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人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品课时作业
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品课时作业，文件包含第02讲312椭圆的简单几何性质原卷版docx、第02讲312椭圆的简单几何性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
知识点01：椭圆的简单几何性质
【即学即练1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 .
【答案】或
【详解】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
知识点02：椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
【即学即练2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则直线：，由，得，即，
而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的离心率为.
故选：A
知识点03：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知识点04：直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
【即学即练3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【详解】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得
故
【即学即练4】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.
故选：B
题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【典例1】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．短轴相等C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等
【答案】C
【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为；
椭圆即，因为，
则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为,
故两个椭圆的焦距相等．
故选：C．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，可得椭圆标准方程为，
则，，，
所以长轴长为、短轴长为、离心率为.
故选：D.
【变式1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，
又由点，
可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．或C．D．或
【答案】D
【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m的值为 ．
【答案】10或2
【详解】椭圆的焦距为4，即
当时，；
当时，；
故m的值为10或2，
故答案为：10或2
题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程
【典例1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由化简可得，
焦点为在轴上，
同时又过点，设，
有，解得，
故选：C
【典例2】（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【详解】由题意知，，，所以，，
∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.
∴椭圆方程：或
故选：C
【典例3】（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
【答案】
【详解】椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，
则，从而，，
又，∴，
∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：因为椭圆，即，
，，可得，椭圆的焦点为，
设椭圆方程是，则，解得
所求椭圆的方程为.
故选：A．
【变式2】（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
【变式3】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】椭圆：的离心率为.
则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：.
故答案为：
题型03求椭圆的离心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，
腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，
而椭圆的短轴长，即，
所以椭圆的离心率
故选：D
【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，椭圆的左顶点为，
因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则，
所以，可得，
又因为，即，
代入可得，所以离心率为.
故选：D.
【典例3】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．
设，则．
因为，所以，
又因为，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故选：B.
【典例4】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】由题意得，
故，
又，将代入可得，即，
又，故，离心率.
故答案为：
【变式1】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，所以，
由，得，
又，所以，
在中，由，
得，即，所以，
即的离心率为.
故选：A.
【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，，
设，由题意知,，
由余弦定理得,，
由椭圆定义知，则离心率.
故选:C.
【变式3】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
【变式4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】由题知，，且，即，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：
题型04求椭圆的离心率的最值或范围
【典例1】（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故选：C.
【典例2】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设，
又，且，
则，与椭圆方程联立，
即，解得或，
则，即，
即，则，
故选：B
【典例3】（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，
在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴.
∵，
∴，
由椭圆的定义得，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【典例4】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点
若，则，即，
所以，即
所以椭圆的离心率；
当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则，
设，则，所以①，
若，则②，
联立①②，结合可得，
由，，所以，且，
所以，则，故，
所以，即，故
综上，椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
因为∴．
设，则
∴当，即时，取最大值，此时离心率.
故选：C
【变式2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，则，
所以，即，
，
又因为点，为椭圆上的两点，
所以，两式相减可得：，即，
所以，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
又因为，为椭圆上的两点，所以，
所以，解得：，即.
故选：C.
【变式3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】过点且与直线垂直的直线为，
两直线的交点，从而点.
点在椭圆上，
则，即
则.
由于，则，，
故答案为：
【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】圆关于直线对称的圆为：，
依题意可得圆与椭圆有交点，
又椭圆的右焦点是圆的圆心，
所以，且，又，所以，.
故答案为：.
题型05根据椭圆离心率求参数
【典例1】（2023秋·高二单元测试）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
【典例2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
【答案】
【详解】如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，
得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
【答案】C
【详解】椭圆的离心率，
当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得，
当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得，
所以的值可能是3或.
故选：C
【变式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为，
由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点，
设，则，
，设，则，解得，即，
又，且，故的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（2023·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意知，由得，
不妨设点在第一象限，则点的坐标为.
由知，且，
从而得到点的坐标为.
将点的坐标代入椭圆C方程得，
整理得，即，
所以.
又因为，所以，即实数λ取值范围为.
故答案为：.
题型06直线与椭圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则，
将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得，
则，解得.
故选：C.
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】对于直线，整理得，
令，解得，
故直线过定点.
∵，则点在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
【变式1】（2023·广东广州·统考模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设椭圆方程为，
直线代入椭圆方程，消得：，
，整理，得
又，由焦点在轴上，
所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为；
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】直线过定点，
所以，解得①.
由于方程表示椭圆，所以且②.
由①②得的取值范围是.
故选：C
题型07直线与椭圆相切
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则
所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
【变式2】（2023·广西·统考一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：设直线与椭圆相切
联解消去，得
，解得或
与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
其中与直线距离较远的是，且距离为，
到直线的最大距离为，
故答案为：．
题型08弦长
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【答案】
【详解】在椭圆中，，，则，故点，
设点、，由题意可知，直线的方程为，即，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值．
【答案】
【详解】设直线与椭圆的交点为，
联立消去整理得，
解得，
所以弦长，
整理得即解得，.
【典例3】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，
解得．
所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，
即．
又因为，所以，
所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，
因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，
解得．
设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过左焦点的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求．
【答案】
【详解】因为椭圆方程为，则左焦点，
因为直线过椭圆左焦点且斜率为1，所以直线方程为，即，
设，
联立直线与椭圆方程可得，化简可得，
且，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得
.
【变式2】（2023秋·青海西宁·高二期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点，
直线的斜率，解得，，
所以，
椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，
由，解得或，不妨令、，
所以.
【变式3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，
所以，解得，所以的方程为，
由，消y得，
所以得，
设，，则，
所以
，
化简得，得证；
（2）由消x，得，
所以，即，
结合，及，可得，
设，，则，
所以，
所以，
设，由，得，所以，
所以，
所以.
题型09中点弦和点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则，，
且，，
作差得，所以，
即直线l的斜率是．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ．
【答案】/
【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则，
可得，
因为在椭圆上，则，两式相减得，
整理得，即
所以.
故答案为：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 .
【答案】
【详解】设，，根据中点坐标公式，，，
且，，两式相减，化简可得，
所以，即直线的斜率为，
根据点斜式，得到直线的方程为，即.
故答案为：
【典例4】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意，
在椭圆中，一个焦点为，
设椭圆的方程为,
∴，
设直线与椭圆的交点为,弦中点为
∵直线截得弦的中点的横坐标为，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴椭圆的方程为：，
故答案为：.
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则
所以，整理得，
因为为弦的中点，
所以，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即.
故选：A.
【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．
由题意知，则，
∴点的轨迹方程为．
又点在椭圆内，
∴，
解得：，
故答案为：.
【变式4】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】设，，，则，
两式相减得，即，
所以，因为是垂直平分线，有，
所以，即，化简得，
∵，∴.
故答案为：
题型10椭圆中三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
【答案】的周长为，面积为．
【详解】如下图所示：
由椭圆方程可知，
根据椭圆定义可知，
所以的周长为，
即的周长为；
易知，
又直线的倾斜角为，则，
所以直线的方程为，设
联立整理可得，
由韦达定理可知；
由图可知的面积为；
所以的周长为，面积为
【典例2】（2023春·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知有 解得
所以椭圆的方程为.
（2）由 消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为
【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，
所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，
则，所以，
因此动点的轨迹的方程是.
（2）如图：
不妨设点在轴上方，连接，
因为分别为有中点，所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，
此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设，，显然直线不与轴重合，即，
联立，得，
则，，
所以，
又点到直线的距离，
所以，令，
则，
因为，所以，
所以，所以.
综上，，即的最大值为.
【变式1】（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
【变式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，
如图
则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
【变式3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，，
因为，
所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，
设椭圆的标准方程为，
则，，则，
因此，曲线的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
设直线的方程为，联立可得，
则，
设点、，则，，
则，
所以，，
解得或，
故直线的方程为或或.
题型11椭圆的定点、定值、定直线问题
【典例1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
【典例2】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）由题意可知：，又，解得，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，
直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程：，
设，
则，
，
将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
【典例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．
【详解】（1）依题可得，解得：，所以，
即椭圆的方程为．
（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．
从而．
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
【变式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
【变式2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为
（2）由题意知，，直线斜率均存在，
所以直线，与椭圆方程联立得，
对恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为
【变式3】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线上，理由见详解.
【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.
（2）是在定直线上，理由如下：
当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，
，且，
所以
易知，则，
两式作商得是定值，
故G在定直线上.
题型12椭圆中的向量问题
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考开学考试）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，，，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）依题意，知，设，．
联立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
直线的方程为．
【典例2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】A
【详解】设，，
则，
则，
因为点为椭圆上，所以有：，即，
所以，
又因为，
所以当时，的最大值为6.
故选：A.
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以
解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
题型13新定义问题
1．（2023·全国·高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A．39B．52C．86D．97
【答案】D
【详解】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距，
近日点距离为，远日点距离为，
近日点距离和远日点距离之和是，
近日点距离和远日点距离之积是，
解得，则.
故选：D.
2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
3．（多选）（2023·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．两椭圆的焦距长相等B．两椭圆的离心率相等
C．D．与小椭圆相切
【答案】BC
【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，
设点、、，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为，
则大椭圆的方程为，
对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错；
对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对；
对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
，可得，
此时，，
联立，
可得，
由韦达定理可得，
即点为线段的中点，所以，，C对；
对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错.
故选：BC
4．（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积最大值为18
【答案】ACD
【详解】解:由题知椭圆方程为:,
所以,
故选项A正确;
因为长方形R的四边均与椭圆相切,
所以点,即在蒙日圆上,
故半径为,
可得椭圆C的蒙日圆方程为;
故选项B错误,选项C正确;
设长方形R的边长为m,n,
则有,
所以长方形R的面积等于,
当且仅当时取等,
故选项D正确.
故选:ACD
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为，
故选：D
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，，所以，．
故选：D．
3．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）椭圆和（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【答案】C
【详解】对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）关于椭圆C：，有下面四个命题：
甲：长轴长为4；
乙：短轴长为2；
丙：离心率为；
丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，
可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，
故丁是假命题.
故选：D
5．（2023春·河南·高三阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.
故选：C
6．（2023春·福建福州·高二校联考期中）椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得，
由对称性可设,
则,
因为，所以,
所以,即,解得或（舍）.
故选:B.
7．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆的左焦点，则面积的最大值为（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】B
【详解】如图：
设点的坐标为，由于过椭圆中心，
所以，两点关于原点对称，于是，
所以，因此，
当最大时，的面积最大，
而当，为椭圆上下顶点时，最大，
所以，的面积最大为.
故选：B.
8．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】由题知，所以.
所以，
因为，所以，
所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立.
所以，所以，.
所以直线的方程为，即，与方程联立，
可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）.
所以的面积为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
【答案】ACD
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）椭圆上的点到直线:的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】在椭圆上任取一点，设，
那么点到直线的距离为：
，其中 .
故答案为：.
12．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试）过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为
【答案】/
【详解】解：由椭圆：，可得右焦点.
设此直线与椭圆相交于点，
直线方程为：.
联立，
可得，
，.
.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】答案见解析
【详解】根据题意可知，，
不妨设，设；
①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或；
②若为直角，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或
③若为直角，则，即
可得，联立椭圆方程可得，
解得，所以
即点的坐标为或或或
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为．
【答案】
【详解】设直线与椭圆交于两点，
联立，可得，
，解得，
，，
弦长，解得，
故时，直线被椭圆所截的弦长为．
15．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不妨设点位于第一象限，如图所示，
因为为的内心，所以为的角平分线，
所以，因为，所以，
设，则，由椭圆的定义可知，，
可得，所以，，
又因为，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
所以，则，
故选：B.
2．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，
设，由题意可得，
则由以为中点的弦与椭圆交于点可得，
两式相减可得，
即，
所以直线方程为，
令，可得，
由知，，
所以直线的方程为，
令，可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，故.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵椭圆的离心率为，
∴，∴，
∴椭圆的方程为，
不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，
∵，
∴，
∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，
代入椭圆方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，
∴
则，
当且仅当
故答案为：.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设关于直线的对称点为，则
解得即．
由椭圆定义及对称性可得，
则，
当且仅当P，F，三点共线时，等号成立．
所以E的离心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，
解得，
设椭圆E的上顶点为Q，
则，
所以，解得，
所以E的离心率的取值范围是．
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知两点的坐标分别为，过点的直线与（1）中点的轨迹交于两点（与不重合）.证明：直线与的交点的横坐标是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
依题意，，圆的半径为4.
于是，且，故点的轨迹为椭圆.
.
所以点的轨迹方程为：.
（2）依题意直线的斜率不为0，
设直线的方程为：
代入椭圆方程得：.
所以①，②
又直线的方程为：，
直线的方程为：
联立上述两直线方程得：，
即，
将①②代入上式得：,
即，解得.
所以直线与的交点的横坐标是定值4.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)定点，理由见解析
【详解】（1）设，则有，
整理得；
设,，，则，，
由 ，两式相减：，
整理得，，，
即直线与直线的斜率之积为定值．
（2）显然直线的斜率不为0，设直线方程为，
联立方程组，消去得：，
所以， ， ，
， 直线， 从而点，
根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为，
以为直径的圆过定点，则，
又，，
从而，
整理得，
故 ，解方程组可得，
即以为直径的圆过定点．
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为
(1)若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；
(2)设，直线CD经过点，求的取值范围；
【答案】(1)2；
(2)；
【详解】（1）因为梯形为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由题意，椭圆，直线CD的方程为，
设，，则，化简得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范围为.
课程标准
学习目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，
知识点01：椭圆的简单几何性质
【即学即练1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 .
【答案】或
【详解】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
知识点02：椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
【即学即练2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则直线：，由，得，即，
而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的离心率为.
故选：A
知识点03：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知识点04：直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
【即学即练3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【详解】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得
故
【即学即练4】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，
代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.
故选：B
题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【典例1】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．短轴相等C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等
【答案】C
【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为；
椭圆即，因为，
则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为,
故两个椭圆的焦距相等．
故选：C．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，可得椭圆标准方程为，
则，，，
所以长轴长为、短轴长为、离心率为.
故选：D.
【变式1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，
又由点，
可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．或C．D．或
【答案】D
【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m的值为 ．
【答案】10或2
【详解】椭圆的焦距为4，即
当时，；
当时，；
故m的值为10或2，
故答案为：10或2
题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程
【典例1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由化简可得，
焦点为在轴上，
同时又过点，设，
有，解得，
故选：C
【典例2】（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【详解】由题意知，，，所以，，
∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.
∴椭圆方程：或
故选：C
【典例3】（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
【答案】
【详解】椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，
则，从而，，
又，∴，
∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：因为椭圆，即，
，，可得，椭圆的焦点为，
设椭圆方程是，则，解得
所求椭圆的方程为.
故选：A．
【变式2】（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
【变式3】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】椭圆：的离心率为.
则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：.
故答案为：
题型03求椭圆的离心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，
腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，
而椭圆的短轴长，即，
所以椭圆的离心率
故选：D
【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，椭圆的左顶点为，
因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则，
所以，可得，
又因为，即，
代入可得，所以离心率为.
故选：D.
【典例3】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．
设，则．
因为，所以，
又因为，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故选：B.
【典例4】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】由题意得，
故，
又，将代入可得，即，
又，故，离心率.
故答案为：
【变式1】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，所以，
由，得，
又，所以，
在中，由，
得，即，所以，
即的离心率为.
故选：A.
【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，，
设，由题意知,，
由余弦定理得,，
由椭圆定义知，则离心率.
故选:C.
【变式3】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
【变式4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】由题知，，且，即，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：
题型04求椭圆的离心率的最值或范围
【典例1】（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故选：C.
【典例2】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设，
又，且，
则，与椭圆方程联立，
即，解得或，
则，即，
即，则，
故选：B
【典例3】（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，
在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴.
∵，
∴，
由椭圆的定义得，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【典例4】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点
若，则，即，
所以，即
所以椭圆的离心率；
当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则，
设，则，所以①，
若，则②，
联立①②，结合可得，
由，，所以，且，
所以，则，故，
所以，即，故
综上，椭圆的离心率e的取值范围为.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
因为∴．
设，则
∴当，即时，取最大值，此时离心率.
故选：C
【变式2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，则，
所以，即，
，
又因为点，为椭圆上的两点，
所以，两式相减可得：，即，
所以，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
又因为，为椭圆上的两点，所以，
所以，解得：，即.
故选：C.
【变式3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】过点且与直线垂直的直线为，
两直线的交点，从而点.
点在椭圆上，
则，即
则.
由于，则，，
故答案为：
【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】圆关于直线对称的圆为：，
依题意可得圆与椭圆有交点，
又椭圆的右焦点是圆的圆心，
所以，且，又，所以，.
故答案为：.
题型05根据椭圆离心率求参数
【典例1】（2023秋·高二单元测试）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
【典例2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
【答案】
【详解】如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，
得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
【答案】C
【详解】椭圆的离心率，
当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得，
当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得，
所以的值可能是3或.
故选：C
【变式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为，
由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点，
设，则，
，设，则，解得，即，
又，且，故的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（2023·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意知，由得，
不妨设点在第一象限，则点的坐标为.
由知，且，
从而得到点的坐标为.
将点的坐标代入椭圆C方程得，
整理得，即，
所以.
又因为，所以，即实数λ取值范围为.
故答案为：.
题型06直线与椭圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则，
将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得，
则，解得.
故选：C.
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】对于直线，整理得，
令，解得，
故直线过定点.
∵，则点在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
【变式1】（2023·广东广州·统考模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设椭圆方程为，
直线代入椭圆方程，消得：，
，整理，得
又，由焦点在轴上，
所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为；
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】直线过定点，
所以，解得①.
由于方程表示椭圆，所以且②.
由①②得的取值范围是.
故选：C
题型07直线与椭圆相切
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则
所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
【变式2】（2023·广西·统考一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：设直线与椭圆相切
联解消去，得
，解得或
与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
其中与直线距离较远的是，且距离为，
到直线的最大距离为，
故答案为：．
题型08弦长
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【答案】
【详解】在椭圆中，，，则，故点，
设点、，由题意可知，直线的方程为，即，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
所以，.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值．
【答案】
【详解】设直线与椭圆的交点为，
联立消去整理得，
解得，
所以弦长，
整理得即解得，.
【典例3】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，
解得．
所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，
即．
又因为，所以，
所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，
因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，
解得．
设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过左焦点的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求．
【答案】
【详解】因为椭圆方程为，则左焦点，
因为直线过椭圆左焦点且斜率为1，所以直线方程为，即，
设，
联立直线与椭圆方程可得，化简可得，
且，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得
.
【变式2】（2023秋·青海西宁·高二期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点，
直线的斜率，解得，，
所以，
椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，
由，解得或，不妨令、，
所以.
【变式3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，
所以，解得，所以的方程为，
由，消y得，
所以得，
设，，则，
所以
，
化简得，得证；
（2）由消x，得，
所以，即，
结合，及，可得，
设，，则，
所以，
所以，
设，由，得，所以，
所以，
所以.
题型09中点弦和点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则，，
且，，
作差得，所以，
即直线l的斜率是．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ．
【答案】/
【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则，
可得，
因为在椭圆上，则，两式相减得，
整理得，即
所以.
故答案为：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 .
【答案】
【详解】设，，根据中点坐标公式，，，
且，，两式相减，化简可得，
所以，即直线的斜率为，
根据点斜式，得到直线的方程为，即.
故答案为：
【典例4】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意，
在椭圆中，一个焦点为，
设椭圆的方程为,
∴，
设直线与椭圆的交点为,弦中点为
∵直线截得弦的中点的横坐标为，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴椭圆的方程为：，
故答案为：.
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则
所以，整理得，
因为为弦的中点，
所以，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即.
故选：A.
【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．
由题意知，则，
∴点的轨迹方程为．
又点在椭圆内，
∴，
解得：，
故答案为：.
【变式4】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】设，，，则，
两式相减得，即，
所以，因为是垂直平分线，有，
所以，即，化简得，
∵，∴.
故答案为：
题型10椭圆中三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
【答案】的周长为，面积为．
【详解】如下图所示：
由椭圆方程可知，
根据椭圆定义可知，
所以的周长为，
即的周长为；
易知，
又直线的倾斜角为，则，
所以直线的方程为，设
联立整理可得，
由韦达定理可知；
由图可知的面积为；
所以的周长为，面积为
【典例2】（2023春·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知有 解得
所以椭圆的方程为.
（2）由 消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为
【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，
所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，
则，所以，
因此动点的轨迹的方程是.
（2）如图：
不妨设点在轴上方，连接，
因为分别为有中点，所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，
此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设，，显然直线不与轴重合，即，
联立，得，
则，，
所以，
又点到直线的距离，
所以，令，
则，
因为，所以，
所以，所以.
综上，，即的最大值为.
【变式1】（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
【变式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，
如图
则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
【变式3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，，
因为，
所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，
设椭圆的标准方程为，
则，，则，
因此，曲线的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
设直线的方程为，联立可得，
则，
设点、，则，，
则，
所以，，
解得或，
故直线的方程为或或.
题型11椭圆的定点、定值、定直线问题
【典例1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，，，，
由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，
即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
【典例2】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）由题意可知：，又，解得，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，
直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程：，
设，
则，
，
将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
【典例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．
【详解】（1）依题可得，解得：，所以，
即椭圆的方程为．
（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．
从而．
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
【变式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
【变式2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为
（2）由题意知，，直线斜率均存在，
所以直线，与椭圆方程联立得，
对恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为
【变式3】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线上，理由见详解.
【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.
（2）是在定直线上，理由如下：
当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，
，且，
所以
易知，则，
两式作商得是定值，
故G在定直线上.
题型12椭圆中的向量问题
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考开学考试）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，，，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）依题意，知，设，．
联立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
直线的方程为．
【典例2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】A
【详解】设，，
则，
则，
因为点为椭圆上，所以有：，即，
所以，
又因为，
所以当时，的最大值为6.
故选：A.
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以
解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
题型13新定义问题
1．（2023·全国·高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A．39B．52C．86D．97
【答案】D
【详解】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距，
近日点距离为，远日点距离为，
近日点距离和远日点距离之和是，
近日点距离和远日点距离之积是，
解得，则.
故选：D.
2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
3．（多选）（2023·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．两椭圆的焦距长相等B．两椭圆的离心率相等
C．D．与小椭圆相切
【答案】BC
【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，
设点、、，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为，
则大椭圆的方程为，
对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错；
对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对；
对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
，可得，
此时，，
联立，
可得，
由韦达定理可得，
即点为线段的中点，所以，，C对；
对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错.
故选：BC
4．（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积最大值为18
【答案】ACD
【详解】解:由题知椭圆方程为:,
所以,
故选项A正确;
因为长方形R的四边均与椭圆相切,
所以点,即在蒙日圆上,
故半径为,
可得椭圆C的蒙日圆方程为;
故选项B错误,选项C正确;
设长方形R的边长为m,n,
则有,
所以长方形R的面积等于,
当且仅当时取等,
故选项D正确.
故选:ACD
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为，
故选：D
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，，所以，．
故选：D．
3．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）椭圆和（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【答案】C
【详解】对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）关于椭圆C：，有下面四个命题：
甲：长轴长为4；
乙：短轴长为2；
丙：离心率为；
丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，
可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，
故丁是假命题.
故选：D
5．（2023春·河南·高三阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.
故选：C
6．（2023春·福建福州·高二校联考期中）椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得，
由对称性可设,
则,
因为，所以,
所以,即,解得或（舍）.
故选:B.
7．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆的左焦点，则面积的最大值为（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】B
【详解】如图：
设点的坐标为，由于过椭圆中心，
所以，两点关于原点对称，于是，
所以，因此，
当最大时，的面积最大，
而当，为椭圆上下顶点时，最大，
所以，的面积最大为.
故选：B.
8．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】由题知，所以.
所以，
因为，所以，
所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立.
所以，所以，.
所以直线的方程为，即，与方程联立，
可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）.
所以的面积为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
【答案】ACD
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）椭圆上的点到直线:的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】在椭圆上任取一点，设，
那么点到直线的距离为：
，其中 .
故答案为：.
12．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试）过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为
【答案】/
【详解】解：由椭圆：，可得右焦点.
设此直线与椭圆相交于点，
直线方程为：.
联立，
可得，
，.
.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】答案见解析
【详解】根据题意可知，，
不妨设，设；
①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或；
②若为直角，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或
③若为直角，则，即
可得，联立椭圆方程可得，
解得，所以
即点的坐标为或或或
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为．
【答案】
【详解】设直线与椭圆交于两点，
联立，可得，
，解得，
，，
弦长，解得，
故时，直线被椭圆所截的弦长为．
15．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不妨设点位于第一象限，如图所示，
因为为的内心，所以为的角平分线，
所以，因为，所以，
设，则，由椭圆的定义可知，，
可得，所以，，
又因为，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
所以，则，
故选：B.
2．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，
设，由题意可得，
则由以为中点的弦与椭圆交于点可得，
两式相减可得，
即，
所以直线方程为，
令，可得，
由知，，
所以直线的方程为，
令，可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，故.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵椭圆的离心率为，
∴，∴，
∴椭圆的方程为，
不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，
∵，
∴，
∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，
代入椭圆方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，
∴
则，
当且仅当
故答案为：.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设关于直线的对称点为，则
解得即．
由椭圆定义及对称性可得，
则，
当且仅当P，F，三点共线时，等号成立．
所以E的离心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，
解得，
设椭圆E的上顶点为Q，
则，
所以，解得，
所以E的离心率的取值范围是．
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知两点的坐标分别为，过点的直线与（1）中点的轨迹交于两点（与不重合）.证明：直线与的交点的横坐标是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
依题意，，圆的半径为4.
于是，且，故点的轨迹为椭圆.
.
所以点的轨迹方程为：.
（2）依题意直线的斜率不为0，
设直线的方程为：
代入椭圆方程得：.
所以①，②
又直线的方程为：，
直线的方程为：
联立上述两直线方程得：，
即，
将①②代入上式得：,
即，解得.
所以直线与的交点的横坐标是定值4.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)定点，理由见解析
【详解】（1）设，则有，
整理得；
设,，，则，，
由 ，两式相减：，
整理得，，，
即直线与直线的斜率之积为定值．
（2）显然直线的斜率不为0，设直线方程为，
联立方程组，消去得：，
所以， ， ，
， 直线， 从而点，
根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为，
以为直径的圆过定点，则，
又，，
从而，
整理得，
故 ，解方程组可得，
即以为直径的圆过定点．
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为
(1)若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；
(2)设，直线CD经过点，求的取值范围；
【答案】(1)2；
(2)；
【详解】（1）因为梯形为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由题意，椭圆，直线CD的方程为，
设，，则，化简得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范围为.
课程标准
学习目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，
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