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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算优秀同步练习题，文件包含第01讲111空间向量及其线性运算8类热点题型讲练原卷版docx、第01讲111空间向量及其线性运算8类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A．B．C．D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A．B．C．3D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1B．2C．D．
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3B．2C．1D．
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．2
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上D．当时，点P在线段上
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
课程标准
学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.
②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A．B．C．D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A．B．C．3D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1B．2C．D．
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3B．2C．1D．
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．2
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上D．当时，点P在线段上
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
课程标准
学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.
②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.
2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
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