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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课堂检测
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课堂检测，文件包含第04讲322双曲线的简单几何性质原卷版docx、第04讲322双曲线的简单几何性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
知识点01：双曲线的简单几何性质
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
知识点02：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【即学即练2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
【答案】
【详解】设所求双曲线方程为：，
双曲线经过点，，
所求双曲线方程为：.
故答案为：.
知识点03：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ．
【答案】2
【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
知识点04：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【即学即练4】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
知识点05：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【即学即练5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
知识点06：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【即学即练6】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
题型01由双曲线的方程求几何性质
【典例1】（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
【典例2】（多选）（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距B．顶点坐标
C．离心率D．渐近线方程
【答案】CD
【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，，
则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.
故选：CD.
【变式1】（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1B．虚轴长为2
C．离心率D．渐近线方程为
【答案】BCD
【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.
故选：BCD
【变式2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
【答案】C
【详解】对A，C的实轴长为，A错；
对B，C的渐近线方程为，B错；
对C，C的离心率为，C对；
对D，C的焦点的坐标为，D错.
故选：C
题型02根据双曲线几何性质求其标准方程
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，
故双曲线的标准方程为.
故选:A.
【典例2】（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
【典例3】（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
【变式1】（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率，
所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率，
即，所以，
又因为双曲线的虚轴长为，
即，所以，
即，
所以，
所以所求双曲线的方程为：.
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
题型03双曲线的渐近线问题
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
【典例2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得双曲线的渐近线方程为．
∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故选：A．
【典例3】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
由双曲线的定义得，，
又由得，即，解得，所以，
在直角中，由勾股定理得，即，
整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．
故选：B．
【变式1】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【详解】依题意得，，，
所以，，，
所以渐近线方程为，右焦点为，
所以点到渐近线的距离为.
故选：A
【变式2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】双曲线经过点，
，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【变式3】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，，
又点在左支上，则，则，
在中，由余弦定理可得，
而与渐近线垂直，于是，即，从而得，
所以，即，化简得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
题型04双曲线的离心率问题（定值）
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
【典例2】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】/
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，
又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．
双曲线的离心率为．
故答案为：．
【典例3】（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】/
【详解】
如图所示，设，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作轴于D，，
故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故答案为：
【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
设，因为点在渐近线上，所以，
因为，所以，所以，所以，
又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，
所以，所以，所以，
所以，可得，
故选：C.
【变式2】（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 .
【答案】
【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，
所以，所以C的离心率为.
故答案为：
【变式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【详解】双曲线的渐近线的方程为.
圆的标准方程为：，
故该圆的圆心为，半径为2，
而圆心到渐近线的距离为，
故渐近线被该圆截得的弦长为，
整理得到：或，
而，故，故离心率为.
故答案为：.
题型05双曲线的离心率问题（最值或范围）
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意直线：，即，又，
所以，，
所以，所以，
即，即，解得，
又，所以.
故选：B
【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，
不妨设双曲线的这条渐近线方程为，
由，得：或，所以，
双曲线的左顶点为，则，
所以，，
因为，所以，化简得，
所以，所以，所以，
又，所以.
故答案为：
【变式1】（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由双曲线（其中），
得，
则双曲线离心率，
因为，所以，则，
所以，
所以，即双曲线离心率的取值范围为.
故选：A.
【变式2】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
【答案】
【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则.
因为直线过原点，由对称性，原点平分线段，
又原点平分线段，所以四边形为平行四边形.
在和中，分别有中位线，，，
因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形.
不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，
在Rt中可得：，
所以，
因为，所以，
又在上为增函数，
所以.
故答案为：
【变式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，
因为，所以，则，
因为为直线的倾斜角，且，
所以在中，，且，
则，即，即，
即，解得，
所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
题型06根据双曲线的离心率求参数
【典例1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，双曲线的离心率为，
可得，即，解得，
即双曲线的渐近线的方程为.
故选：B.
【典例2】（2023秋·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为
【答案】
【详解】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即,解得或,又因为,即.
故选：A
【变式2】（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ．
【答案】
【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，则，
所以，解得：.
故答案为：.
题型07直线与双曲线的位置关系
【典例1】（多选）（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】联立，消去y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为，故A，D符合题意.
故选：AD.
【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中校考开学考试）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由得，
方程在有两个不相等的负实根，
所以,解得.
故答案为：.
【变式1】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：
【变式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）记双曲线的离心率为，若直线与无公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”.
所以，
又因为，所以.
故答案为：
【变式3】（2023秋·广西北海·高二统考期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条．
【答案】4
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点．
当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点；
当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条．
故答案为：4
题型08弦长问题
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1)=1
(2)3
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【典例3】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，
又双曲线过点，
双曲线的方程为：
（2）设，，联立，化为．
∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化为．满足．∴．
由弦长公式可得
【变式1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
【答案】(1)
(2)25
(3)54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）由双曲线方程知：，则，
由得：，则，
与双曲线有两个不同的交点.
（2）设，，
由（1）得：，，；
；
.
【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即
则到渐近线的距离为，
又将代入双曲线方程得：，所以，
故双曲线方程为；
（2）由题意可得直线的方程为：，即，
则，所以，解得，，即点横坐标为，
所以.
题型09三角形面积问题
【典例1】（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 .
【答案】
【详解】解：设，
因为双曲线：（）的离心率为3，
所以，即，
又的周长为，
所以，
由双曲线的定义得，
解得 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
【典例3】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.
(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；
(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由，消去，得①，
当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.
当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），
综上得的取值是或；
（2）设交点，由，消去，得，
首先由，得且，
并且，
又因为与的左右两支分别交于A､B两点，
所以，即，解得，
故.
因为直线l与y轴交于点，
所以，
故.
解得或.
因为，所以.
【变式1】（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【详解】直线与双曲线交于，两点，若，
则四边形为矩形，所以，，
由双曲线可得，，则，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故选：C．
【变式2】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为 .
【答案】
【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，
设，则，
因为，所以，
则，解得，
所以，.
故答案为：
【变式3】（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.
(1)证明：；
(2)若的面积为8，求直线的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，
而，则线段中点为，又，则，
所以，则中点在双曲线上或外部，
即，仅当重合时等号成立，故.
（2）若，则，
令，，联立双曲线，
则，而，则，，
所以，故，可得（负值舍），
所以，故直线斜率为.
题型10中点弦和点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
【典例3】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
【变式1】（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，
所以，
又因为弦的中点为，所以，
故直线斜率，
则所求直线方程为，整理得，
由得，
，故该直线满足题意，
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
【变式3】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题
【典例1】（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点，
所以，．
因为，所以，
所以由双曲线的定义知，解得．
设双曲线的半焦距为（）．
因为，所以，
所以，所以．
所以双曲线的标准方程为．
（2）设（），则，
所以，所以，所以．
因为，，所以，
所以，为定值．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设，则
联立方程组，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直线过定点.
当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.
综上：直线过定点.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
【变式1】（2023·高二课时练习）已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意，解得，，
故双曲线方程为
（2）设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.
【答案】(1) ；(2)4个；(3)证明过程见解析.
【详解】(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知：
而,所以,因此双曲线的标准方程为：；
(2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有.
当时,所以且,解得或此时存在2个点；
当时,所以且,,解得或,此时存在2个点；
当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解,
综上所述：点P的个数为4个；
(3)设点的坐标为,.
因为三点共线,所以直线的斜率相等,即
因为三点共线,所以直线的斜率相等,即 , 所以的中点坐标为：
,所以以为直径的圆的方程为：,即
令或,因此该圆恒过两点.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为 ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．
(1)求C的标准方程；
(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）选①
因为C的渐近线方程为，所以，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
选②．
因为C的离心率为，所以，得，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．
设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，
联立直线和双曲线方程得，
所以，，
直线PM：，即，
直线QN：，即，
消去y，得，
整理得，
则．
因为，所以A的横坐标为1．
故A在定直线上．
题型12双曲线中的向量问题
【典例1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上．
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以，
可得，
将代入可得，解得；
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）可知，上焦点，
设直线l的斜率为，，则直线l的方程为，
联立整理得；
所以
又，即，可得，
所以，即，解得；
所以直线l的斜率为
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3.
(1)求A的轨迹；
(2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）设，由题意，化简可得
所以A的轨迹为.
（2）由题设过定点的直线方程为，将其与
联立有：，消去y得：
因交于、两点，则
.
设，则由韦达定理有：.
又，则，
，
则.
又，
，解得，
则的方程为：或.
【变式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
【变式2】（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以综上，．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为双曲线，所以，，
所以，的离心率，故B，C，D错误.
故选：A.
2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
3．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
4．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设点的横坐标为，，，即，
由题可知，，得．
故选：D.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【详解】左支内最短的焦点弦，又，
所以与左、右两支相交的焦点弦长，
因为实数使得的直线恰有3条，
根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称.
如图所示：
所以当时，有3条直线满足题意.
故选：C
6．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【详解】双曲线，则，，，
由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，
则四边形为矩形，所以，
设，，则，，
所以.
故选：A
8．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，
则到直线的距离分别为，，
故，解得，
故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
10．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A项，的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，的渐近线方程为，故B项正确；
对于C项，的渐近线方程为，故C项正确；
对于D项，的渐近线方程为，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023春·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
【答案】
【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，
把点代入双曲线方程可得，
所以双曲线方程为，化为标准方程得，
所以，，，，
所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
12．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）由题知，，解得，所以，
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
14．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
15．（2023春·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
B能力提升
1．（2023春·江苏南京·高二统考期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】圆，圆心，半径，
因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，
所以，又双曲线，则，，右焦点为，
所以
，
又，即，所以，当点在右顶点时取等号，
即，
所以的最小值为，
故选：D.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
3．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，
因为，所以，则，
因为为直线的倾斜角，且，
所以在中，，且，
则，即，即，
即，解得，
所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
2．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析，
【详解】（1）由题意可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线，
联立消去整理可得，
则，又 ，，
①因直线与双曲线交于两支，所以且，
即；
②设，
令，则
，
所以直线过定点.
3．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为，
则由题意可得，，且， 解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）双曲线的方程为，所以的右焦点，
点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为，
此时，m＝1，Q与F重合，不合题意；
若直线AB的斜率存在，设，m≠1，
∵，∴，∴，
∵点P在双曲线C上，∴，∴，即，
联立消去得．
所以，
设，则，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合题意，
所以，点P的坐标．
课程标准
学习目标
①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。
②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系
知识点01：双曲线的简单几何性质
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为双曲线方程为，
化为标准方程为：，所以，
由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.
故选：C.
知识点02：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【即学即练2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
【答案】
【详解】设所求双曲线方程为：，
双曲线经过点，，
所求双曲线方程为：.
故答案为：.
知识点03：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ．
【答案】2
【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．
故答案为：2
知识点04：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
【即学即练4】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
知识点05：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【即学即练5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
知识点06：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【即学即练6】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
题型01由双曲线的方程求几何性质
【典例1】（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
【典例2】（多选）（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（ ）
A．焦距B．顶点坐标
C．离心率D．渐近线方程
【答案】CD
【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，，
则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.
故选：CD.
【变式1】（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1B．虚轴长为2
C．离心率D．渐近线方程为
【答案】BCD
【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.
故选：BCD
【变式2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为D．C的一个焦点的坐标为
【答案】C
【详解】对A，C的实轴长为，A错；
对B，C的渐近线方程为，B错；
对C，C的离心率为，C对；
对D，C的焦点的坐标为，D错.
故选：C
题型02根据双曲线几何性质求其标准方程
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.
设双曲线的方程为，
故，解得，
故双曲线的标准方程为.
故选:A.
【典例2】（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ．
【答案】
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
【典例3】（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
【变式1】（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率，
所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率，
即，所以，
又因为双曲线的虚轴长为，
即，所以，
即，
所以，
所以所求双曲线的方程为：.
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 .
【答案】
【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:.
故答案为: .
题型03双曲线的渐近线问题
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
【典例2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由得双曲线的渐近线方程为．
∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故选：A．
【典例3】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
由双曲线的定义得，，
又由得，即，解得，所以，
在直角中，由勾股定理得，即，
整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．
故选：B．
【变式1】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【详解】依题意得，，，
所以，，，
所以渐近线方程为，右焦点为，
所以点到渐近线的距离为.
故选：A
【变式2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】双曲线经过点，
，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【变式3】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，，
又点在左支上，则，则，
在中，由余弦定理可得，
而与渐近线垂直，于是，即，从而得，
所以，即，化简得，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
题型04双曲线的离心率问题（定值）
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.
∴双曲线的离心率为.
故选：C.
【典例2】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 .
【答案】/
【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，
则，，可得四边形为平行四边形，
又及托勒密定理，可得四边形为矩形．
设，，
在中，，
则，，
，，，
，解得．
双曲线的离心率为．
故答案为：．
【典例3】（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】/
【详解】
如图所示，设，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作轴于D，，
故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故答案为：
【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】因为为的平分线，所以，
又因为，所以，
设，因为点在渐近线上，所以，
因为，所以，所以，所以，
又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，
所以，所以，所以，
所以，可得，
故选：C.
【变式2】（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 .
【答案】
【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，
所以，所以C的离心率为.
故答案为：
【变式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【详解】双曲线的渐近线的方程为.
圆的标准方程为：，
故该圆的圆心为，半径为2，
而圆心到渐近线的距离为，
故渐近线被该圆截得的弦长为，
整理得到：或，
而，故，故离心率为.
故答案为：.
题型05双曲线的离心率问题（最值或范围）
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意直线：，即，又，
所以，，
所以，所以，
即，即，解得，
又，所以.
故选：B
【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，
不妨设双曲线的这条渐近线方程为，
由，得：或，所以，
双曲线的左顶点为，则，
所以，，
因为，所以，化简得，
所以，所以，所以，
又，所以.
故答案为：
【变式1】（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由双曲线（其中），
得，
则双曲线离心率，
因为，所以，则，
所以，
所以，即双曲线离心率的取值范围为.
故选：A.
【变式2】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 .
【答案】
【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则.
因为直线过原点，由对称性，原点平分线段，
又原点平分线段，所以四边形为平行四边形.
在和中，分别有中位线，，，
因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形.
不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，
在Rt中可得：，
所以，
因为，所以，
又在上为增函数，
所以.
故答案为：
【变式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，
因为，所以，则，
因为为直线的倾斜角，且，
所以在中，，且，
则，即，即，
即，解得，
所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
题型06根据双曲线的离心率求参数
【典例1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，双曲线的离心率为，
可得，即，解得，
即双曲线的渐近线的方程为.
故选：B.
【典例2】（2023秋·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为
【答案】
【详解】因为表示双曲线的方程，
所以有，因此，
因为，
所以由
，
即k的取值范围为，
故答案为：.
【变式1】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即,解得或,又因为,即.
故选：A
【变式2】（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数 ．
【答案】
【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，则，
所以，解得：.
故答案为：.
题型07直线与双曲线的位置关系
【典例1】（多选）（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】联立，消去y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为，故A，D符合题意.
故选：AD.
【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中校考开学考试）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由得，
方程在有两个不相等的负实根，
所以,解得.
故答案为：.
【变式1】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：
【变式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）记双曲线的离心率为，若直线与无公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，所以C的渐近线方程为，
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”.
所以，
又因为，所以.
故答案为：
【变式3】（2023秋·广西北海·高二统考期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条．
【答案】4
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点．
当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点；
当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条．
故答案为：4
题型08弦长问题
【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1)=1
(2)3
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有，
又因为离心率为2，
所以有代入中，可得，
∴C的标准方程为：；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为，
所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，
方程为与双曲线方程联立为：
，
设，则有，
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【典例3】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，
又双曲线过点，
双曲线的方程为：
（2）设，，联立，化为．
∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化为．满足．∴．
由弦长公式可得
【变式1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
(3)求的周长．
【答案】(1)
(2)25
(3)54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）由双曲线方程知：，则，
由得：，则，
与双曲线有两个不同的交点.
（2）设，，
由（1）得：，，；
；
.
【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即
则到渐近线的距离为，
又将代入双曲线方程得：，所以，
故双曲线方程为；
（2）由题意可得直线的方程为：，即，
则，所以，解得，，即点横坐标为，
所以.
题型09三角形面积问题
【典例1】（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 .
【答案】
【详解】解：设，
因为双曲线：（）的离心率为3，
所以，即，
又的周长为，
所以，
由双曲线的定义得，
解得 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
故答案为：
【典例3】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.
(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；
(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由，消去，得①，
当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.
当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），
综上得的取值是或；
（2）设交点，由，消去，得，
首先由，得且，
并且，
又因为与的左右两支分别交于A､B两点，
所以，即，解得，
故.
因为直线l与y轴交于点，
所以，
故.
解得或.
因为，所以.
【变式1】（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【详解】直线与双曲线交于，两点，若，
则四边形为矩形，所以，，
由双曲线可得，，则，
所以，所以，
又，
所以，解得，
所以．
故选：C．
【变式2】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为 .
【答案】
【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，
设，则，
因为，所以，
则，解得，
所以，.
故答案为：
【变式3】（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.
(1)证明：；
(2)若的面积为8，求直线的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，
而，则线段中点为，又，则，
所以，则中点在双曲线上或外部，
即，仅当重合时等号成立，故.
（2）若，则，
令，，联立双曲线，
则，而，则，，
所以，故，可得（负值舍），
所以，故直线斜率为.
题型10中点弦和点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
【典例3】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
【变式1】（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，
所以，
又因为弦的中点为，所以，
故直线斜率，
则所求直线方程为，整理得，
由得，
，故该直线满足题意，
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
【变式3】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题
【典例1】（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点，
所以，．
因为，所以，
所以由双曲线的定义知，解得．
设双曲线的半焦距为（）．
因为，所以，
所以，所以．
所以双曲线的标准方程为．
（2）设（），则，
所以，所以，所以．
因为，，所以，
所以，为定值．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设，则
联立方程组，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直线过定点.
当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.
综上：直线过定点.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
【变式1】（2023·高二课时练习）已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由题意，解得，，
故双曲线方程为
（2）设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.
【答案】(1) ；(2)4个；(3)证明过程见解析.
【详解】(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知：
而,所以,因此双曲线的标准方程为：；
(2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有.
当时,所以且,解得或此时存在2个点；
当时,所以且,,解得或,此时存在2个点；
当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解,
综上所述：点P的个数为4个；
(3)设点的坐标为,.
因为三点共线,所以直线的斜率相等,即
因为三点共线,所以直线的斜率相等,即 , 所以的中点坐标为：
,所以以为直径的圆的方程为：,即
令或,因此该圆恒过两点.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为 ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．
(1)求C的标准方程；
(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）选①
因为C的渐近线方程为，所以，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
选②．
因为C的离心率为，所以，得，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．
设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，
联立直线和双曲线方程得，
所以，，
直线PM：，即，
直线QN：，即，
消去y，得，
整理得，
则．
因为，所以A的横坐标为1．
故A在定直线上．
题型12双曲线中的向量问题
【典例1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上．
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以，
可得，
将代入可得，解得；
所以双曲线C的方程为.
（2）由（1）可知，上焦点，
设直线l的斜率为，，则直线l的方程为，
联立整理得；
所以
又，即，可得，
所以，即，解得；
所以直线l的斜率为
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3.
(1)求A的轨迹；
(2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）设，由题意，化简可得
所以A的轨迹为.
（2）由题设过定点的直线方程为，将其与
联立有：，消去y得：
因交于、两点，则
.
设，则由韦达定理有：.
又，则，
，
则.
又，
，解得，
则的方程为：或.
【变式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
【变式2】（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，
所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，解得，
所以，，
所以综上，．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为双曲线，所以，，
所以，的离心率，故B，C，D错误.
故选：A.
2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
3．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
4．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设点的横坐标为，，，即，
由题可知，，得．
故选：D.
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【详解】左支内最短的焦点弦，又，
所以与左、右两支相交的焦点弦长，
因为实数使得的直线恰有3条，
根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称.
如图所示：
所以当时，有3条直线满足题意.
故选：C
6．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
而，且，
所以，
故，
故选：D.
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【详解】双曲线，则，，，
由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，
则四边形为矩形，所以，
设，，则，，
所以.
故选：A
8．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，
则到直线的距离分别为，，
故，解得，
故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4D．与椭圆有同样的焦点
【答案】ABD
【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；
双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，
故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；
椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
10．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A项，的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，的渐近线方程为，故B项正确；
对于C项，的渐近线方程为，故C项正确；
对于D项，的渐近线方程为，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2023春·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
【答案】
【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，
把点代入双曲线方程可得，
所以双曲线方程为，化为标准方程得，
所以，，，，
所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
12．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，
则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是，解得，
所以t的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）由题知，，解得，所以，
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
14．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
15．（2023春·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
B能力提升
1．（2023春·江苏南京·高二统考期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【详解】圆，圆心，半径，
因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，
所以，又双曲线，则，，右焦点为，
所以
，
又，即，所以，当点在右顶点时取等号，
即，
所以的最小值为，
故选：D.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故选：A.
3．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，
因为，所以，则，
因为为直线的倾斜角，且，
所以在中，，且，
则，即，即，
即，解得，
所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
2．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析，
【详解】（1）由题意可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线，
联立消去整理可得，
则，又 ，，
①因直线与双曲线交于两支，所以且，
即；
②设，
令，则
，
所以直线过定点.
3．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足，直线交双曲线C于A，B两点，若，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线C的标准方程为，渐近线方程为，
则由题意可得，，且， 解得，
则双曲线C的标准方程为；
（2）双曲线的方程为，所以的右焦点，
点Q满足，则P为OQ的中点，设，则，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为，
此时，m＝1，Q与F重合，不合题意；
若直线AB的斜率存在，设，m≠1，
∵，∴，∴，
∵点P在双曲线C上，∴，∴，即，
联立消去得．
所以，
设，则，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合题意，
所以，点P的坐标．
课程标准
学习目标
①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。
②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系
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