河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了在中，下列各式正确的是，已知数列满足，参考数据等内容，欢迎下载使用。

数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知各项均为正数的等比数列满足.若存在两项，，使得，则的最小值为( )
A.4B.C.D.9
2.已知函数,且.若,则( )
A.2024B.2023C.2022D.2025
3.已知函数在区间上单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则( )
A.B.C.D.
4.在中，下列各式正确的是( )
A.B.
C.D.
5.满足下列条件的两条直线与，其中可以推出的条件是( )
①的斜率为2，过点，；
②经过点，，平行于x轴，但不经过P点；
③经过点，，经过点，.
A.①②B.②③C.①③D.①②③
6.在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的法向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数m的值为( )
A.2B.1C.D.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.设一元二次方程的两个实根为,,,则( )
A.
B.当时,的最小值为
C.为定值
D.当时,
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是( )
A.，，
B.当时，点P到x轴的距离的最大值为6
C.当时，函数单调递减
D.当时，
11.已知点,,圆,若在圆C上存在唯一的点Q使得,则m可以为 ( )
A.3B.C.D.
12.直线是曲线的切线,则实数a的值可以是( )
A.3πB.πC.D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知样本数据,,…,的平均数与方差分别是m和n,若,且样本数据的,,…,平均数与方差分别是n和m,则________.
14.已知过不同两点，的直线l的一个方向向量，则实数_________.
15.若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.
16.商场对某种产品的广告费用支出x(元)与销售额y(元)之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x与y之间的关系式为，则当广告费用支出为10元时，销售额y的预报值为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,.球数构成一个数列,满足,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证:.
18.（12分）如图,在中,点D在BC边上,,,,
（1）求的值；
（2）求的面积.
19.（12分）已知函数,在中,,,且的面积为．
（1）求C的值；
（2）求的值．
20.（12分）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A,每期利率为r,期数为n,到期末的本利和为S,则其中,S称为n期末的终值,A称为n期后终值S的现值,即n期后的S元现在的价值为.现有如下问题:小明想买一套 房子有如下两个方案——
方案一:一次性付全款50万元；
方案二:分期付款,每年初付款6万元,第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率为4%,试讨论两种方案哪一种更好?
（2）若小明把房子租出去,第一年年初需交纳租金2万元,此后每年初涨租金1000元,假设存款的年利率为4%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.(精确到百元).参考数据:
.
21.（12分）设抛物线的焦点为F,过F作斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,且,Q为抛物线上一点,过Q作两条均不垂直于对称轴的直线分别交抛物线于除Q之外的M、N两点.
(1)求C的方程；
(2)若Q坐标为,且,判断MN斜率是否为定值,若是,求出该值,若不是,说明理由.
22.（12分）已知,设函数,是的导函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上存在两个不同的零点,.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
2023—2024学年郑州市宇华实验学校高三（上）期末考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：C
解析：设等比数列的公比为.由各项均为正数的等比数列满足，可得，即，解得或（舍）.
，，，，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.故选C.
2.答案：D
解析：由,得,
,.
故选：D.
3.答案：D
解析：由题意得，解得，易知是的最小值点，所以，得，于是，则，故选D.
4.答案：D
解析：对于选项A：由正弦定理有, 故, 故选 项A错误；
对于选项B ：因为, 故, 故选项B错误；
对于选项C：, 由余弦定 理 得
; 故选项C错 误;
对于选项D：由正弦定理可得, 再根据诱导公式可得：,
即 ，故选项D正确;
故选：D
5.答案：B
解析：根据两点间的斜率公式知①中的斜率为2，但是不能保证，因为有可能直线与重合；②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证.故选B.
6.答案：A
解析：由题意，得，，，则，，设平面的一个法向量是，则即令，则，，所以，故选A.
7.答案：D
解析：根据题意，，要使是递增数列，必有
即可得.故选D.
8.答案：B
解析：由已知，得，
，解得，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：BC
解析:因为方程的两个实根为,,
所以,解得,
由,,所以,所以A错误;
则,当时,等号成立,
所以的最小值为,所以B正确;
由,所以C正确;
当时,,得,所以D错误.
故选:BC.
10.答案：ABD
解析：由题意可知，所以，解得，又从点出发，所以，，又，所以，A正确；，当时，，则，，点P到x轴的距离为，所以点P到x轴的距离的最大值为6，
B正确；当时，，所以函数在上不单调，C不正确；当时，，则，且，所以，
则，D正确.故选ABD.
11.答案：AD
解析:根据可知,点Q的轨迹为以AB为直径的圆T,,
圆的圆心,,圆C的圆心,
若在圆C上存在唯一的点Q使得,故圆T和圆C相切,
即或,,
即或(无解),
即或,
故或
故选:AD.
12.答案：AB
解析：设切点为,直线恒过定点,
,,
, ,
,可取,
由导数的几何意义知,,
则,则,
所以,
当时,;当,,故A,B正确,C,D不正确.
故选：AB.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.答案：4044
解析：由题意得,,解得,,
,
,
.
故答案为:4044
14.答案：
解析：分析知，即且.又由题意，得，所以.
15.答案：
解析：，.又，.
16.答案：82.5
解析：x与y之间的关系式为，则当广告费用支出为10元时，销售额的预报值为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,,所以,,
所以当时,
,
当时,上式也成立,
所以；
（2）由,
所以.
18.答案：（1）;
（2）330.
解析：（1）在中,由得,显然,
由得,又,
所以.
（2）在中,由正弦定理得:,
所以的面积是.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）
由,得,
.
（2）由（1）知,又
由余弦定理得,
由正弦定理得.
20.答案：（1）方案一更好.
（2）27.88万元
解析：（1）若分期付款,十年后终值(万元).
若全款50万,十年后终值
所以方案一更好.
（2）十年房租到期后小明所获得全部租金的终值
记
则
所以
两式相减得
所以(万元).
21.答案：(1)
(2)定值为-1,理由见解析
解析：（1）设,,由题可知F点坐标为,
直线AB的方程为,代入,得,
由韦达定理可得,,
所以,得,所以抛物线方程为;
（2）由（1）知Q点坐标为,设,,
由,两式相减得,,
由题意可得直线QM的方程为,直线QN的方程为,
由,
消去x整理得,①
显然2,是方程①的两根得②,
同理可得③,
②③得,所以,
所以MN的斜率为定值-1.
22.答案：（1）
（2）①;②证明见解析
解析:（1）由题设,
则,且,所以,,
则在点处的切线方程为,即.
（2）①当时等价于,
设,则.
当时,单调递减;当时,单调递增;
所以,当时,
因为在上存在两个不同的零点,,则,解得.
当时,取,则,
故,又,
所以在和上各有一个零点,故.
②因为,所以,
结合知：.
设,则,在上,在上,
所以y在上递增,在上递减,故,即,
所以,即,当时取等号,
所以.
由①知,在上单调递增,且,所以,即.
因为在上是减函数,且,
所以,得证.