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（新高考通用）2024年高考数学【一轮复习讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第22练 平面向量的概念及其线性运算（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）
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这是一份（新高考通用）2024年高考数学【一轮复习讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第22练 平面向量的概念及其线性运算（精练：基础+重难点）（原卷版+解析），共41页。
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，，则必有（ ）
A．B．或
C．为矩形D．为正方形
6．如图，向量，，，则向量（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
9．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
10．在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．对任一非零向量，是一个单位向量
B．对任意向量，，恒成立
C．若且，则
D．在中，C为边AB上一点，且，则
12．下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
13．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
14．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
15．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：，则下列结论错误的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P点为的重心
三、填空题
16．给出以下5个条件：
①；②；③ 与的方向相反；④ 或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是________(填序号)．
17．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.
18．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）
19．在中，，且，则________．
20．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
21．在中，是的重心，，则________．
22．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．
23．如图，在中，为线段上的一点，，且，则______.
四、解答题
24．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
25．已知向量，不共线，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
26．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．B．如果与平行，那么与相等
C．D．如果与平行，那么或
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．与的方向相反D．若，则存在唯一实数λ使得
5．已知，若A、、三点共线，则为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行B．与同向平行
C．与反向平行D．与不共线
10．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、多选题
11．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
12．下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
13．如图，在边为的正方形中，则（ ）
A．B．
C．D．
14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．O为线段GH的中点B．
C．D．
三、填空题
15．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
16．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________
17．已知，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则________．
18．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则_____
19．点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为______.
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________．
21．在 中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为_______________．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心，内心B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心D．外心，垂心，重心，内心
2．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
5．在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第22练 平面向量的概念及其线性运算（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
3．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①，,故①正确；
对于②，,故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，,故④正确.
故结果为零向量的个数是3.
故选:C.
4．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的减法法则结合相等向量的定义可求得结果.
【详解】因为、、分别是的边、、的中点，则且，
所以，，，
因此，.故选：D.
5．在平行四边形中，，则必有（ ）
A．B．或
C．为矩形D．为正方形
【答案】C
【分析】根据零向量的概念分析判断A、B；根据向量线性运算可得，即平行四边形的对角线相等，则可判断选项C、D.
【详解】因为在中，显然，则，故A、B错误；
因为，则，
即平行四边形的对角线长相等，故为矩形，故C正确；
因为没有确定是否相等，故无法确定是否为正方形，故D错误.
故选：C.
6．如图，向量，，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得，
故选：C．
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为，所以有，
整理可得.
故选：A.
8．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.
【详解】由题意作图如下：
由，则，
.
故选：C.
9．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
10．在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以 ，
故选：A
二、多选题
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．对任一非零向量，是一个单位向量
B．对任意向量，，恒成立
C．若且，则
D．在中，C为边AB上一点，且，则
【答案】ABC
【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.
【详解】对于A：由于是非零向量，则，可得是一个单位向量，故A正确；
对于B：根据向量减法的运算法则可得：
当，共线时，（，反向）或（，同向），
故；
当，不共线时，由三角形法则可得；
综上所述：，故B正确；
对于C：根据向量相等的定义可得，故C正确；
对于D：由题意可得，故D错误；
故选：ABC.
12．下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
【答案】ABC
【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误.
【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
选项B：，不一定有，故B错误；
选项C：直线与可能重合，故C错误；
选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.
故选：ABC.
13．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，
又，所以，故B正确；
，故C正确；
，，又，所以，故D错误.
故选：ABC
14．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】AD
【分析】根据向量相等与共线，逐一判断即可.
【详解】依题意，
对于A：若，则，故A正确；
对于B：若与共线，则，故B错误；
对于C：若为单位向量，则，方向不一定相同，故C错误；
对于D：是与非零向量共线的单位向量，故D正确.
故选：AD.
15．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：，则下列结论错误的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P点为的重心
【答案】BCD
【分析】利用向量的线性运算化简，即可得到结论.
【详解】由，则，即，得，
则有，所以 P在CA上，A选项正确，BCD选项错误.
故选：BCD
三、填空题
16．给出以下5个条件：
①；②；③ 与的方向相反；④ 或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是________(填序号)．
【答案】①③④
【分析】根据向量共线的定义即可结合选项求解.
【详解】相等向量一定是共线向量，①能使成立；
方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使 成立；
或 可知或为零向量，零向量与任一向量平行，④能使成立
，以及与都是单位向量只能得到与的模长相等，无法确定两个向量的方向，故得不到，
故答案为：①③④
17．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.
【答案】
【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,
又向量与共线，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
18．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.
【详解】①，共线；
②，共线；
③，共线；
④和无法表示成，所以不共线.
故答案为：①②③
19．在中，，且，则________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】，，
即，，．
故答案为：.
20．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
【答案】
【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，
从而得到关于，的方程组，进而可求出.
【详解】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为，不共线，所以，解得或，
因为向量与的方向相反，即.
故答案为：.
21．在中，是的重心，，则________．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，可得，
因为 是的重心，根据三角形重心的性质，可得，
由向量的运算法则，可得.
故答案为：
22．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．
【答案】或
【分析】根据向量共线运算求解.
【详解】因为与是两个不共线的向量，
若三点共线，则，即，
可得，解得或.
故答案为：或.
23．如图，在中，为线段上的一点，，且，则______.
【答案】2
【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.
【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，
得，即，所以，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
24．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围；
（2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形.
【详解】（1），
由题意得，解得：，即的取值范围为.
（2）若四边形是平行四边形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形.
25．已知向量，不共线，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的基本定理列方程组来求得的值.
（2）根据三点共线列方程来求得的值.
【详解】（1）当时，，
而，
所以，解得.
（2），，
由于三点共线，所以，解得.
26．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）因为，所以，
化简得；
（2）因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.
【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
2．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
3．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．B．如果与平行，那么与相等
C．D．如果与平行，那么或
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定义即可求解.
【详解】对于A，因为，为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，所以，故A不正确；
对于B，如果与平行，则两个向量方向相同时，此时与相等，方向相反时，此时与不相等，故B 不正确；
对于C，，由于不知道向量与的夹角，所以无法求出的值；故C不正确；
对于D，如果与平行，则两个向量方向相同或相反，那么或，故D正确.故选：D.
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．与的方向相反D．若，则存在唯一实数λ使得
【答案】B
【分析】由向量的定义，加减法则运算及共线条件进行判断即可.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B：根据向量的加法、减法运算法则，.故B正确；
对于C：与的方向相同，故C错误；
对于D：根据向量平行的判定定理，若且时，则存在唯一实数λ使得.故D错误.
故选：B.
5．已知，若A、、三点共线，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得t的值，再去求的值
【详解】由，若A、、三点共线，可得，则
则，，
，则
故选：A
6．已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】利用向量的加减法的几何表示运算即可.
【详解】由题意得
，
所以．
故选：B.
7．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.
【详解】依题意、、三点共线，故，
所以
，
、、三点共线，故，
则
，
所以，解得，
所以，又，所以，所以.
故选：B.
8．已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件可推得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】
由题意得：，.
因为，，三点共线，所以，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D.
9．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行B．与同向平行
C．与反向平行D．与不共线
【答案】A
【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
，
所以，
所以与反向平行，故A正确，B错误；
，
所以与同向平行，故CD错误.
故选：A
10．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为
，
根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，
而向量与共线，
点的轨迹过的内心.
故选：．
二、多选题
11．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
【答案】ABD
【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.
【详解】解：A向量的相反向量是，正确：
B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；
D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.
故选：ABD
12．下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
【答案】ABC
【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．
【详解】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确；
，则且，四边形ABCD是梯形，B正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误．
故选：ABC．
13．如图，在边为的正方形中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可判断AB选项；利用平面向量的加法、减法法则以及向量的模长可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】因为正方形的边长为，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C对；
对于D选项，，
所以，，D错.
故选：BC.
14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．O为线段GH的中点B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件结合平面向量的数量积运算以及线性运算，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，有，故A选项错误；
由G是三角形ABC的重心可得，
所以，
故B项正确；
过三角形ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，
如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，
则
，
故C项错误；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，
故，
即，
又，有，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
15．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
16．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________
【答案】或
【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.
【详解】已知向量、不共线，，所以，
若与共线，则存在实数，使，即，
所以，即，解得或.
故答案为：或.
17．已知，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则________．
【答案】
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出的坐标，把A，B，C三点共线转化为，再根据向量相等可得答案.
【详解】由题意可得 ，
∵A，B，C三点共线，∴，
∴，
故有，解得，或，
故答案为：．
18．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则_____
【答案】
【分析】由可得，即可得答案.
【详解】.
则三点共线，且在BA的反向延长线上，如下图所示，则.
故答案为：
19．点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】由点是线段上一点及向量共线的推论得，由基本不等式“1”的妙用求最值即可.
【详解】因为点是线段上的任意一点（不包括端点），
所以，,
所以，
又，
所以，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：9
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________．
【答案】
【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可.
【详解】在取点，使得，则，
可知：点为的中点，
可得，即，
所以与的面积之比为.
故答案为：.
21．在 中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为_______________．
【答案】
【分析】以 为基底，求出 的表达式，再利用基本不等式求解.
【详解】如图：
由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得，
由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得，
所以，解得，所以，
因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得，
所以，解得，
所以，
当且仅当，时，取等号；
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心，内心B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可.
【详解】由，得，
即，
则，
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心；
延长交于点，因为，，三点共线，则设（），
且，，
代入，得，
即①，
又因为与共线，与、不共线，
则只能当且时，①成立，
即，则,
由正弦定理得：，
又，则，
即，又，所以，
则是的角平分线，即点在的角平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是内角平分线的交点，故是的内心；
故选：A.
2．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
3．中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据D为BC中点，得到，因为三点共线，推导出，则，结合，得到，从而得到，又，求出.
【详解】因为D为BC中点，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以设，
即，整理得：，
令，则，则，
其中，
因为，所以，
故，
因为，
所以，又，
解得：
故选：C.
二、多选题
4．有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.
【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.
【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.
5．在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】令且，根据向量对应线段的位置、数量关系用表示，进而得到m与关系，最后求范围和数量关系，即可得答案.
【详解】令且，而，
又，则，
所以，则，且，
故A、C满足，B、D不满足.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用平面向量基本定理得到与的线性关系为关键.
三、填空题
6．设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________.
【答案】；
【解析】应用向量减法在几何中的应用有，，结合三点共线知，即可得，结合基本不等式求的最小值即可
【详解】设，，又为△的重心
∴在△中，
∵，，有，
∴，
又P，Q，G三点共线，知存在实数，使得
，可得，，
∴，当且仅当时等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，，则必有（ ）
A．B．或
C．为矩形D．为正方形
6．如图，向量，，，则向量（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
9．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
10．在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．对任一非零向量，是一个单位向量
B．对任意向量，，恒成立
C．若且，则
D．在中，C为边AB上一点，且，则
12．下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
13．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
14．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
15．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：，则下列结论错误的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P点为的重心
三、填空题
16．给出以下5个条件：
①；②；③ 与的方向相反；④ 或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是________(填序号)．
17．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.
18．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）
19．在中，，且，则________．
20．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
21．在中，是的重心，，则________．
22．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．
23．如图，在中，为线段上的一点，，且，则______.
四、解答题
24．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
25．已知向量，不共线，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
26．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．B．如果与平行，那么与相等
C．D．如果与平行，那么或
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．与的方向相反D．若，则存在唯一实数λ使得
5．已知，若A、、三点共线，则为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行B．与同向平行
C．与反向平行D．与不共线
10．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、多选题
11．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
12．下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
13．如图，在边为的正方形中，则（ ）
A．B．
C．D．
14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．O为线段GH的中点B．
C．D．
三、填空题
15．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
16．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________
17．已知，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则________．
18．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则_____
19．点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为______.
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________．
21．在 中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为_______________．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心，内心B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心D．外心，垂心，重心，内心
2．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
5．在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________.
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第22练 平面向量的概念及其线性运算（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
2．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
3．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①，,故①正确；
对于②，,故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，,故④正确.
故结果为零向量的个数是3.
故选:C.
4．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的减法法则结合相等向量的定义可求得结果.
【详解】因为、、分别是的边、、的中点，则且，
所以，，，
因此，.故选：D.
5．在平行四边形中，，则必有（ ）
A．B．或
C．为矩形D．为正方形
【答案】C
【分析】根据零向量的概念分析判断A、B；根据向量线性运算可得，即平行四边形的对角线相等，则可判断选项C、D.
【详解】因为在中，显然，则，故A、B错误；
因为，则，
即平行四边形的对角线长相等，故为矩形，故C正确；
因为没有确定是否相等，故无法确定是否为正方形，故D错误.
故选：C.
6．如图，向量，，，则向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得，
故选：C．
7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为，所以有，
整理可得.
故选：A.
8．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.
【详解】由题意作图如下：
由，则，
.
故选：C.
9．如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用向量的线性运算把向量分解成形式即可得答案.
【详解】∵，
∴，
故选：B．
10．在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以 ，
故选：A
二、多选题
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．对任一非零向量，是一个单位向量
B．对任意向量，，恒成立
C．若且，则
D．在中，C为边AB上一点，且，则
【答案】ABC
【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.
【详解】对于A：由于是非零向量，则，可得是一个单位向量，故A正确；
对于B：根据向量减法的运算法则可得：
当，共线时，（，反向）或（，同向），
故；
当，不共线时，由三角形法则可得；
综上所述：，故B正确；
对于C：根据向量相等的定义可得，故C正确；
对于D：由题意可得，故D错误；
故选：ABC.
12．下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
【答案】ABC
【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误.
【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
选项B：，不一定有，故B错误；
选项C：直线与可能重合，故C错误；
选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.
故选：ABC.
13．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，
又，所以，故B正确；
，故C正确；
，，又，所以，故D错误.
故选：ABC
14．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】AD
【分析】根据向量相等与共线，逐一判断即可.
【详解】依题意，
对于A：若，则，故A正确；
对于B：若与共线，则，故B错误；
对于C：若为单位向量，则，方向不一定相同，故C错误；
对于D：是与非零向量共线的单位向量，故D正确.
故选：AD.
15．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：，则下列结论错误的是（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P点为的重心
【答案】BCD
【分析】利用向量的线性运算化简，即可得到结论.
【详解】由，则，即，得，
则有，所以 P在CA上，A选项正确，BCD选项错误.
故选：BCD
三、填空题
16．给出以下5个条件：
①；②；③ 与的方向相反；④ 或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是________(填序号)．
【答案】①③④
【分析】根据向量共线的定义即可结合选项求解.
【详解】相等向量一定是共线向量，①能使成立；
方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使 成立；
或 可知或为零向量，零向量与任一向量平行，④能使成立
，以及与都是单位向量只能得到与的模长相等，无法确定两个向量的方向，故得不到，
故答案为：①③④
17．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.
【答案】
【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,
又向量与共线，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
18．设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.
【详解】①，共线；
②，共线；
③，共线；
④和无法表示成，所以不共线.
故答案为：①②③
19．在中，，且，则________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】，，
即，，．
故答案为：.
20．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
【答案】
【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，
从而得到关于，的方程组，进而可求出.
【详解】由题意可知与共线，
所以存在实数使，
因为，不共线，所以，解得或，
因为向量与的方向相反，即.
故答案为：.
21．在中，是的重心，，则________．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，可得，
因为 是的重心，根据三角形重心的性质，可得，
由向量的运算法则，可得.
故答案为：
22．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．
【答案】或
【分析】根据向量共线运算求解.
【详解】因为与是两个不共线的向量，
若三点共线，则，即，
可得，解得或.
故答案为：或.
23．如图，在中，为线段上的一点，，且，则______.
【答案】2
【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.
【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由，
得，即，所以，.
所以.
故答案为：.
四、解答题
24．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围；
（2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形.
【详解】（1），
由题意得，解得：，即的取值范围为.
（2）若四边形是平行四边形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形.
25．已知向量，不共线，，，．
(1)若，，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的基本定理列方程组来求得的值.
（2）根据三点共线列方程来求得的值.
【详解】（1）当时，，
而，
所以，解得.
（2），，
由于三点共线，所以，解得.
26．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）因为，所以，
化简得；
（2）因为，，，
所以，由图可知，
又因为、、三点共线，所以，
所以，
当，即时，取最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.
【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
2．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
3．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．B．如果与平行，那么与相等
C．D．如果与平行，那么或
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定义即可求解.
【详解】对于A，因为，为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，所以，故A不正确；
对于B，如果与平行，则两个向量方向相同时，此时与相等，方向相反时，此时与不相等，故B 不正确；
对于C，，由于不知道向量与的夹角，所以无法求出的值；故C不正确；
对于D，如果与平行，则两个向量方向相同或相反，那么或，故D正确.故选：D.
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．与的方向相反D．若，则存在唯一实数λ使得
【答案】B
【分析】由向量的定义，加减法则运算及共线条件进行判断即可.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B：根据向量的加法、减法运算法则，.故B正确；
对于C：与的方向相同，故C错误；
对于D：根据向量平行的判定定理，若且时，则存在唯一实数λ使得.故D错误.
故选：B.
5．已知，若A、、三点共线，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得t的值，再去求的值
【详解】由，若A、、三点共线，可得，则
则，，
，则
故选：A
6．已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】利用向量的加减法的几何表示运算即可.
【详解】由题意得
，
所以．
故选：B.
7．在中，，，且CE与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.
【详解】依题意、、三点共线，故，
所以
，
、、三点共线，故，
则
，
所以，解得，
所以，又，所以，所以.
故选：B.
8．已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件可推得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】
由题意得：，.
因为，，三点共线，所以，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D.
9．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行B．与同向平行
C．与反向平行D．与不共线
【答案】A
【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
，
所以，
所以与反向平行，故A正确，B错误；
，
所以与同向平行，故CD错误.
故选：A
10．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【分析】由题意可得，平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为
，
根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，
而向量与共线，
点的轨迹过的内心.
故选：．
二、多选题
11．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
【答案】ABD
【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.
【详解】解：A向量的相反向量是，正确：
B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；
D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.
故选：ABD
12．下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
【答案】ABC
【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．
【详解】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确；
，则且，四边形ABCD是梯形，B正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误．
故选：ABC．
13．如图，在边为的正方形中，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可判断AB选项；利用平面向量的加法、减法法则以及向量的模长可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】因为正方形的边长为，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C对；
对于D选项，，
所以，，D错.
故选：BC.
14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．O为线段GH的中点B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件结合平面向量的数量积运算以及线性运算，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，有，故A选项错误；
由G是三角形ABC的重心可得，
所以，
故B项正确；
过三角形ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，
如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，
则
，
故C项错误；
因为G是三角形ABC的重心，所以有，
故，
即，
又，有，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
15．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
16．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________
【答案】或
【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.
【详解】已知向量、不共线，，所以，
若与共线，则存在实数，使，即，
所以，即，解得或.
故答案为：或.
17．已知，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则________．
【答案】
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出的坐标，把A，B，C三点共线转化为，再根据向量相等可得答案.
【详解】由题意可得 ，
∵A，B，C三点共线，∴，
∴，
故有，解得，或，
故答案为：．
18．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则_____
【答案】
【分析】由可得，即可得答案.
【详解】.
则三点共线，且在BA的反向延长线上，如下图所示，则.
故答案为：
19．点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为______.
【答案】9
【分析】由点是线段上一点及向量共线的推论得，由基本不等式“1”的妙用求最值即可.
【详解】因为点是线段上的任意一点（不包括端点），
所以，,
所以，
又，
所以，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：9
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为___________．
【答案】
【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可.
【详解】在取点，使得，则，
可知：点为的中点，
可得，即，
所以与的面积之比为.
故答案为：.
21．在 中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为_______________．
【答案】
【分析】以 为基底，求出 的表达式，再利用基本不等式求解.
【详解】如图：
由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得，
由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得，
所以，解得，所以，
因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得，
所以，解得，
所以，
当且仅当，时，取等号；
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心，内心B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可.
【详解】由，得，
即，
则，
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心；
延长交于点，因为，，三点共线，则设（），
且，，
代入，得，
即①，
又因为与共线，与、不共线，
则只能当且时，①成立，
即，则,
由正弦定理得：，
又，则，
即，又，所以，
则是的角平分线，即点在的角平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是内角平分线的交点，故是的内心；
故选：A.
2．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
3．中，D为BC中点，，AD交BE于P点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据D为BC中点，得到，因为三点共线，推导出，则，结合，得到，从而得到，又，求出.
【详解】因为D为BC中点，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以设，
即，整理得：，
令，则，则，
其中，
因为，所以，
故，
因为，
所以，又，
解得：
故选：C.
二、多选题
4．有下列说法其中正确的说法为
A．若，，则：
B．若，，分别表示，的面积，则；
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；
D．若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.
【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.
【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.
5．在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】令且，根据向量对应线段的位置、数量关系用表示，进而得到m与关系，最后求范围和数量关系，即可得答案.
【详解】令且，而，
又，则，
所以，则，且，
故A、C满足，B、D不满足.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用平面向量基本定理得到与的线性关系为关键.
三、填空题
6．设经过△的重心的直线与，分别交于，两点.若，，，，则的最小值________________.
【答案】；
【解析】应用向量减法在几何中的应用有，，结合三点共线知，即可得，结合基本不等式求的最小值即可
【详解】设，，又为△的重心
∴在△中，
∵，，有，
∴，
又P，Q，G三点共线，知存在实数，使得
，可得，，
∴，当且仅当时等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数量关系，最后结合基本不等式求最值
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