10.3 平面向量的应用（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】如下图所示：

设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
2．（2023春·福建厦门）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，

则，设，，，
则，
因为，则，
则，
故当，时取得最大值为5．
另解：令，则为中点，为中点，则，
所以，当为中点时取等．
故选：C
3．（2023春·北京石景山 ）如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
，
，
所以
即当取最大值时，取得最大值．
当与同向时，取得最大值为，
此时，取得最大值．
故选：C．
4．（2023秋·云南大理 ）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，

由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故选：A．
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在扇形及扇形中，，，动点在（含端点），则的最小值是（ ）

A．B．6C．D．7
【答案】A
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则.
设，，
则,
则，
其中.所以，
当且仅当时，取“=”，
故选:A.

6．（2022春·甘肃白银 ）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
；
以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，
由得：，，
，其中，，
，，当时，.
故选：B.
7．（2023·北京）已知平面向量 ，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
∵，解得：，
∴两向量夹角，
∵，
以为坐标原点, ,垂直于所在直线为,轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则, 设, 由, 知,
解得,
∴
又E为的外心，
∴，
∴为等边三角形,
∴，
∴,
∴.
故选：B.
8．（2023春·四川成都）（多选）给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．已知，，则
B．若非零向量满足，则
C．若G是的重心，则点G满足条件
D．若是等边三角形，则
【答案】BC
【解析】对于选项A，已知，，则，故选项A错误；
对于选项B，已知非零向量满足，
则，所以，则，故选项B正确；
对于选项C，已知G是的重心，设为的中点，
则，则，故选项C正确；
对于选项D，已知是等边三角形，则，故选项D错误.
故选项：BC.
9．（2022春·黑龙江大庆）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若点G是的重心，则
B．已知，，若，则
C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则
D．已知平面向量，，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为
【答案】AD
【解析】对于A：设D为BC边的中点，由向量的中线公式可得.因为点G是的重心，则.故A正确；
对于B：因为，，所以.因为，所以，解得：.故B错误；
对于C：因为A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，且，所以，解得: .故C错误；
对于D： 因为平面向量，，满足，且，，
所以，即，解得：.
又因为，所以.即向量与夹角的正弦值为.故D正确.
故选：AD
10．（2023·广西）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，
因为向量，且与的夹角为钝角，
所以，所以，
不妨令，则，故，
故答案为：（答案不唯一）.
11．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为
【答案】
【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点、，
令，，则，得，
设，则，则点的坐标为，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以.
故答案为：4.
12．（2023春·湖南永州 ）一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ．
【答案】
【解析】A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，

则，，即，
，即，
所以，故.
所以A，D两地距离为.
故答案为：.
13．（2023春·上海奉贤 ）已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 .
【答案】
【解析】因为是边长为1的等边三角形，所以，，
所以，
所以
.
故答案为：
14．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是 ．

【答案】
【解析】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
1．（2023春·江西萍乡 ）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，中点为，则即，故，即，.
故
，因为，故，则，故，故的取值范围为.
故选：D
2．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ）

A．为定值B．的取值范围是
C．当时，为定值D．的最大值为12
【答案】B
【解析】如图，过作直径，
由题意，
所以
为定值，A对；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，B错；
若，故，
则，
又，则，同理可得，故，C对；
若为中点，连接，则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即，则，
综上，当且仅当时的最大值为12，D对.

故选：B
3．（2023春·福建泉州 ）（多选）如图，直线，点A是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（ ）
A．B．面积的最小值是
C．D．存在最小值
【答案】BC
【解析】设中点为，
连接，
以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，

则，，
设，，，，且，
所以，，
因为，所以，
即，故，即，
所以，，，
因为，
所以，
因为，
故，A错误；
因为，
所以，即，
所以三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，故B正确；
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等，
故，C正确；
因为，
所以
，
因为且，所以，
记，
，
可知单调递增，没有最值，
即没有最值，故D错误.
故选：BC
4．（2023春·山东聊城 ）（多选）在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心
B．已知平面向量，，满足，，则为等腰直角三角形
C．已知平面向量，，满足，且，则是等边三角形
D．在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为1．
【答案】AC
【解析】对于A项，由已知可得点到三个顶点的距离相等，且在所在的平面内，所以点是的外心，故A正确；
对于B项，因为，所以点在的平分线上.
又，所以，所以.
所以，是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；
对于C项，由，结合A的结论，可知点是的外心.
又，即.

如图1，取中点为，则，
所以，所以共线，且，
所以，点为的重心.
又，所以，所以，
所以，点为的垂心.
综上可知，是等边三角形，故C项正确；
对于D项，

如图2，过点作，垂足为，
因为，由，
可得，，即圆的半径.
以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，
因为在圆上，根据三角函数的定义，可设点，
则，，.
由可知，
所以，.
设，，，则.
当时，取最大值1，有最大值3；
当时，取最小值，有最小值1.
故D项错误.
故选：AC.
5．（2022春·重庆沙坪坝 ）（多选）下列论述中正确的是（ ）
A．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
B．对于给定的，其重心为，过点的直线交，与，，若，，则
C．在四边形中，，且，则
D．在中，若则是外心
【答案】ABC
【解析】对于A，∵平面向量，的夹角为，且，，
∴，，
∴，
因为
所以与的夹角等于.故A正确
对于B，由于是三角形的重心，三点共线，所以，
，，
，所以，
所以.B选项正确.
对于C，由于，所以四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，且，，所以，C选项正确.
对于D，在中，若，，，所以，同理可证得，所以是三角形的垂心，D选项错误.
故选：ABC
6．（2023秋·山东日照 ）四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为 ．
【答案】1
【解析】如图所示：

因为，，又点是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点是的中点，
所以，
因为，
所以，
即，
设，，则，
所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，
即有最大值为1．
故答案为：1
7．（2023春·辽宁大连· ）在长方形中，，，点P为长方形内部的动点，且，当最小时， .
【答案】/
【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
，
设，则，，
因为，所以，即，
所以点在以为圆心，1为半径的半圆上，
所以当共线时，最小，
过作于，因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
故答案为：

8．（2023春·四川成都 ）已知非零向量，，满足，，，则对任意实数t，的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，，则，而，于是，
又，则，作，使，如图，

由，得，即，令，则，
因此的终点在以点为圆心，2为半径的圆上，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，
于是是圆上的点与直线上的点的距离，过作线段于，交圆于，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）定理：如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则.
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
(1)点在内部，满足，求的值；
(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.
【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析
【解析】（1）解：因为，根据奔驰定理可得，
因此，.
（2）解：根据奔驰定理，得，即，
整理可得，
因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，.
（3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为，
，，，
故，同理，，
根据奔驰定理，.
即.
所以.