2024届重庆市主城区高三上学期学业质量调研抽测（第一次）数学试题

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（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（ ）
A iB. C. 1D.
2. 已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A. B. C. D.
3. 2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylr Brk）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A. 0.642B. 0.648C. 0.722D. 0.748
6. 已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，若为直角三角形，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉样物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A. 50B. 36C. 26D. 14
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 存在
C. 不存在以为直径且经过焦点的圆
D. 当的面积为时，直线的倾斜角为或
12. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点与点重合时，直线平面
B. 当点移动时，点到平面的距离为定值
C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为
D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量满足，则________．
14. 已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为________．
15. 已知点为椭圆的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，，则该椭圆的离心率为________．
16. 已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在梯形中，为钝角，，．
（1）求；
（2）设点为的中点，求的长．
18. 已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19. 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：
（1）若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
（2）为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．
20. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，．
（1）若为的中点，求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成的角的余弦值为．
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度．
21. 已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
22. （1）已知函数，（为自然对数的底数），记的最小值为，求证：；
（2）若对恒成立，求取值范围．
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
编号x
1
2
3
4
5
6
产值y/百万辆
9
18
30
51
59
80