+重庆市巴南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷.

这是一份+重庆市巴南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷.，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列四个汉字图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）一木工师傅准备用三根木条做一个三角形形状的模具，现在已有两根长度分别为20cm、50cm的木条，选择下列长度的木条能做成三角形模具的是（ ）
A．10cmB．20cmC．30cmD．40cm
4．（4分）如图，OB＝OD，∠DOB＝∠COA，添加下面条件不能判断△OAB≌△OCD的是（ ）
A．AB＝CDB．OA＝OCC．∠A＝∠CD．∠B＝∠D
5．（4分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15B．a8÷a2＝a6（a≠0）
C．a3+a3＝a6D．（a3）5＝a8
6．（4分）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．有两组对应边分别相等和一组对应角相等的两个三角形全等
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形内部
8．（4分）若x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．10B．﹣10C．﹣6或10D．10或﹣10
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（ ）
A．α+βB．α+2βC．2α+βD．
10．（4分）在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：ax+ay+bx+by＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）．下列说法：
①因式分解：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；
②若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC为等腰三角形；
③若a，b，c为实数且满足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，则以a，b，c作为三边能构成三角形．
其中正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
二.填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）肥皂泡表面厚度大约是0.00071毫米，将这个数用科学记数法表示为 毫米．
12．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．（4分）一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是 ．
14．（4分）若点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称，则a+b的值为 ．
15．（4分）“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D为AB上一动点，连接CD，点E为线段CD上一点，点F，点G分别为边CA，边CB上的动点，若∠ACB＝30°，CE＝6，则△EFG的周长的最小值为 ．
17．（4分）若a使得关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于x的分式方程的解为正数，求所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 ．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：9＝32，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当f（m）是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.
19．（8分）计算：
（1）（2a）3•（b3）2+（ab2）2；
（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．
20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小明想要去探究直角梯形的两底边与两非直角顶点所连腰的数量关系，于是他对其中一种特殊情况进行了探究：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，当DE平分∠ADC时，探究AB、CD与AD之间的数量关系．他的思路是：首先过点E作AD的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，
∴ （角平分线的性质），
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．
∴ ，
同理可得：DC＝DF，
∴AB+CD＝ ，
即AB+CD＝AD．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，
（1）求证：△ABC≌△FED；
（2）若点D是BC中点，且BE＝12，BA＝4，AC＝5，求△DEF的周长．
22．（10分）计算：
（1）；
（2）．
23．（10分）A、B两地相距240千米．
（1）甲以60千米/小时的速度从A地前往B地，乙以80千米/小时的速度从B地前往A地．若甲先出发小时，乙再出发，求乙出发后多少小时后甲乙相遇？
（2）“要致富，先修路”，当地政府为解决交通问题，决定在A、B两地间新修一高速公路．经调研可知，高速公路修成后，从A地前往B地的平均速度可提高25%，时间可比原来缩短小时，求原来从A地前往B地的平均速度是多少？
24．（10分）一渔船从A地出海打鱼，B岛位于A地北偏东45°方向，由于B岛周围4海里有暗礁，渔船沿北偏东60°方向航行10海里到达C处，此时测得B岛位于C处的北偏东30°方向．请问：
（1）C地与B岛距离是多少海里？
（2）如果渔船继续沿此航线航行，请问有没有触礁的危险？请说明理由．
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，连接AD，AE，CD，DE，BE，AE＝AD，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如图2，连接BD，∠BDC＝96°，AB＝BC，若△BDE是以∠BDE为顶角的等腰三角形，求∠CDA的度数．
26．（10分）在△ABC中，点D、点E分别为边BC、AB上的点，
（1）如图1，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线经过点E与BC延长线交于F点，连接AF，若∠B＝30°，求∠CAF的大小；
（2）如图2，D为边BC中点，连接ED，CE，过点B作AC的平行线BF交ED延长线于点F．若∠EDB＝∠ACE+∠ACB，求证：EF＝CE+2DE．
2023-2024学年重庆市巴南区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（4分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：，，分母中不含有未知数，不是分式；
分母中含有未知数，是分式．
故选：D．
2．（4分）下列四个汉字图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（4分）一木工师傅准备用三根木条做一个三角形形状的模具，现在已有两根长度分别为20cm、50cm的木条，选择下列长度的木条能做成三角形模具的是（ ）
A．10cmB．20cmC．30cmD．40cm
【解答】解：设木条的长度为x cm，则50﹣20＜x＜50+20，即30＜x＜70．
故选：D．
4．（4分）如图，OB＝OD，∠DOB＝∠COA，添加下面条件不能判断△OAB≌△OCD的是（ ）
A．AB＝CDB．OA＝OCC．∠A＝∠CD．∠B＝∠D
【解答】解：∵∠DOB＝∠COA，
∴∠DOB+∠BOC＝∠COA+∠BOC，
∴∠DOC＝∠AOB，
A、∵AB＝CD，OD＝OB，∠DOC＝∠AOB，
∴△OAB和△OCD不一定全等，
故A符合题意；
B、∵OD＝OB，∠DOC＝∠AOB，OA＝OC，
∴△OAB≌△OCD（SAS），
故B不符合题意；
C、∵∠DOC＝∠AOB，∠A＝∠C，OD＝OB，
∴△OAB≌△OCD（AAS），
故C不符合题意；
D、∵∠DOC＝∠AOB，OD＝OB，∠B＝∠D，
∴△OAB≌△OCD（ASA），
故D不符合题意；
故选：A．
5．（4分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15B．a8÷a2＝a6（a≠0）
C．a3+a3＝a6D．（a3）5＝a8
【解答】解：A．a3•a5＝a8，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6，故此选项符合题意；
C．a3+a3＝2a3，故此选项不合题意；
D．（a3）5＝a8，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（4分）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，
∴一株椽的价钱为文，
又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴3（x﹣1）＝．
故选：D．
7．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．有两组对应边分别相等和一组对应角相等的两个三角形全等
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．三角形三边的垂直平分线的交点一定在三角形内部
【解答】解：A、有两组对应边分别相等和一组对应角相等的两个三角形不一定全等，说法错误；
B、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，说法正确；
C、等腰三角形不一定是锐角三角形，如等腰直角三角形，说法错误；
D、三角形三边的垂直平分线的交点不一定在三角形内部，如钝角三角形，说法错误；
故选：B．
8．（4分）若x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．10B．﹣10C．﹣6或10D．10或﹣10
【解答】解：∵x2+（m﹣2）x+16是一个完全平方式，
∴x2+（m﹣2）x+16＝（x+4）2或x2+（m﹣2）x+16＝（x﹣4）2，
∴m﹣2＝±8，
∴m＝10或﹣6．
故选：C．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（ ）
A．α+βB．α+2βC．2α+βD．
【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，
∵∠FDB＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β，
∴∠ADE＝（360°﹣∠ADF）＝90°+，
∵∠A＝α，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°﹣﹣α，
∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β．
故选：C．
10．（4分）在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：ax+ay+bx+by＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）．下列说法：
①因式分解：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；
②若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC为等腰三角形；
③若a，b，c为实数且满足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，则以a，b，c作为三边能构成三角形．
其中正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：①x2﹣2xy+y2﹣1＝（x2﹣2xy+y2）﹣1＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；故符合题意；
②∵a2+bc＝b2+ac，
∴a2+bc﹣b2﹣ac＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）c＝（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形；故符合题意；
③∵a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，
∴（a2﹣4a+4）+2（b2﹣4b+4）+（c2﹣8c+16）＝0，
∴（a﹣2）2+2（b﹣2）2+（c﹣4）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝4，
∵a+b＝2+2＝4＝c，
∴以a，b，c作为三边不能构成三角形，故不符合题意；
故选：C．
二.填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）肥皂泡表面厚度大约是0.00071毫米，将这个数用科学记数法表示为 7.1×10﹣4 毫米．
【解答】解：0.000 7＝7×10﹣4．
故答案为：7.1×10﹣4，
12．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 x≠1 ．
【解答】解：由题意，得
x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
13．（4分）一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是 8 ．
【解答】解：360÷45＝8（条），
故答案为：8．
14．（4分）若点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵点A（a﹣1，﹣2）与点B（﹣1，b+1）关于y轴对称，
∴a﹣1＝1，b+1＝﹣2，
解得：a＝2，b＝﹣3，
则a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 4 ．
【解答】解：由图形可知：4个小长方形法面积或+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积，
∴4ab+9＝25，
∴4ab＝16，
∴ab＝4．
故答案为：4．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D为AB上一动点，连接CD，点E为线段CD上一点，点F，点G分别为边CA，边CB上的动点，若∠ACB＝30°，CE＝6，则△EFG的周长的最小值为 6 ．
【解答】解：作点E关于直线AC的对称点M，点E关于直线BC的对称点N，连接MN交AC于F，交BC于G，
则此时，△EFG的周长最小，且△EFG的周长的最小值＝MN，
连接CM，CN，
∵点E关于直线AC的对称点M，点E关于直线BC的对称点N，
∴CM＝CE＝CN＝6，∠MCF＝∠ECF，∠NCG＝∠ECG，
∴∠MCF+∠NCG＝∠ECF+∠ECG＝30°，
∴∠MON＝60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴MN＝CM＝6，
∴△EFG的周长的最小值为6，
故答案为：6．
17．（4分）若a使得关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于x的分式方程的解为正数，求所有满足条件的整数a的值之和为 ﹣3 ．
【解答】解：由不等式6x﹣a＞2（x﹣1），解得：，
由不等式，解得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：，
又∵该不等式组有且仅有三个整数解，
∴x＝2，1，0，
∴﹣1≤＜0，
∴﹣2≤a＜2，
对于，去分母，方程两边同时乘以（1﹣x），得：2a+1﹣3x＝4（1﹣x），
解得：x＝3﹣2a，
∵该方程的解为正数，
∴3﹣2a＞0，
解得：a＜，
对于x＝3﹣2a，当x＝1时，a＝1，
∵x＝1是该方程的增根，故a≠1，
∴a＜且a≠1，
又∵﹣2≤a＜2，
∴﹣2≤a＜且a≠1，
∴满足条件的整数a为﹣2，﹣1，0，
∵（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣3．
∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣3．
故答案为：﹣3．
18．（4分）若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 9875 ．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：9＝32，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当f（m）是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为 3714 ．
【解答】解：最大的“恭州数”为9875．
设m的十位数字为a，个位数字为b，1≤a≤9的整数，1≤b≤9的整数，
∵四位正整数m是“恭州数”，
∴m＝1000（a+2）+100（b+3）+10a+b，
∴＝＝10a+b+22，
∵f（m）是一个完全平方数，
∴10a+b+22＝x2，x为正整数，
∴1≤a≤9的整数，1≤b≤9的整数＝x2﹣22，
∵1≤a≤9的整数，1≤b≤9的整数，
∴1≤a≤9的整数，1≤b≤9的整数是一个两位数，
∴x可能为6，7，8，9，10，
当x＝6时，x2﹣22＝14，
∴a＝1，b＝4，
∴m＝3714；
当x＝7时，x2﹣22＝27，
∴a＝2，b＝7，不合题意；
当x＝8时，x2﹣22＝42，
∴a＝4，b＝2，
∴m＝6542；
当x＝9时，x2﹣22＝59，
∴a＝5，b＝9，不合题意；
当x＝10时，x2﹣22＝78，
∴a＝7，b＝8，不合题意；
综上，满足条件的“恭州数”m的最小值为3714．
故答案为：9875；3714．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）.
19．（8分）计算：
（1）（2a）3•（b3）2+（ab2）2；
（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．
【解答】解：（1）（2a）3•（b3）2+（ab2）2＝8a3b6+a2b4；
（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．
＝x2﹣2xy﹣8y2﹣x2+2xy﹣y2
＝﹣9y2．
20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小明想要去探究直角梯形的两底边与两非直角顶点所连腰的数量关系，于是他对其中一种特殊情况进行了探究：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，当DE平分∠ADC时，探究AB、CD与AD之间的数量关系．他的思路是：首先过点E作AD的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F．（只保留作图痕迹）
∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，
∴ ① （角平分线的性质），
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．
∴ ③ ，
同理可得：DC＝DF，
∴AB+CD＝ ④ ，
即AB+CD＝AD．
【解答】证明：过点E作AD的垂线，垂足为点F．
∵∠B＝90°，
∴EB⊥AB，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，
∴EB＝EF①（角平分线的性质），
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．
∴AB＝AF③，
同理可得：DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FDF④，
即AB+CD＝AD．
故答案为：①EB＝EF，②AE＝AE③．AB＝AF，④AF+FD．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，
（1）求证：△ABC≌△FED；
（2）若点D是BC中点，且BE＝12，BA＝4，AC＝5，求△DEF的周长．
【解答】（1）证明：∵BD＝EC，
∴BD+CD＝CD+CE，
即BC＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠FDE，
在△ABC与△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ABC≌△FED，
∴BA＝EF＝4，DF＝AC＝5，BC＝DE，
∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝CE，
∵BE＝12，
∴CD＝CE＝，
∴CE＝8，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝8+5+4＝17．
22．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝a+1；
（2）
＝
＝．
23．（10分）A、B两地相距240千米．
（1）甲以60千米/小时的速度从A地前往B地，乙以80千米/小时的速度从B地前往A地．若甲先出发小时，乙再出发，求乙出发后多少小时后甲乙相遇？
（2）“要致富，先修路”，当地政府为解决交通问题，决定在A、B两地间新修一高速公路．经调研可知，高速公路修成后，从A地前往B地的平均速度可提高25%，时间可比原来缩短小时，求原来从A地前往B地的平均速度是多少？
【解答】解：（1）设乙出发后x小时后甲乙相遇，根据题意可得：
，
解得：x＝，
答：乙出发后小时后甲乙相遇；
（2）设原来从A地前往B地的平均速度是y km/h，根据题意可得：
，
解得：x＝80，
经经验，x＝80是原分式方程的解，
答：原来从A地前往B地的平均速度是80km/h．
24．（10分）一渔船从A地出海打鱼，B岛位于A地北偏东45°方向，由于B岛周围4海里有暗礁，渔船沿北偏东60°方向航行10海里到达C处，此时测得B岛位于C处的北偏东30°方向．请问：
（1）C地与B岛距离是多少海里？
（2）如果渔船继续沿此航线航行，请问有没有触礁的危险？请说明理由．
【解答】解：（1）在图中标上必要的字母，如图，
由题意，知：AD∥CE，
∵∠DAC＝60°，
∴∠ACE＝120°，
∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝120°+30°＝150°，
∵∠CBA＝180°﹣∠ACB﹣∠CAB＝180°﹣150°﹣15°＝15°，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴BC＝AC＝10海里，
答：C地与B岛距离是10海里，
（2）没有危险．
理由如下：过点B作BH⊥AC交AC的延长线于点H，
在Rt△BCH中，
∠BCH＝∠CAB+∠CBA＝30°，BC＝10海里，
∴BH＝BC＝5海里，
∵5＞4，
∴渔船继续沿此航线航行，没有触礁的危险．
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，连接AD，AE，CD，DE，BE，AE＝AD，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如图2，连接BD，∠BDC＝96°，AB＝BC，若△BDE是以∠BDE为顶角的等腰三角形，求∠CDA的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE﹣∠DAB＝∠CAB﹣∠DAB，
即∠CAD＝∠BAE，
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE也是等边三角形，
由（1）知，△ACD≌△ABE，
∴∠ADC＝∠AEB，
又∵△BDE是以∠BDE为顶角的等腰三角形，
∴BD＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，∠BDE+2∠DEB＝180°，
又∵∠BED＝∠AEB﹣60°＝∠CDA﹣60°，
∴∠BDE＝300°﹣2∠CDA，
∵∠ADC+∠ADE+∠BDE+∠CDE＝360°，
∴∠ADC＝∠BDC＝92°．
26．（10分）在△ABC中，点D、点E分别为边BC、AB上的点，
（1）如图1，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线经过点E与BC延长线交于F点，连接AF，若∠B＝30°，求∠CAF的大小；
（2）如图2，D为边BC中点，连接ED，CE，过点B作AC的平行线BF交ED延长线于点F．若∠EDB＝∠ACE+∠ACB，求证：EF＝CE+2DE．
【解答】（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AD的垂直平分线经过点E与BC延长线交于F点，
∴DF＝AF，
∴∠ADF＝∠DAF，
∵∠ADF＝∠B+∠BAD，∠DAF＝∠DAC+∠CAF，
∴∠B＝∠CAF＝30°；
（2）证明：在DF上截取DG＝DE，连接BG，
在△CED与△BGD中，
，
∴△CED≌△BGD（SAS），
∴∠ECD＝∠DBG，CE＝BG，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠GBF＝∠ACE，
∵∠EDB＝∠ACE+∠ACB＝∠CBF+∠F，
∴∠ACE＝∠F，
∴∠F＝∠GBF，
∴BG＝FG，
∴FG＝CE，
∴EF＝ED+DG+FG＝2DE+CE．