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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品巩固练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品巩固练习，文件包含第08讲242圆的一般方程10类热点题型讲练原卷版docx、第08讲242圆的一般方程10类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
知识点01：圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．
【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（ ）
A．B．2C．0D．
【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.
题型02求圆的一般方程
【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．0或2B．0或-2
C．0或D．-2或2
【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.
【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
题型04点与圆的位置关系
【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______.
题型05圆过定点问题
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且，则不论取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点
题型06求动点的轨迹方程
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.
【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.
题型07与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．15B．6C．5D．4
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数满足，则的最大值为__________．
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为__________.
【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．
题型08关于点或直线对称的圆
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.
【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.
【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆关于直线对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________
题型09圆的综合问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆的方程；
(3)请问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆上点的切线方程是.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；
（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为､
①求证：直线过定点.
②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．
（Ⅰ）若，求圆的方程；
（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．
【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过，两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点关于直线的对称点也在圆，且过点的直线与两坐标轴分别交于不同两点和，当圆的面积最小时，试求的最小值.
题型10圆的实际应用
【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与相距30米的支柱的高度.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设为圆心与连线与路面的交点．
（1）当为何值时，点恰好在路面中线上？
（2）记圆心在路面上的射影为，且H在线段上，求的最大值．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·高二课时练习）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知圆，则圆心及半径分别为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．6
6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．14
二、多选题
9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（ ）
A．B．0C．D．
三、填空题
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.
11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
四、解答题
12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点在圆E上，求的取值范围．
13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线为．
(1)求点坐标；
(2)求的外接圆方程．
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 __．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆及点．
（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.
（1）当时，求点的坐标；
（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
课程标准
学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
（）
圆心
半径
知识点01：圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．
【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（ ）
A．B．2C．0D．
【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.
题型02求圆的一般方程
【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．0或2B．0或-2
C．0或D．-2或2
【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.
【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
题型04点与圆的位置关系
【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______.
题型05圆过定点问题
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且，则不论取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点
题型06求动点的轨迹方程
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.
【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.
题型07与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．15B．6C．5D．4
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数满足，则的最大值为__________．
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为__________.
【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．
题型08关于点或直线对称的圆
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.
【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.
【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆关于直线对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________
题型09圆的综合问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆的方程；
(3)请问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆上点的切线方程是.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；
（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为､
①求证：直线过定点.
②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．
（Ⅰ）若，求圆的方程；
（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．
【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过，两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点关于直线的对称点也在圆，且过点的直线与两坐标轴分别交于不同两点和，当圆的面积最小时，试求的最小值.
题型10圆的实际应用
【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与相距30米的支柱的高度.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设为圆心与连线与路面的交点．
（1）当为何值时，点恰好在路面中线上？
（2）记圆心在路面上的射影为，且H在线段上，求的最大值．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·高二课时练习）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（ ）.
A．B．C．D．
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知圆，则圆心及半径分别为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．6
6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．14
二、多选题
9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（ ）
A．B．0C．D．
三、填空题
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.
11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
四、解答题
12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点在圆E上，求的取值范围．
13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线为．
(1)求点坐标；
(2)求的外接圆方程．
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 __．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆及点．
（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.
（1）当时，求点的坐标；
（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
课程标准
学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
（）
圆心
半径
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