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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品课时作业
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品课时作业，文件包含第07讲241圆的标准方程6类热点题型讲练原卷版docx、第07讲241圆的标准方程6类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边相等,
点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边不相等,
点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．
又因为点到圆心A的距离．
故点在圆内．
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.
【答案】6
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径,
又圆心到点的距离为，
所以圆上的点到点的距离的最大值为，
故答案为：6
题型01求圆的标准方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．
【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
题型02由圆的方程求圆心或半径
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
题型03点与圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
题型04与圆有关的最值问题
【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．4
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．
【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．7D．
【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型05与圆有关的对称问题
【典例1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________
【变式1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型06轨迹方程
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________.
【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（ ）
A．，4B．，2C．，4D．，2
4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．{1，﹣1}
5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2B．4C．D．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.
四、解答题
11．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知点求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.
12．（2023秋·高一单元测试）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
B能力提升
1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ）
A．B．2C．4D．16
3．（2023·甘肃·模拟预测）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
C综合素养
4．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.
(1)求点和点的坐标：
(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
课程标准
学习目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。
②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。
③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。
通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.
知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边相等,
点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边不相等,
点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．
又因为点到圆心A的距离．
故点在圆内．
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.
【答案】6
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径,
又圆心到点的距离为，
所以圆上的点到点的距离的最大值为，
故答案为：6
题型01求圆的标准方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．
【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
题型02由圆的方程求圆心或半径
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
题型03点与圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
题型04与圆有关的最值问题
【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．4
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．
【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．7D．
【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型05与圆有关的对称问题
【典例1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________
【变式1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型06轨迹方程
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________.
【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．1C．D．
3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（ ）
A．，4B．，2C．，4D．，2
4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．{1，﹣1}
5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2B．4C．D．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.
四、解答题
11．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知点求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.
12．（2023秋·高一单元测试）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
B能力提升
1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ）
A．B．2C．4D．16
3．（2023·甘肃·模拟预测）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
C综合素养
4．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.
(1)求点和点的坐标：
(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
课程标准
学习目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。
②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。
③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。
通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.
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