1），，
（2）120 （3）八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依据中位数、众数的计算方法可求出a、b，求出八年级10名学生的测试成绩在D组中的频数，即可得m的值；
（2）样本估计总体即可；
（3）通过比较平均数、中位数、众数得出答案．
【小问1详解】
七年级10名学生的测试成绩出现次数最多的是86，出现3次，因此众数是86，即a=86，
八年级10名学生的测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是87，因此中位数是87，即b=87，
10-10×（10%+20%）-3=4，
4÷10=40%，
∴m=40，
∴，，．
【小问2详解】
，
答：七年级测试成绩优秀的学生共有120名．
【小问3详解】
八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，理由如下（写出其中一条即可）：
①八年级学生测试成绩中位数87高于七年级学生测试成绩中位数86．
②八年级学生测试成绩方差78.81低于七年级学生测试成绩方差152.21．
③八年级学生测试成绩众数90高于七年级学生测试成绩众数86．
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．也考查了平均数、中位数、众数、方差．
20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，已知点，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图像（不需列表）；
（2）连接OA，OB，求的面积；
（3）根据函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；图像见解析；
（2）3； （3）或．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数y=的图像经过点A（1，4），求出m的值，得出反比例函数的解析式，从而求出点B的坐标，再根据一次函数y=kx+b的图像经过点A和点B，求出k和b的值，得出一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据函数的图像和交点坐标即可求得．
【小问1详解】
解：∵双曲线过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
∵点B在双曲线上，
∴，即，
∴．
∵点，在直线AB上，
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
函数图像如答图所示．
【小问2详解】
设AB与x轴交于点C，
∵，当时，，
∴，，
∴．
【小问3详解】
根据图像可知：不等式kx+b＜的解集为：x＜-2或0＜x＜1．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是根据所给的条件得出B点的坐标，求出函数的解析式．注意运用数形结合的思想．
21. 助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．
【答案】（1）每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤；
（2）
【解析】
【分析】（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，根据等量关系式：青菜-土豆=3斤，300个爱心蔬菜包中青菜+土豆=2100斤，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据等量关系式：第二天送出的青菜-土豆=1200斤．
【小问1详解】
解：设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，
根据题意，得，解得：，
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
【小问2详解】
根据题意，得，
解得（舍去），，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
22. 如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，）
（1）求步道BC的长；
（2）公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？
【答案】（1）步道BC的长为24米；
（2）此次改建费用足够．
【解析】
【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答．
【小问1详解】
过点B作于点E，过C作于点F，于点G．
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在矩形CGEF中，，
∴，
在，，且，
∴．
∴，
∴．
答：步道BC的长为24米．
【小问2详解】
在中1，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴
，
∴总共花费：，
∵，
答：此次改建费用足够．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23. 如果一个三位自然数M的各个数位上的数均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，∵，∴321是“沙磁数”．
又如：，∵，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”?并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若能被11整除，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”；
（2）满足条件的M有431，972，844，716．
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）设M的十位数字为x，个位数字为y．，求得A-B，再根据或11或22．为整数求得x、y的值，便可得出结果．
【小问1详解】
853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”．
∵，
∴853是“沙磁数”．
∵，
∴632不是“沙磁数”．
【小问2详解】
设M的十位数字为x，个位数字为y．
由题意知，x，y为自然数，且，，．
，
，
则．
∵能被11整除，
∴能被11整除．
∵，，
∴，
∴或11或22．
①当时，或符合题意，
∴或972．
②当时，符合题意，
∴．
③当时，符合题意，
∴．
综上，满足条件的M有431，972，844，716．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，根据定理列出方程是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点C是抛物线的顶点．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交BC于点E，，垂足为F．
（1）求点C的坐标；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）当点P满足（2）问的条件时，把抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点，M是新抛物线上一点，N是直线BC上一点，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）点C的坐标为
（2）当时，取得最大值，最大值为．此时，点P坐标为
（3）M的坐标为，，，．
【解析】
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式可直接得出点C的坐标；
（2）令y=0，可求出点A和点B的坐标，进而可得出直线BC的解析式；过点C作CH⊥x轴于点H，由此可得△PEF∽△BCH，得到PE和PF之间的关系；设点P的横坐标为t，可表示点E的坐标，可表达PE的长，利用二次函数的性质可得出最值；
（3）根据平移的特点先求出平移后抛物线的函数表达式为；设点M的横坐标为m，若以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，需要分情况讨论，当AP是边时，当AP是对角线时，分别利用平移和中点坐标公式建立等式可得出m的值，进而可得出点M的坐标．
【小问1详解】
解：∵，
∴点C的坐标为．
【小问2详解】
∵抛物线的函数表达式为，
∴，．
∴直线BC的函数表达式为．
设，其中．
∵点E在直线上，轴，
∴．
∴．
过点C作轴于H，
∵，
∴△PEF∽△BCH．
∴．
∵，，
∴．
∴
，
∴当时，取得最大值，最大值为．此时，点P的坐标为．
【小问3详解】
M的坐标为，，，．
∵把抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点
∴平移后抛物线的函数表达式为．
∵点M在抛物线上，
∴设，
①若AP是平行四边形的对角线（如答图），
当MN与AP互相平分时，四边形MANP是平行四边形．
即MN经过AP的中点．
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∴．
∴点M的坐标为，．
②若AP是平行四边形的边，
i当四边形APMN是平行四边形时．
∵，，
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∵，
∴此种情况不存在．
ii当四边形APNM是平行四边形时．
∵，，
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∴．
∴点M的坐标为，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键掌握平行四边形的性质与判定，利用平移和中点坐标公式建立方程．
25. 在等腰中，，将CA绕点C顺时针旋转至CD的位置，连接AD．点E为边BC上一动点，连接DE交AC于点F．
（1）如图1，若，，且，点B与点E重合，求BD的长；
（2）如图2，连接AE，若，．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿CD翻折，使得点A落在点G处．H是BC的中点，连接FH．若，在点E移动的过程中，当FH的长取得最小值时，请直接写出此时点B到直线CG的距离．
【答案】（1）；
（2）详见解析； （3）点B到直线CG的距离为．
【解析】
【分析】（1）过点D作的延长线于点P，利用勾股定理求解即可；
（2）过点D作于点D，且，连接AQ，CQ，先证明，再证明，推出，再等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值求解；
（3）过点P作，且，连接AH，DP，FP．证明是等腰三角形，推出，推出点F在以点P为圆心，PC为半径的上，当FH的值最小时，点F为PH与的交点，过点B作交GC的延长线于点T，在BT上取一点R，使得．证明是等腰直角三角形，设，构建方程，可得结论．
【小问1详解】
解：过点D作的延长线于点P，如下图，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
由题意知，，
在中，，，
，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
证明：过点D作于点D，且，连接AQ，CQ，如下图．
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∵．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如下图3，过点P作，且，连接AH，DP，FP．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是等腰三角形，
∴是等腰三角形，
∴，
∴点F在以点P为圆心，PC为半径的上，如下图中，
当FH的值最小时，点F为PH与的交点，
过点B作BT⊥G交GC的延长线于点T，在BT上取一点R，使得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴D，P，G三点共线，，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴此时点B到CG的距离为．
【点睛】本题属于几何旋转变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83.7
86
a
152.21
八年级
83.7
b
90
7881
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可求得答案．
【详解】．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟记法则．
3. 沙坪坝融创雪世界是重庆人的玩雪胜地，总建筑面积为25000平方米．其中数据25000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：25000=．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 如图，AB是的直径，点C在圆上，连结BC，OC，若，则的度数是（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵，
∴∠B=∠AOC=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 的立方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴8的立方根是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
6. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，再得出选项即可．
【详解】解：三角形的内角和等于180°，
四边形的内角和等于360°，
五边形的内角和等于（5-2）×180°=540°，
六边形的内角和等于（6-2）×180°=720°，
所以三角形的内角和最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°是解此题的关键．
7. 若关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. B. 9C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，若，则DE的长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出DE的长．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∵AB=4，
∴DE的长为：2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别得出每个选项的解集，继而得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
A.的解集是，故不符合题意；
B.的解集是，故符合题意；
C.的解集是，故不符合题意；
D.的解集是，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一 次不等式的基本能力， 严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
10. 甲、乙两自行车运动爱好者从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人离A地的距离y（单位：km）与乙骑行时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 乙骑行1h时两人相遇
B. 甲的速度比乙的速度慢
C. 3h时，甲、乙两人相距15km
D. 2h时，甲离A地的距离为40km
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h时两人相遇，故选项A不合题意；
甲的速度比乙的速度快，故选项B不合题意；
甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h），
3h时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km），故选项C符合题意；
2h时，甲离A地的距离为：30×（2-0.5）=45（km），故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 4B. 2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元一次不等式组的解可得a-1≤2，再解分式方程得y=，由方程的解为整数，且≠3，可求a的值为-2，0，即可求解．
【详解】解：，
由①得，x＞2，
由②得x＞a-1，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴a-1≤2，
∴a≤3，
3-ay+3=3-y，
（a-1）y=3，
y=
∵方程的解为整数，
∴a=-2，0，2，4，
∵y≠3，
∴≠3，
∴a≠2，
∵a≤3，
∴a的取值为-2，0，
∴所有满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解，一元一次不等式组的解法，注意分式方程增根的情况是解题关键．
12. 数轴上A，B两点表示的数分别为，b，点A在点B的左侧．将点B右移1个单位长度至点，再将点右移1个单位长度至点，以此类推，…．点是数轴上位于右侧的点，且满足（，2，）．若点表示的数为9，则b的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得Bn=b+n，则ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），结合条件即可求解．
【详解】解：∵点B右移1个单位长度至点B1，即B1表示的数为：b+1，
点B1右移1个单位长度至点B2，即B2表示的数为：b+2，
..．
∴Bn=b+n，
∴ABn=b+n-（-7）=b+n+7，BnCn=Cn-（b+n），
∵ABn=3BnCn，
∴b+n+7=3[Cn-（b+n）]，
整理得：Cn=，
∴当点C10表示的数为9时，＝9，
解得：b=-5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由题意得到Cn=．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13. 计算：________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，进行运算，即可求得
【详解】解：
=4+1
=5
故答案为：5
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，熟练掌握和运用去绝对值符号法则及零指数幂的运算法则，是解决本题的关键
14. 在不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，小球上分别标有数字，1，2，从这三个小球中任意取出一个球，记数字为m，不放回，再取出一个记数字为n，则m与n的积为正数的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能结果数，找到m与n的积为正数的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中m与n的积为正数的有2种结果，
所以m与n的积为正数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到CF=BE=4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，
由勾股定理得，EF=＝＝3，
∴BF=BE-EF=4-3=1，
由勾股定理得，AB=＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
16. 每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【答案】504
【解析】
【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解．
【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，
由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429，
解得：（3a+4b）（x-y）=429，
∵，
∴11＜x-y＜，
∵a，b，x，y为非负整数，
∴x-y=13，3a+4b=33，
∴a=3，b=6，x=13+y，
∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y，
∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504，
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用单项式乘多项式、平方差公式化简，再合并同类项计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．
小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
=
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，解答的关键是熟练掌握混合运算法则和运算顺序，熟记完全平方公式和平方差公式．
18. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，．
∵EF平分AC，
∴________．
∴________．
∴________．
又∵，
∴四边形AFCE是________．
又∵，
∴四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）详见解析；
（2）；；CF；平行四边形．
【解析】
【小问1详解】
（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线EF即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明．
如图，直线EF即为所求；
【小问2详解】
证明：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
∵EF平分AC，
∴AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
故答案：AO=CO，△COF（ASA），CF，平行四边形，
【点睛】本题考查作垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了关于心肺复苏急救知识的专题讲座，并进行了心肺复苏急救知识测评．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的测试成绩是：96，78，69，99，77，60，86，100，86，86．
八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：85，87，87．
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表
根据上述信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，m的值；
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
（3）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握心肺复苏急救知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】（1），，
（2）120 （3）八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依据中位数、众数的计算方法可求出a、b，求出八年级10名学生的测试成绩在D组中的频数，即可得m的值；
（2）样本估计总体即可；
（3）通过比较平均数、中位数、众数得出答案．
【小问1详解】
七年级10名学生的测试成绩出现次数最多的是86，出现3次，因此众数是86，即a=86，
八年级10名学生的测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是87，因此中位数是87，即b=87，
10-10×（10%+20%）-3=4，
4÷10=40%，
∴m=40，
∴，，．
【小问2详解】
，
答：七年级测试成绩优秀的学生共有120名．
【小问3详解】
八年级学生掌握心肺复苏急救知识更好，理由如下（写出其中一条即可）：
①八年级学生测试成绩中位数87高于七年级学生测试成绩中位数86．
②八年级学生测试成绩方差78.81低于七年级学生测试成绩方差152.21．
③八年级学生测试成绩众数90高于七年级学生测试成绩众数86．
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．也考查了平均数、中位数、众数、方差．
20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，已知点，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在网格中直接画出它们的图像（不需列表）；
（2）连接OA，OB，求的面积；
（3）根据函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；图像见解析；
（2）3； （3）或．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数y=的图像经过点A（1，4），求出m的值，得出反比例函数的解析式，从而求出点B的坐标，再根据一次函数y=kx+b的图像经过点A和点B，求出k和b的值，得出一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据函数的图像和交点坐标即可求得．
【小问1详解】
解：∵双曲线过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
∵点B在双曲线上，
∴，即，
∴．
∵点，在直线AB上，
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
函数图像如答图所示．
【小问2详解】
设AB与x轴交于点C，
∵，当时，，
∴，，
∴．
【小问3详解】
根据图像可知：不等式kx+b＜的解集为：x＜-2或0＜x＜1．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是根据所给的条件得出B点的坐标，求出函数的解析式．注意运用数形结合的思想．
21. 助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．
【答案】（1）每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤；
（2）
【解析】
【分析】（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，根据等量关系式：青菜-土豆=3斤，300个爱心蔬菜包中青菜+土豆=2100斤，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据等量关系式：第二天送出的青菜-土豆=1200斤．
【小问1详解】
解：设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，
根据题意，得，解得：，
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
【小问2详解】
根据题意，得，
解得（舍去），，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
22. 如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：，）
（1）求步道BC的长；
（2）公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？
【答案】（1）步道BC的长为24米；
（2）此次改建费用足够．
【解析】
【分析】（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据题意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，再在Rt△GCD中，利用锐角三角函数的定义求出CG，DG的长，从而求出BF的长，最后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积=△ABE的面积+梯形BEGC的面积+△CGD的面积，进行计算即可求出四边形ABCD的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答．
【小问1详解】
过点B作于点E，过C作于点F，于点G．
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在矩形CGEF中，，
∴，
在，，且，
∴．
∴，
∴．
答：步道BC的长为24米．
【小问2详解】
在中1，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴
，
∴总共花费：，
∵，
答：此次改建费用足够．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23. 如果一个三位自然数M的各个数位上的数均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，∵，∴321是“沙磁数”．
又如：，∵，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”?并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若能被11整除，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”；
（2）满足条件的M有431，972，844，716．
【解析】
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）设M的十位数字为x，个位数字为y．，求得A-B，再根据或11或22．为整数求得x、y的值，便可得出结果．
【小问1详解】
853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”．
∵，
∴853是“沙磁数”．
∵，
∴632不是“沙磁数”．
【小问2详解】
设M的十位数字为x，个位数字为y．
由题意知，x，y为自然数，且，，．
，
，
则．
∵能被11整除，
∴能被11整除．
∵，，
∴，
∴或11或22．
①当时，或符合题意，
∴或972．
②当时，符合题意，
∴．
③当时，符合题意，
∴．
综上，满足条件的M有431，972，844，716．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，根据定理列出方程是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点C是抛物线的顶点．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交BC于点E，，垂足为F．
（1）求点C的坐标；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）当点P满足（2）问的条件时，把抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点，M是新抛物线上一点，N是直线BC上一点，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】（1）点C的坐标为
（2）当时，取得最大值，最大值为．此时，点P坐标为
（3）M的坐标为，，，．
【解析】
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式可直接得出点C的坐标；
（2）令y=0，可求出点A和点B的坐标，进而可得出直线BC的解析式；过点C作CH⊥x轴于点H，由此可得△PEF∽△BCH，得到PE和PF之间的关系；设点P的横坐标为t，可表示点E的坐标，可表达PE的长，利用二次函数的性质可得出最值；
（3）根据平移的特点先求出平移后抛物线的函数表达式为；设点M的横坐标为m，若以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，需要分情况讨论，当AP是边时，当AP是对角线时，分别利用平移和中点坐标公式建立等式可得出m的值，进而可得出点M的坐标．
【小问1详解】
解：∵，
∴点C的坐标为．
【小问2详解】
∵抛物线的函数表达式为，
∴，．
∴直线BC的函数表达式为．
设，其中．
∵点E在直线上，轴，
∴．
∴．
过点C作轴于H，
∵，
∴△PEF∽△BCH．
∴．
∵，，
∴．
∴
，
∴当时，取得最大值，最大值为．此时，点P的坐标为．
【小问3详解】
M的坐标为，，，．
∵把抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点
∴平移后抛物线的函数表达式为．
∵点M在抛物线上，
∴设，
①若AP是平行四边形的对角线（如答图），
当MN与AP互相平分时，四边形MANP是平行四边形．
即MN经过AP的中点．
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∴．
∴点M的坐标为，．
②若AP是平行四边形的边，
i当四边形APMN是平行四边形时．
∵，，
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∵，
∴此种情况不存在．
ii当四边形APNM是平行四边形时．
∵，，
∴点N的坐标为．
∵点N在直线上，
∴．
∴．
∴点M的坐标为，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键掌握平行四边形的性质与判定，利用平移和中点坐标公式建立方程．
25. 在等腰中，，将CA绕点C顺时针旋转至CD的位置，连接AD．点E为边BC上一动点，连接DE交AC于点F．
（1）如图1，若，，且，点B与点E重合，求BD的长；
（2）如图2，连接AE，若，．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿CD翻折，使得点A落在点G处．H是BC的中点，连接FH．若，在点E移动的过程中，当FH的长取得最小值时，请直接写出此时点B到直线CG的距离．
【答案】（1）；
（2）详见解析； （3）点B到直线CG的距离为．
【解析】
【分析】（1）过点D作的延长线于点P，利用勾股定理求解即可；
（2）过点D作于点D，且，连接AQ，CQ，先证明，再证明，推出，再等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值求解；
（3）过点P作，且，连接AH，DP，FP．证明是等腰三角形，推出，推出点F在以点P为圆心，PC为半径的上，当FH的值最小时，点F为PH与的交点，过点B作交GC的延长线于点T，在BT上取一点R，使得．证明是等腰直角三角形，设，构建方程，可得结论．
【小问1详解】
解：过点D作的延长线于点P，如下图，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
由题意知，，
在中，，，
，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
证明：过点D作于点D，且，连接AQ，CQ，如下图．
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
∵．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如下图3，过点P作，且，连接AH，DP，FP．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是等腰三角形，
∴是等腰三角形，
∴，
∴点F在以点P为圆心，PC为半径的上，如下图中，
当FH的值最小时，点F为PH与的交点，
过点B作BT⊥G交GC的延长线于点T，在BT上取一点R，使得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴D，P，G三点共线，，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴此时点B到CG的距离为．
【点睛】本题属于几何旋转变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83.7
86
a
152.21
八年级
83.7
b
90
7881
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