20241月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题含解析

这是一份20241月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题含解析，文件包含2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试九省联考数学试题解析docx、2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试九省联考数学试题试卷docx、官方原版2024九省联考数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
2. 椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
6. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
7. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
8. 设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数偶函数
B. 曲线对称轴为
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
10. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数D. 函数是减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若，则的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．
14. 以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
17. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角正弦值．
18. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线交点，求面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
（1）若，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
（3）已知．对，令．证明：．