南昌县莲塘第一中学2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份南昌县莲塘第一中学2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知，向量，，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．,,,且三点共线,则( )
A.8B.4C.2D.1
4．若数列的前n项和为,且,则( )
A.684B.682C.342D.341
5．在下列关于直线与平面,的命题中,真命题是( )
A.若,且,则B.若,且,则
C.若,且,则D.若,且,则
6．如图,有一古塔,在A点测得塔底位于北偏东方向上的点D处,塔顶C的仰角为,在A的正东方向且距D点60m的B点测得塔底位于北偏西方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为( )(参考数据:)
A.38mB.44mC.40mD.48m
7．如图,在中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点,,,则的最小值为( ).
A.B.C.3D.9
8．已知函数,若函数有6个不同的零点,且最小的零点为,则( ).
A.6B.C.2D.
二、多项选择题
9．若复数(i为虚数单位),复数z的共轭复数为,则下列结论正确的是( )
A.复数z所对应的点位于第一象限B.
C.D.
10．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,则角C的大小是( )
A.B.C.D.
11．已知圆锥底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,设圆锥的顶点为V,A,B是底面圆周上的两个不同的动点,给出下列四个结论,其中成立的是( )
A.圆锥的侧面积为
B.母线与圆锥高所成角的大小为
C.可能为等腰直角三角形
D.面积的最大值为
12．同学们,你们是否注意到,自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程,航海,光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为(其中a,b是非零常数,无理数),对于函数以下结论正确的是( )
A.是函数为偶函数的充分不必要条件;
B.是函数为奇函数的充要条件;
C.如果,那么为单调函数;
D.如果,那么函数存在极值点.
三、填空题
13．已知是定义域为奇函数,当时,,则______.
14．函数在上单调递增,则的最大值为__________.
15．已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则过,E,F三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为________.
16．如图所示,在直角梯形ABCD中,已知,,,,M为BD的中点,设P,Q分别为线段AB,CD上的动点,若P,M,Q三点共线,则的最大值为______.
四、解答题
17．在梯形ABCD中,,,,.
（1）求的值;
（2）若的面积为4,求AD的长.
18．已知数列的首项,其前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．如图为函数的部分图象.
（1）求函数解析式和单调递增区间;
（2）若将的图像向右平移个单位,然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像,求函数在区间上的最大值和最小值.
20．如图所示,四棱锥的底面ABCD为正方形,顶点P在底面上的射影为正方形的中心O,E为侧棱PC的中点.
（1）求证:平面BDE;
（2）若,四棱锥体积为,求PB与平面DBE所成角.
21．已知向量,,.
（1）当时,函数取得最大值,求的最小值及此时的解析式;
（2）现将函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.已知A,B,C是函数与图象上连续相邻的三个交点,若是锐角三角形,求的取值范围.
22．已知函数.
（1）若函数有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
（2）若函数有两个不同的极值点,,当时,求证:.
参考答案
1．答案：D
解析：对于集合A,,;
对于集合B,,;
由于,
,1,;
故选:D.
2．答案：B
解析：若向量，则，即
解得：或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
3．答案：A
解析：由题得,
因为A,C,D三点共线,
所以,
所以存在实数,使得,
所以,
所以,解得,.
故选:A
4．答案：B
解析：,,,,,
所以.
故选:B.
5．答案：B
解析：对于A,,当平面,的交线为L时,满足,此时,A错误;
对于B,由,得存在过直线l的平面,,,,由于,
则平面,与平面必相交,令,,于是,,
显然,,而l,a,,则,同理,又,是平面内的两条相交直线,因此,B正确;
对于C,平面,为一正三棱柱的两个侧面所在平面,直线为底面正三角形的一边所在直线,
显然,l与平面不平行,C错误;
对于D,,令,当直线在平面内,且时,满足,此时不成立,D错误.
故选:B
6．答案：D
解析：如图,根据题意,平面ABD,,,,.
在中,因为,所以,
所以.在中,m.
故A,B,C错误.
故选:D.
7．答案：B
解析：因为M为线段BC的中点,所以,又因为,所以,
又,,所以,
又P,G,Q三点共线,所以,即,
所以,
当且仅当,即,时取等号.
故选:B
8．答案：B
解析：由函数的图象,经过翻折变换,可得函数的图象,
再经过向右平移1个单位,可得的图象,
最终经过翻折变换,可得的图象,如下图:
则函数的图象关于直线对称,
令
因为函数最小的零点为,且,
故当时,方程有4个零点,
所以,要使函数有6个不同的零点,且最小的零点为,则,或,
所以,关于t方程的两个实数根为0,1
所以,由韦达定理得,,
故选:B
9．答案：AC
解析：因为,所以,
所以,
对于A,复数在复平面内对应的点在第一象限,故A正确;
对于B,由,可得,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选:AC
10．答案：AD
解析：,
,
由,可得,
,
,即
解得,又
或,即或
故选:AD
11．答案：BD
解析：由圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,得,则,
对于A,圆锥侧面积为,A错误;
对于B,圆锥底面圆直径为2,即圆锥轴截面三角形为等边三角形,则母线与圆锥的高所成角的大小为,B正确;
对于C,由选项B知,等腰的顶角满足:,则不可能为等腰直角三角形,C错误;
对于D,面积,D正确.
故选:BD
12．答案：BCD
解析：对于A,当时,函数定义域为R关于原点对称,
,故函数为偶函数;
当函数为偶函数时,,故,
即,又,故,
所以是函数为偶函数的充要条件,故A错误;
对于B,当时,函数定义域为R关于原点对称,
,故函数为奇函数,
当函数为奇函数时,,
因为,,故.
所以是函数为奇函数的充要条件,故B正确;
对于C,,因为,
若,,则恒成立,则为单调递增函数,
若,则恒成立,则为单调递减函数,
故,函数为单调函数,故C正确;
对于D,,
令得,又,
若,
当,,函数为单调递减.
当,,函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若,,
当,,函数为单调递增.
当,,函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点,故D正确.
故答案为:BCD.
13．答案：
解析：是定义域为R的奇函数,当时,,
则有.
故答案为:
14．答案：
解析：,则,
因为,所以要想在上单调递增,
需要满足且,,
解得:,,
所以,解得:,
因为,所以,
因为,所以,
的最大值是.
故答案为:.
15．答案：
解析：如图延长直线EF,分别交DC,DA的延长线于点H,G,连接,,分别交,,于点I,J,连接IE,JF,则五边形为所得截面,
又正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,
所以,
平面平面,所以平面与以上两个平面的交线,
所以,,,
所以,.
在中,所以,
在中,所以.
同理可得,.
则五边形周长为.
16．答案：
解析：如图所示,建立直角坐标系,则,,,,,
又Q是线段CD上的动点,设,
则,可得
设,,
由P,M,Q三点共线,设
利用向量相等消去可得:,
令,,则在上单调递减,
故当时,取得最大值
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,
由正弦定理得,则;
（2）因为,为锐角,所以,
所以,
又为锐角,所以,
因为,所以,
由余弦定理得,
所以.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）已知,
当时,,即,由,解得.
当时,,
则相减得.
当时,也成立.
所以对于都有成立.
上式化为,所以是等比数列,首项为4,公比为3,
则,即.
（2）因为,
则,
两式相减得,
,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由图象知,,
又则,
则,将代入得,,
得,,解得,,
由,得当时,,
所以.
令,,
得,,
所以的单调递增区间为.
（2）将的图像向右平移个单位得
,
然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.
已知,则,则.
故当,时,最小值为;
当,时,的最大值为2.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）连接,因为底面是正方形,且顶点P在底面上的射影为正方形的中心,
所以,
又因为点E是PC中点,
所以由三角形中位线定理可得;
因为平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE;
（2）,
解得:,
以故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,,,
,,,
设平面BDE的一个法向量是.
由,得,
令,则,
所以PB与平面DBE所成角的正弦值为,
所以PB与平面DBE所成角为.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）
,
当时,函数取得最大值,即,
解得,且,则,
此时;
（2）由函数的图象沿x轴向左平移个单位,
得到,
由（1）知,作出两个函数图象,如图:
A,B,C为连续三交点,(不妨设B在x轴下方),D为AC中点,
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形,
根据图像可得,即,
由两个图像相交可得,即,化简得,
再结合,解得,
故,可得,
当为锐角三角形时,只需要即可,
由,
故的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意知,方程在上有两个不同根,
即方程在上有两个不同根,即方程在上有两个不同根.
令,,则,
则当时,,时,,
则函数在上单调递增,在上单调递减,所以.
又因为,当时,,当时,,
所以a的取值范围为.
（2）证明:即证,两边取对数,等价于要证,
,,
可知,分别是方程的两个根,
即,,
所以原式等价于.
因为,,所以原式等价于要证明.
又由,作差得,,即,
所以原式等价于,令,,
则不等式在上恒成立.
令,,又,
当时,时,,所以在上单调递增.
又,,所以在恒成立,所以原不等式恒成立.