2023-2024学年江苏省苏州市高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合U=R，集合M={x|lg2x1}，则集合{x|00)的最小正周期为π，则f(x)在区间[0,π2]上的最大值为( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
5.在梯形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=π2，BC=2AD=2AB=2，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. 2π3B. 4π3C. 5π3D. 2π
6.在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆C1:x2+(y−3)2=1上的一点，B，C是圆C2:(x−4)2+y2=4上的两点，则∠BAC的最大值为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
7.已知正实数a，b，c满足2a+1a=2a−a，3b+1b=3b−b，4c+1c=4c−c，则a，b，c的大小关系为( )
A. c0,b>0)的右焦点为F，过O的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若FB⊥AB，∠AFB+∠AOF=π，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目.某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2×2列联表：
(1)请你根据2×2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”;
(2)学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBb=csA−3csC3c−a．
(1)求证：c=3a;
(2)若点D在边AB上，且BD=2DA，CD=2，AC= 11，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，设Sn为{an}的前n项和，数列{bn}满足bn=4Sn−2n(n∈N∗).
(1)若a1=−1，d=1，且bn0)经过点A(−4,0)，B(2,3)，直线AB与y轴交于点P，过P的直线l与Γ交于C，D两点(异于A，B)，记直线AC和直线BD的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．
(1)求Γ的标准方程;
(2)求2k1−1k2的值;
(3)设直线AC和直线BD的交点为Q，求证：Q在一条定直线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交并补混合运算，属于基础题。
先化简集合M，再根据集合的基本运算即可求解。
【解答】
解：根据题意得M={x|00}，M∩N={x|1lgb不成立，
所以lga>lgb是a>b的充分不必要条件；符合；
对于C，当a3>b3，能推出a>b；当a>b，能推出a3>b3，是充要条件，不符合；
对于D，a3>a2b，则a2a−b>0,所以a≠0且a>b．
当a=0，b=−1时，，满足a>b，但是推不出a3>a2b，所以a3>a2b是a>b的充分不必要条件，符合，
所以选BD
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及其应用，属于中档题．
由题意求出抛物线的焦点，判断A；可得标准方程，设A(xA,yA)，B(xB,yB)，联立直线与抛物线方程，消去y，结合韦达定理可得|AB|，判断B；求出线段AB的中点的横坐标，判断C；利用OA·OB≠0，判断D．
【解答】
解：如图，
直线斜率为1，
抛物线C:y2=2px，可得焦点坐标F(p2,0)，准线方程为：x=−p2，
直线l:y=x−2，经过抛物线的焦点坐标，可得p=4，A错误；
所以抛物线方程为：y2=8x，
由题意可得：y2=8xy=x−2，可得x2−12x+4=0，
设A(xA,yA)，B(xB,yB)，
则xA+xB=12，xAxB=4，
所以|AB|=xA+xB+p=16，B正确；
直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为6，
则线段AB的中点到y轴的距离为6，C正确;
OA·OB=xAxB+yAyB=xAxB+xA−2xB−2=2xAxB−2xA+xB+4=2×4−2×12+4≠0，所以OA与OB不垂直，故D错误．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了函数与数列，等差数列的判定，裂项相消法求和，属于难题；
根据题意，先求出B1，B2，B3，A1，A2，A3的坐标，
归纳出An(2 n,0)，Bn( n+ n−1, n− n−1)，
然后逐项判断即可；【解答】【解答】
解：
如图，作B1D⊥x轴，B2E⊥x轴，B3F⊥x轴，垂足分别为D，E，F，
设OD的长度为x，则B1(x,x)代入y=1x(x>0)，得x=1，
B1(1,1)，A1(2,0)，
设A1E的长度为y，则B2(2+y,y)代入y=1x(x>0)，得y= 2−1，
B2( 2+1, 2−1)，A2(2 2,0)，
设A2F的长度为z，则B3(2 2+z,z)代入y=1x(x>0)，得z= 3− 2，
B3( 3+ 2, 3− 2)，A3(2 3,0)，
依次类推，Bn( n+ n−1, n− n−1)，An(2 n,0)，
对于A，|A1B2|=2− 2，A错误；
对于B，A3(2 3,0)，a3=2 3，B正确；
对于C，An(2 n,0)，an2=4n， {an2}为等差数列，C正确；
对于D，Bn( n+ n−1, n− n−1)，
1bn=1 n+ n−1= n− n−1，
i=11001bi=1+( 2−1)+( 3− 2)+……+( 100− 99)=10，D正确；
故选项为BCD；
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了线线垂直的向量表示，线面平行的向量表示，两点间距离的向量求法，点面距离的向量求法，属于难题；
以D为原点，AD，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，设Q(x,y,0)(0⩽x⩽ 3,0⩽y⩽2)
利用线线垂直的向量表示，线面平行的向量表示，两点间距离的向量求法，点面距离的向量求法，得到动点Q的轨迹方程，在平面直角坐标系中求点Q轨迹的长度L，逐项判断；【解答】
解：
如图，以D为原点，建立坐标系，设Q(x,y,0)(0⩽x⩽ 3,0⩽y⩽2)
对于A，P(0,1,1)，PQ=(x,y−1,−1)B1( 3,2,1)，C(0,2,0)，B1C=(− 3,0,−1)
若PQ⊥B1C， 则− 3x+1=0，如下图
点Q轨迹的长度为图中线段AB的长2，则L=2，A正确；
对于B， A1C1=(− 3,2,0)， A1B=(0,2,−1)，
设n=(x1,y1,z1)是平面A1BC1的法向量，
− 3x1+2y1=02y1−z1=0，解得n=(2, 3,2 3)
若PQ/​/平面A1BC1，n⊥PQ，2x+ 3(y−1)−2 3=0，化简得2x+ 3y−3 3=0，如下图
点Q轨迹的长度为图中线段CD的长，C( 32,2)，D( 3,1)，L=|CD|= 72，B错误；
对于C，若PQ= 2， x2+y−12+1=2,即x2+y−12=1，如下图

点Q轨迹的长度为图中第一象限的半圆弧长，则L=π，C正确；
对于D， 设平面A1PQ的法向量是n1=(k,t,m)
A1P=(− 3,1,0)，PQ=(x,y−1,−1)，CP=(0,−1,1)
− 3k+t=0xk+y−1t−m=0，解得n1=( 3,3, 3x+3y−3)，
C到平面A1PQ的距离为 32，
CP·n1n1= 32，化简可得( 3x+3y−3)( 3x+3y−27)=0，
3x+3y−3=0，或 3x+3y−27=0，如下图
直线 3x+3y−27=0，与0⩽x⩽ 3，0⩽y⩽2围成的矩形框没有交点，只有 3x+3y−3=0与矩形交于M，N两点，点Q轨迹的长度为图中线段MN的长，M(0,1)，N( 3,0)，L=|MN|=2，D正确．
13.【答案】61.5
【解析】【分析】
本题主要考查了百分位数的求法，属于基础题．
根据百分位数的定义求解．
【解答】
解：因为一共有20个数据，20×45%=9，
所以第45百分位数为61+622=61.5．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的特定项的系数，属于中档题．
根据二项展开式通项公式得(x+a) (x−1)7的展开式中含x项的系数为： C77·−17+a·C76·−16=13，求解即可．
【解答】
解：由题意， a1为(x+a) (x−1)7= a0+ a1x+ a2 x2+ ⋯+ a8x8中 x的系数．
因为 (x−1)7的二项展开式的通项公式为 Tr+1= C7r·x7−r·(−1)r ，0 ≤r ≤7，r∈N∗，
所以(x+a) (x−1)7的展开式中含 x项的系数为： C77·−17+a·C76·−16=13，解得：a=2．
15.【答案】34(写−14也对)
【解析】【分析】
本题考查了单位向量，向量的长度(模)，向量的数量积的概念，属于基础题；
设|c|=n，n∈Z，|c|=|32b−a|，化简可得csθ=1312−n23，
利用−1⩽csθ⩽1可解出n取值，求出csθ；【解答】【解答】
解：设|c|=n，n∈Z，
|c|=|32b−a|，
94b2−3a·b+a2=n2，
csθ=1312−n23，
由于−1⩽csθ⩽1，
−1⩽1312−n23⩽1，解得12⩽n⩽52，所以n可能的取值为1，2，
当n=1时，csθ=34，
当n=2时，csθ=−14，
所以csθ=34或−14．
16.【答案】3 2+ 62
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
设双曲线的另一个焦点为F1，根据，双曲线的对称性，则AF1=BF= 2OB= 63c，
由双曲线的定义，可得AF=AF1+2a= 63c+2a.所以AB2+BF2=AF2，即进而求出离心率．
【解答】
解：如图所示：
因为过O的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若FB⊥AB，∠AFB+∠AOF=π，
所以∠ABF=π2，，
在中，
又因为，所以∠BFO=∠BAF，
所以tan∠BFO=OBBF=tan∠BAF=BFAB=BF2OB，解得BF= 2OB，
所以BF2+OB2=c2，解得OB= 33c，BF= 63c，
根据双曲线的对称性，则AF1=BF= 2OB= 63c，
由双曲线的定义，可得AF=AF1+2a= 63c+2a．
所以AB2+BF2=AF2，即，
化简整理得： 6ac+3a2=c2，两边同时除以a2化为：e2− 6e−3=0，
解得：e= 6+3 22 (负值舍去)．
所以双曲线的离心率为：3 2+ 62．
17.【答案】解：(1) 由2x2列联表得K2=100×40×20−20×20260×40×60×40≈2.778>2.706，
故有90％的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”
(2)由题意可知，抽取的6人中，有男生4人，女生2人，
则X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C42C62=25，
P(X=1)=C41C21C62=815，
P(X=2)=C22C62=115，
故X的分布列为
故 E(X)=0×25+1×815+2×115=23．
【解析】本题考查了分层抽样、独立性检验及随机变量的分布列和数学期望等知识，考查考生的数据处理能力、运算求解能力，考查数据分析、数学建模、数学运算核心素养，属于中档题．
(1)利用K2公式，根据临界值表，判断得解;
(2)已知利用分层抽样可得随机抽取的6人中，有男生4人，女生2人，求出X的可能取值，即可写出分布列和期望．
18.【答案】解：(1)证明：由正弦定理得知csBsinB=csA−3csC3sinC−sinA，
化简即可得3sinCcsB+3csCsinB=sinAcsB+csAsinB，
即有3sin(B+C)=sin(A+B)，
又A+B+C=π，
因此sinC=3sinA．
由正弦定理可知，c=3a．
(2)由(1)知c=3a;由题可知AD=a，BD=2a，b= 11，
在ΔABC与ΔADC分别使用余弦定理可知：
csA=a2+11−42 11a=9a2+11−a26 11a，
解得：a= 2,csA=9 2244．
且c=3a=3 2，sinA= 1−cs2A= 15444．
则ΔABC面积为：S=12bcsinA=12× 11×3 2× 15444=3 74．
【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题。
(1)利用正弦定理结合正弦公式与三角形三角的关系即可证得。
(2)在ΔABC与ΔADC分别对∠A使用余弦公式，化简即可得到a，csA的值，利用S=12bcsinA即可求得三角形面积。
19.【答案】解：(1)∵等差数列{an}的公差为d，a1=−1，d=1，Sn为{an}的前n项和，
∴an=−1+(n−1)×1=n−2，Sn=n2(a1+an)=n(n−3)2，
∴bn=4Sn−2n=2n2−8n，
∴bn