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- 第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-高二数学同步热点题型导与练（人教A版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 第07讲 拓展一：异面直线所成角-高二数学同步热点题型导与练（人教A版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法-高二数学同步热点题型导与练（人教A版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步训练题，文件包含第06讲142用空间向量研究距离夹角问题原卷版docx、第06讲142用空间向量研究距离夹角问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共139页， 欢迎下载使用。
知识点01：点到线面距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
知识点02：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.
【即学即练2】（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则、、、、，
，
，所以，，
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【即学即练3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为______．
【答案】
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设与平面所成角的大小为，
则，
与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
【即学即练4】（2023·高一课时练习）正方体中，二面角的大小为______.
【答案】
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
则，设为平面的法向量，
则，即，令，则，所以，
又因为平面，则为平面的一个法向量，
则，所以二面角的大小为，
故答案为：.
题型01利用空间向量求点线距
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点，则点到直线的距离为_____________．
【典例3】（多选）（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考开学考试）点在轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线的距离为，则点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点，则点到直线的距离为__________.
题型02 利用空间向量求点面距
【典例1】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【典例3】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在直角梯形中，，为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若为线段的中点，求点到平面的距离．
【变式1】（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点，，点为上一个动点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【变式3】（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.
【典例2】（2023·高二单元测试）如图，在三棱锥中，底面，，点、分别为棱，的中点，是线段的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
【典例3】（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）如图，在正三棱柱中，点为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
【变式1】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为______．
【变式2】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值）
【典例1】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.
【典例3】（2023·江苏·统考二模）如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【变式1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值.
题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（2023春·高二单元测试）三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·高三课时练习）已知平面，四边形是矩形，为定长，当的长度变化时，异面直线与所成角的取值范围是______．
【变式1】（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段EF上的一动点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型06已知异面直线所成角求参数
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，为等边三角形，是棱的中点，是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值可能为（ ）
A．B．1C．D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为____________
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（ ）
A．B．C．D．
题型07利用向量方法求直线与平面所成角
【典例1】（2023·陕西商洛·统考二模）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体中，，，，交于点.
(1)证明：直线平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【典例3】（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式1】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________.
【变式2】（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与面所成角的正弦值．
题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.
(1)求证：；
(2)若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
(1)证明：平面平面；
(2)若分别是的中点，动点在线段上移动，设为直线与平面所成角，求的取值范围．
【典例3】（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面是边长为2的正方形，点在棱上，.
(1)证明：平面平面；
(2)当直线与平面所成角最大时，求四棱锥的体积.
【变式1】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．
(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
【变式2】（2023春·江苏常州·高二校联考期中）如图，圆锥，为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高，点在高上，是圆锥底面的内接正三角形.
(1)若PO=，判断和平面是否垂直，并证明；
(2)点在高上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.
题型09已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面，直线与平面所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
【典例3】（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点､分别是､的中点，是线段上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，为正三角形，，分别是棱上的点，且满足．
(1)求证：；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面为梯形的多面体中.，，，,，且四边形为矩形．
(1)求证：；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点的位置并加以证明．
题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值）
【典例1】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）如图，圆是的外接圆，平面，是圆的直径，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
【变式2】（2023·河南·模拟预测）如图，四边形为菱形，平面，，.
(1)证明：平面平面 ；
(2)若，求二面角的大小.
题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围）
【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点..
(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置.
【典例2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，点是线段的中点，点在线段上且满足，面ABCD.
(1)当时，证明：//平面；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
【变式1】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【变式2】（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）在四棱锥中，四边形为正方形，，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为为锐角， 则当取最小值时，=__________．
题型12已知平面与平面所成角求参数
【典例1】（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，探索在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2023秋·湖北·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，．
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点.
(1)证明：；
(2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长.
【变式2】（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）如图2，在中，，，．将沿翻折，使点到达点位置（如图3），且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)设是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·高二课时练习）已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）
A．10B．3
C．D．
3．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，则的重心到平面PAD的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，，其余各条棱长均为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江金华·高二学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，锐二面角的大小为.当增大时，（ ）
A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为1B．平面EFG
C．平面EFGD．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
10．（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为
三、填空题
11．（2023春·浙江温州·高一统考期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
四、解答题
13．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
14．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，M为棱上一点.
(1)若M为的中点，证明：平面；
(2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
B能力提升
1．（2023春·湖北·高二郧阳中学校联考阶段练习）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·高二期中）在正三棱柱中，，点D为棱BC的中点，点E为线段（不与点重合）上的点，且满足，当二面角的平面角为时，实数m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点，到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
C综合素养
1．（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．
C．平面与平面的夹角余弦值为
D．异面直线与所成角的正切值为
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
，
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，．
(1)若P是AA1的中点，求证:平面PB1C1⊥平面PB1C;
(2)若P是棱AA1上的点，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值为，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．
4．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
5．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．
(1)求证：；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值
②会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
1、能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.
2、通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
知识点01：点到线面距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
知识点02：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.
【即学即练2】（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则、、、、，
，
，所以，，
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【即学即练3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为______．
【答案】
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设与平面所成角的大小为，
则，
与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
【即学即练4】（2023·高一课时练习）正方体中，二面角的大小为______.
【答案】
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
则，设为平面的法向量，
则，即，令，则，所以，
又因为平面，则为平面的一个法向量，
则，所以二面角的大小为，
故答案为：.
题型01利用空间向量求点线距
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点，则点到直线的距离为_____________．
【典例3】（多选）（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考开学考试）点在轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线的距离为，则点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点，则点到直线的距离为__________.
题型02 利用空间向量求点面距
【典例1】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【典例3】（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在直角梯形中，，为中点，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若为线段的中点，求点到平面的距离．
【变式1】（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点，，点为上一个动点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【变式3】（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
题型03转化与化归思想在求空间距离中的应用
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.
【典例2】（2023·高二单元测试）如图，在三棱锥中，底面，，点、分别为棱，的中点，是线段的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
【典例3】（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）如图，在正三棱柱中，点为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
【变式1】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为______．
【变式2】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
(1)求点到平面的距离为；
(2)求到平面的距离．
题型04利用向量方法求两异面直线所成角（定值）
【典例1】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.
【典例3】（2023·江苏·统考二模）如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【变式1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
(1)求证：平面；
(2)若，求与所成角的余弦值.
题型05利用向量方法求两异面直线所成角（最值或范围）
【典例1】（2023春·高二单元测试）三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·高三课时练习）已知平面，四边形是矩形，为定长，当的长度变化时，异面直线与所成角的取值范围是______．
【变式1】（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段EF上的一动点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型06已知异面直线所成角求参数
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，为等边三角形，是棱的中点，是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值可能为（ ）
A．B．1C．D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为____________
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（ ）
A．B．C．D．
题型07利用向量方法求直线与平面所成角
【典例1】（2023·陕西商洛·统考二模）在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体中，，，，交于点.
(1)证明：直线平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【典例3】（2023春·广西柳州·高二柳州地区高中校考期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式1】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为__________.
【变式2】（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与面所成角的正弦值．
题型08利用向量方法求直线与平面所成角（最值或范围）
【典例1】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.
(1)求证：；
(2)若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
(1)证明：平面平面；
(2)若分别是的中点，动点在线段上移动，设为直线与平面所成角，求的取值范围．
【典例3】（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，底面是边长为2的正方形，点在棱上，.
(1)证明：平面平面；
(2)当直线与平面所成角最大时，求四棱锥的体积.
【变式1】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．
(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
【变式2】（2023春·江苏常州·高二校联考期中）如图，圆锥，为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高，点在高上，是圆锥底面的内接正三角形.
(1)若PO=，判断和平面是否垂直，并证明；
(2)点在高上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.
题型09已知直线与平面所成角求参数
【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面，直线与平面所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
【典例3】（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点､分别是､的中点，是线段上的点.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，为正三角形，，分别是棱上的点，且满足．
(1)求证：；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面为梯形的多面体中.，，，,，且四边形为矩形．
(1)求证：；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点的位置并加以证明．
题型10利用向量方法求两个平面的夹角（定值）
【典例1】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）如图，圆是的外接圆，平面，是圆的直径，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式1】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
【变式2】（2023·河南·模拟预测）如图，四边形为菱形，平面，，.
(1)证明：平面平面 ；
(2)若，求二面角的大小.
题型11利用向量方法求两个平面的夹角（最值或范围）
【典例1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点..
(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置.
【典例2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，点是线段的中点，点在线段上且满足，面ABCD.
(1)当时，证明：//平面；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
【变式1】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【变式2】（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）在四棱锥中，四边形为正方形，，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为为锐角， 则当取最小值时，=__________．
题型12已知平面与平面所成角求参数
【典例1】（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，探索在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2023秋·湖北·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，．
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点.
(1)证明：；
(2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长.
【变式2】（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）如图2，在中，，，．将沿翻折，使点到达点位置（如图3），且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)设是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·高二课时练习）已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）
A．10B．3
C．D．
3．（2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，则的重心到平面PAD的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，，其余各条棱长均为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江金华·高二学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，锐二面角的大小为.当增大时，（ ）
A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为1B．平面EFG
C．平面EFGD．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
10．（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为
三、填空题
11．（2023春·浙江温州·高一统考期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为_____________.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
四、解答题
13．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
14．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，M为棱上一点.
(1)若M为的中点，证明：平面；
(2)若，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
B能力提升
1．（2023春·湖北·高二郧阳中学校联考阶段练习）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·高二期中）在正三棱柱中，，点D为棱BC的中点，点E为线段（不与点重合）上的点，且满足，当二面角的平面角为时，实数m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点，到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
C综合素养
1．（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．
C．平面与平面的夹角余弦值为
D．异面直线与所成角的正切值为
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
，
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，．
(1)若P是AA1的中点，求证:平面PB1C1⊥平面PB1C;
(2)若P是棱AA1上的点，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值为，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．
4．（2023春·江苏南京·高二统考期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
5．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．
(1)求证：；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
①会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值
②会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.
1、能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间中的距离与夹角（三角函数值）的求解.
2、通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.
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