9.4 抛物线（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北廊坊 ）已知抛物线，过点的直线l交C于A，B两点，则直线，（O为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A．B．8C．4D．
3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．3D．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（ ）
A．1B．C．2D．
7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线的焦点为，准线为为上一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线在点处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，若点不在抛物线上，且满足的最小值为，则的值可以为（ ）
A．B．3C．D．
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的方程为 .
12．（2023春·广东广州 ）已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为 .
13．（2023·福建）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为 .
15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为 ．
16．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为 ．
17．（2022秋·陕西渭南 ）设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 ．
18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为 .
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为 .
22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
23．（2023秋· 课时练习）已知抛物线的焦点为，则 ，若点在抛物线上，点，则的最小值为 .
24．（2023·江苏 ）设点P是抛物线上的一个动点.
(1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
25．（2023·江苏 ）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.
26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，，的最小值为5．若直线与抛物线交于点N，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）
A．的最小值为3
B．C的准线方程为
C．
D．当时，点P到直线l的距离的最大值为
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若，则直线l恒过点
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，，直线左边的抛物线上存在一点，则（ ）
A．B．
C．若点，则D．当的面积最大时，面积为
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线的准线方程为，圆，直线与交于两点，与交于两点在第一象限），为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．为定值
6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段与x轴交于点M，连接并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M为C的焦点，则直线平行于x轴
B．若点M为C的焦点，则线段的长度的最小值为4
C．若，则点M为C的焦点
D．若与的面积之积为定值，则点M为C的焦点
7．（2023秋·河北唐山 ）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时， ．
8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点为抛物线的焦点，点，，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点.
10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l过定点．
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.
12．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.