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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用优秀达标测试，文件包含第05讲141用空间向量研究直线平面的位置关系7类热点题型讲练原卷版docx、第05讲141用空间向量研究直线平面的位置关系7类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点02：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
知识点03：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
【即学即练2】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（ ）.
A．B．
C．D．l与α相交但不垂直
【答案】A
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：A
知识点04：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
【答案】
【详解】∵l⊥α，则∥，
则，解得.
故答案为：.
题型01平面的法向量及其求法
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）．
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）
【变式1】（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点．
(1)求证：且；
(2)求证：．
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．
(1)若，求该几何体的体积；
(2)若垂直于，证明：；
(3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点在线段上，点在线段上，线段与直线和都垂直，求证：.
题型03利用向量方法证明线面平行
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，是的中点，，且平面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱 中，已知为正三角形，四边形是菱形，，分别是，的中点，平面⊥平面.
(1)求证：平面；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【变式1】（多选）（2023春·高二课时练习）在正方体中，为中点，若直线平面，则点的位置可能是（ ）
A．线段中点B．线段中点C．线段中点D．线段中点
【变式2】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线平面，则实数的值为__________．
【变式3】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.
【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体的棱长为2，，分别是,的中点，
求证：（1）平面；
（2）平面平面.
【典例4】（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点，分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
题型05 利用向量方法证明线线垂直
【典例1】（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，为一个顶点，，，分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（多选）（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．
【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023秋·河南郑州·高二统考期末）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且.
(1)求证：；
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例1】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考期中）正方体的棱长为1，点在线段上，且．点在平面上，且平面，则线段的长为________．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．求证：平面.
【典例4】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，.
(1)求证: 面；
(2)求三棱锥 的体积.
【典例5】（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，
平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【变式4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【变式5】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，四边形是边长为1的正方形，，．点在直线上，若平面平面，则线段的长为_________．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且，是的中点．求证：平面平面.
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2023春·高二课时练习）在三棱柱中，平面，，，，为的中点，求证：平面平面.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定C．相交但不垂直D．垂直
2．（2023·全国·高三专题练习）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ）
A．B．或C．D．
3．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．1B．C．D．8
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A．B．平面平面
C．平面D．平面
8．（2023秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
9．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（ ）
A．
B．若为线段的中点，则平面
C．点B到平面CEF的距离为
D．的最小值为48
三、填空题
11．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为________．
12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是______________ （填写正确的序号）
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面
B．存在点，使平面
C．存在点，使
D．
2．（2023春·高二课时练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（多选）（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．过三点、、的正方体的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
4．（多选）（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
C综合素养
1．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．
(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
2．（2023春·广西·高二校联考期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．
(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围；
(3)当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
(1)求证：平面平面；
(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.课程标准
学习目标
①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.
能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.
线线平行
⇔⇔()
线面平行
⇔⇔
面面平行
⇔⇔
线线垂直
⇔⇔
线面垂直
⇔⇔⇔
面面垂直
⇔⇔⇔
知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点02：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
知识点03：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
【即学即练2】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（ ）.
A．B．
C．D．l与α相交但不垂直
【答案】A
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：A
知识点04：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
【答案】
【详解】∵l⊥α，则∥，
则，解得.
故答案为：.
题型01平面的法向量及其求法
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）．
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）
【变式1】（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点．
(1)求证：且；
(2)求证：．
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．
(1)若，求该几何体的体积；
(2)若垂直于，证明：；
(3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点在线段上，点在线段上，线段与直线和都垂直，求证：.
题型03利用向量方法证明线面平行
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，是的中点，，且平面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱 中，已知为正三角形，四边形是菱形，，分别是，的中点，平面⊥平面.
(1)求证：平面；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【变式1】（多选）（2023春·高二课时练习）在正方体中，为中点，若直线平面，则点的位置可能是（ ）
A．线段中点B．线段中点C．线段中点D．线段中点
【变式2】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线平面，则实数的值为__________．
【变式3】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.
【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体的棱长为2，，分别是,的中点，
求证：（1）平面；
（2）平面平面.
【典例4】（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点，分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
题型05 利用向量方法证明线线垂直
【典例1】（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，为一个顶点，，，分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例2】（多选）（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．
【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023秋·河南郑州·高二统考期末）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且.
(1)求证：；
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例1】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考期中）正方体的棱长为1，点在线段上，且．点在平面上，且平面，则线段的长为________．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．求证：平面.
【典例4】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，.
(1)求证: 面；
(2)求三棱锥 的体积.
【典例5】（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，
平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【变式4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【变式5】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，四边形是边长为1的正方形，，．点在直线上，若平面平面，则线段的长为_________．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且，是的中点．求证：平面平面.
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式1】（2023春·高二课时练习）在三棱柱中，平面，，，，为的中点，求证：平面平面.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定C．相交但不垂直D．垂直
2．（2023·全国·高三专题练习）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ）
A．B．或C．D．
3．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．1B．C．D．8
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A．B．平面平面
C．平面D．平面
8．（2023秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
9．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（ ）
A．
B．若为线段的中点，则平面
C．点B到平面CEF的距离为
D．的最小值为48
三、填空题
11．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为________．
12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是______________ （填写正确的序号）
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面
B．存在点，使平面
C．存在点，使
D．
2．（2023春·高二课时练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（多选）（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．过三点、、的正方体的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
4．（多选）（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
C综合素养
1．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．
(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
2．（2023春·广西·高二校联考期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．
(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围；
(3)当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
(1)求证：平面平面；
(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.课程标准
学习目标
①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.
能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.
线线平行
⇔⇔()
线面平行
⇔⇔
面面平行
⇔⇔
线线垂直
⇔⇔
线面垂直
⇔⇔⇔
面面垂直
⇔⇔⇔
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