江西省九校2022-2023学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份江西省九校2022-2023学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,,若,则( )
A.0B.2C.4D.-4
2．圆：与圆：的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
3．如图,在三棱柱中,P,Q分别是CF,AB的中点,,则( )
A.1B.-1C.0.5D.-2
4．如图,一束光线从出发,经过坐标轴反射两次经过点,则总路径长即总长为( )
A.B.6C.D.
5．如图,在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形,能构成三角形的数量为( )
A.220B.200C.190D.170
6．小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶,已知小王一步可走一个或两个台阶,那么他从3楼到4楼不同的走法总数为( )
A.28种B.32种C.34种D.40种
7．如图,长方体中,,,M为EF的中点,P为底面ABCD上一点,若直线HP与平面BMG没有交点,则面积的最小值为( )
A.B.C.D.1
8．双曲线的左焦点为F,,M为双曲线右支上一点,若存在M,使得,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线在x轴上的截距是y轴上截距的2倍,则a的值可能是( )
A.B.0C.D.-2
10．下列说法正确的是( )
A.用0,1,2,3,4能组成48个不同的3位数.
B.将10个团员指标分到3个班,每班要求至少得2个,有15种分配方法.
C.小明去书店看了4本不同的书,想借回去至少1本,有16种方法.
D.甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡,四人互送贺卡,每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡,有9种不同的方法.
11．如图,正方体棱长为1,点P为BF的中点,下列说法正确的是( )
A.
B.平面PCH
C.点P到平面AGC的距离为
D.PH与平面CGHD所成角的正弦值为
12．已知顶点在原点O的抛物线,,过抛物线焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,当直线l垂直于y轴时,面积为8.下列结论正确的是( )
A.抛物线方程为.
B.若,则AB的中点到x轴距离为4.
C.有可能为直角三角形.
D.的最小值为18.
三、填空题
13．与直线垂直,且过点的直线方程为___________.
14．椭圆的左右焦点分别为,,P为椭圆上一点,则面积与周长的比值的最大值为____________.
15．网课期间,小王同学趁课余时间研究起了七巧板,有一次他将七巧板拼成如下图形状,现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1,2,3,4,5）,有4种不同颜色可供选择,要求有公共边的两块区域不能同色,有___________种不同的涂色方案.
16．若,其中a,b,c,d,e,f为常数,那么_________________.
四、解答题
17．已知展开式中前三项二项式系数之和为46.
（1）求n的值.
（2）请求出展开式的常数项.
18．已知圆,P为圆C上任意一点,
（1）求PQ中点M的轨迹方程.
（2）若经过Q的直线l与M的轨迹相交于A,B,在下列条件中选一个,求的面积.
条件①：直线AB斜率为;
②原点O到直线AB的距离为.
19．如图（1）是将一副直角三角尺拼成的平面图形,已知,,,现将沿着BC折起使之与构成二面角,如图（2）.
（1）当三棱锥体积最大时,求三棱锥的体积;
（2）在（1）的情况下,求AC与BD所成角的余弦值.
20．双曲线,的左右焦点分别为,,其中双曲线E的一条渐近线方程为,M为双曲线上一点,当时,.
（1）求双曲线的方程.
（2）A,B为双曲线左右顶点,过作一条直线交双曲线于P,Q,设AP,BQ的斜率为,,求的值.
21．如图,正三棱柱中,,点G为线段BE上一点（含端点）.
（1）当G为BE的中点时,求证：平面AFG
（2）是否存在一点G,使平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为？若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
22．设椭圆的两焦点为,,P为椭圆上任意一点,点P到原点最大距离为2,若到椭圆右顶点距离为.
（1）求椭圆的方程.
（2）设椭圆的上、下顶点分别为A、B,过A作两条互相垂直的直线交椭圆于C、D,问直线CD是否经过定点？如果是,请求出定点坐标,并求出面积的最大值.如果不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：,,若,则,解得.
故选：D.
2．答案：C
解析：圆心的坐标是,半径为2;
圆心的坐标是,半径为3;
两圆的圆心距为,
,
两圆的位置关系是：外切.
故选：C.
3．答案：B
解析：如图,连接CQ.
因为P,Q分别是CF,AB的中点,
,
所以,,,
则.
故选：B.
4．答案：C
解析：设点A关于y轴的对称点为点M,点D关于x轴的对称点为点N,
由光线反射知识可得M,B,C三点共线,N,C,B三点共线,
故M,B,C,N四点共线,
因为点A的坐标为,点D的坐标为,
所以点M的坐标为,点N的坐标为,
由对称的性质可得,
所以,
又,
所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：任取三个点有种,其中三点共线的有种,故能构成三角形个,
故选：C.
6．答案：C
解析：①8步走完楼梯,走8步走一个台阶,有1种;
②7步走完楼梯,走1步两个台阶6步一个台阶,有种;
③6步走完楼梯,走2步两个台阶4步一个台阶,有种;
④5步走完楼梯,走3步两个台阶2步一个台阶,有种;
⑤4步走完楼梯,走4步两个台阶,有1种,
共计34种.
故选：C.
7．答案：A
解析：直线HP与平面BMG没有交点,所以平面BMG,
取CD中点N,连接HN,HA,
因为,所以四边形ABGH是平行四边形,
所以,平面BDG,平面BDG,故平面BDG;
同理可得平面BDG,,AN,平面AHN,
故平面平面BDG,
故P在AN上运动,当时,DP最小,最小值为,
此时的面积最小,求得.
故选：A.
8．答案：B
解析：取双曲线的右焦点,由双曲线定义,如图所示,
故存在点M使得等价为存在点M使得,
所以,当且仅当A,M,三点共线时等号成立,
则,由,解得,而,故离心率.
故选：B.
9．答案：AC
解析：依题意可得,
当时,直线l为,此时横纵截距都等于0,满足题意;
当时,直线l在x轴上的截距为,在y轴上截距,
则,得或（舍去）
综上所述,a的值为或.
故选：AC.
10．答案：BD
解析：对于A,第一步先排百位数,有4种排法,第二步排十位数有5种排法,第三步排个位数有5种排法,由分步乘法计数原理可得共有个不同的三位数,A错误;
对于B,第一步,每个班先各分一个团员指标,有一种方法,第二步,再将余下7个团员指标排成一排,7个指标之间有6个空,用2块隔板插入其中的两个空,每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班,每班至少一个指标的分配方法,故第二步有种方法,由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种,B正确;
对于C,因为借回至少1本的反面为1本都不借,又小明所有的借书方法数为种,所以借回至少1本的方法数为 种,C错误;
对于D,第一步甲先拿贺卡,有3种方法,第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿,有3种方法,第三步余下两人拿贺卡,由于其中一人不能拿自己的贺卡,故只有一种方法,由分步乘法计数原理可得共种方法,D正确;
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：如图所示：
对于A：连接GD,FD,正方形CDHG中,
平面CDHG,平面CDHG,,
FG,平面FGD,,平面FGD,
平面FGD,可得,A选项正确;
对于B：取CG中点M,显然,而PM与平面PCH相交,故FG与平面PCH不平行,B选项错误;
对于C:正方形FGHE中,平面FGHE,平面FGHE,,
CG,平面AEGC,,平面AEGC,
,平面AEGC,平面AEGC,所以平面AEGC,
点P到平面AEGC的距离即为点F到平面AEGC的距离,等于,C选项正确.
对于D：取CG中点M,平面CGHD,,,
所以PH与平面CGHD所成角的正弦值为,D选项正确.
故选：ACD.
12．答案：ABD
解析：当直线l垂直于y轴时,面积为,,故A正确;
若,有A、B两点到准线距离之和为12,则AB的中点到准线距离为6,故AB的中点到x轴距离为,B正确;
设直线,联立可得,
由韦达定理知,,,故.
一定是钝角三角形,C错误;
,D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：由于所求直线和直线垂直,
所以所求直线的斜率为2,
所以所求直线方程为,即.
故答案为：.
14．答案：
解析：设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,
则,,
因为,,
所以的周长为16,
由椭圆的几何性质知,当点P为椭圆的短轴端点时,的面积最大,
所以面积最大值为,
所以面积与周长的比值的最大值为.
故答案为：.
15．答案：252
解析：第一步：涂2,有4种颜色;
第二步：涂5,有3种颜色
第三步：涂3、4,当3与5同色时,4有3种颜色;当3和5不同色时,3有2种颜色,4有2种颜色,第三步共7种.
第四步：涂1,有3种颜色.
共计种.
故答案为：252.
16．答案：109
解析：因为,
令,得,
整理得：,
令,得,,
因为的展开式的通项公式为,
所以的展开式中含项的系数为,
又的展开式中含项的系数为,
所以,,
将a、e代入即可求得.
故答案为：109.
17．答案：（1）
（2）5376.
解析：（1）二项式的展开式的通项为,
所以展开式中前三项二项式系数依次为：,,
由已知可得,
解得或,又n为大于等于2的正整数,
故;
（2）由(1) 的展开式的通项为,
令,得,
所以的展开式的常数项为.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）依题意,设,
因为M是PQ的中点,,
所以,
将P代入圆,得,化简得,
故M的轨迹方程为.
（2）记M的轨迹为圆E,则,半径为,
选择①：
因为直线AB斜率为,直线l（即直线AB）经过,
所以直线AB的方程为,即,
所以点E到直线AB的距离为,
所以,
又点O到直线AB的距离为,
所以.
选择②：
当直线AB斜率不存在时,由直线l（即直线AB）经过,得直线AB为,
此时原点O到直线AB的距离为4,与原点O到AB的距离为矛盾,舍去;
当直线AB斜率存在时,设直线AB为,即,
所以原点O到直线AB的距离为,解得,
所以直线AB为,即,
此时点E到直线AB的距离为,
所以,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图,作,
由题意,,
折起过程中,面积不变,当AO为三棱锥的高时,
三棱锥体积最大,
.
（2）如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,
设AC,BD所成的角为,
则,
AC与BD所成角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线E的一条渐近线方程为,①.
当时,②.
由①②得,,双曲线的方程为;
（2）由（1）可得,设,
与双曲线方程联立有：,消去x得
由题有.
设,由韦达定理有：,,
可得①.
又②,
则将①代入②得：.
21．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）由已知,平面ABC,为等边三角形,
以点C为原点,,为x,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则,,
作轴,,,
则,
则,
而
由菱形性质知
平面AFG,平面AFG,
平面AFG;
（2）由(1),,
为平面ABC的一个法向量,
设,,则
所以,
所以,,
设平面AFG的法向量为,
则,
取可得,,
所以为平面AFG的一个法向量,
设平面AFG与平面ABC所成角为,
则
解得：或（均符合题意）
所以存在一点G,,使平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）直线CD过定点,面积的最大值为
解析：（1）点P到原点最大距离为2,故,
到椭圆右顶点距离为,,
解得：或5（舍去5）,
椭圆的方程为.
（2）设,联立,
得：,
,,
, ,
即
,
利用韦达定理代入化简得：,
解得：（舍去）或,
直线CD过定点,
此时,,
,
令,上式①,
而,①,
面积的最大值为.