2023-2024学年四川省泸州市马街中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省泸州市马街中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x≤2}，则A∩B=( )
A. {1}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4}
2.命题：“∀x>0，x2+x≥0”的否定形式是( )
A. ∀x≤0，x2+x>0B. ∀x>0，x2+x≤0
C. ∃x0>0，x02+x0<0D. ∃x0≤0，x02+x0>0
3.函数y=1 4−x2+ln(1−x)的定义域为( )
A. (1,2)B. (1,2]C. (−2,1)D. [−2,1)
4.若y=(m2−2m−2)xm2+m是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则m的值为( )
A. −1或3B. 1或−3C. −1D. 3
5.设m，n∈R，则“m>n”是(12)m−n<1的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.若sin(−110°)=a，则tan70°等于( )
A. a 1−a2B. −a 1−a2C. a 1+a2D. −a 1+a2
7.已知a=0.20.3，b=lg0.32，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.已知f(x)=lg2(4−ax)在区间(−1,3)上是增函数，则a的取值范围( )
A. (−∞,0)B. (−∞,0]C. (−4,0)D. [−4,0)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(π2,π)上单调递增的函数是( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=sinxD. y=tanx
10.若“∃x∈R，mx2+mx+1≤0”为假命题，则m的值可能为( )
A. 0B. −1C. 1D. 4
11.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线y=−x(x≤0)与⊙O的交点.则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A. (csπ8,sinπ8)B. (cs3π8,−sin3π8)
C. (cs5π8,sin5π8)D. (cs7π8,sin7π8)
12.已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x∈R，f(2−x)=f(x)，f(2+x)=−f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=xsin1x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)是周期函数
C. f(x)的值域为[−1,1]D. f(x)在区间(20212022,20232022)内无零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(164)−23+20−lg4−2lg5=______．
14.已知函数f(x)=2ln1x,x>1(1e)csπx,x≤1，则f(f(−1))= ______ ．
15.设实数x>0，y<0，且1x+1y=1，则2x+y的取值范围是______．
16.已知函数f(x)=lgx,010，若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−1(1)当m=0时，求A∩B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(α)=2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(2π−α)+cs(π2+α)(α∈(π2,π))，且f(α)=−1.求：
(1)tanα的值；
(2)sinαcsα的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)解不等式f(x2−2x)+f(3−2x2)<0．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若不等式|f(x)−m|<2，对任意x∈[π12,π2]恒成立，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任务．在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅lnMm计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0是喷流相对速度，mkg是火箭(除推进剂外)的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s.求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2a(2x+1)−12为奇函数，其中a为常数．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)+k(2x+1)=12在[−1,1]上有解，求实数k的最大值；
(3)若关于x的不等式|f((2λ+1)2x+2λ)|≤16在[−2,2]恒成立，求实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A={1,2,3,4}，B={x|x≤2}，
则A∩B={1,2}．
故选：B．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，
则命题的否定是：∃x0∈R，x02+x0<0，
故选：C．
根据全称命题的否定是特称命题进行求解．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则4−x2>01−x>0，解得−2∴原函数的定义域为(−2,1)．
故选：C．
要使得原函数有意义，列出不等式组4−x2>01−x>0，解出x的范围即可．
本题考查函数定义域的定义及求法，一元二次不等式组的解法，对数函数的定义域．
4.【答案】D
【解析】解：因为y=(m2−2m−2)xm2+m是幂函数，
则m2−2m−2=1，则m=−1或m=3，
当m=−1，y=x0=1，不符合题意，
当m=3，f(x)=x12，则f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数，符合题意，
则m=3满足题意．
故选：D．
由题意，根据幂函数的性质即可求解．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由m>n⇔m−n>0⇔(12)m−n<1．
可得设m，n∈R，则“m>n”是(12)m−n<1的充要条件．
故选：C．
由m>n⇔m−n>0⇔(12)m−n<1结合充要条件的判定得答案．
本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：sin(−110°)=a，∴a<0，
可得sin70°=sin(180°−110°)=−sin110°=−a，
tan70°= sin270°1−sin270∘=−a 1−a2．
故选：B．
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可．
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵0<0.20.3<0.20.2<0.30.2<0.30=1，
∴0∵lg0.32∴b故选：C．
利用指数函数和幂函数的单调性得到0题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数和幂函数的性质的合理运用．
8.【答案】D
【解析】解：∵外函数y=lg2t为定义域内的增函数，
∴要使f(x)=lg2(4−ax)在区间(−1,3)上是增函数，
则需a<04+a≥0，解得−4≤a<0．
∴a的取值范围是[−4,0)．
故选：D．
由外函数对数函数为增函数，可知内函数t=4−ax在(−1,3)上是增函数，且在(−1,3)上大于0恒成立，由此列关于a的不等式组求解．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：函数y=sin2x的最小正周期T=2π2=π，x∈(π2,π)时，2x∈(π,2π)，则函数在区间(π2,π)上不单调，故A不符合；
函数y=cs2x的最小正周期T=2π2=π，x∈(π2,π)时，2x∈(π,2π)，则函数在区间(π2,π)上单调递增，故B符合；
函数y=sinx的最小正周期T=2π，故C不符合；
函数y=tanx的最小正周期T=π，x∈(π2,π)时，函数单调递增，故D符合．
故选：BD．
根据三角函数的性质可逐项判断最小正周期和单调性即可．
本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：“∃x∈R，mx2+mx+1≤0”为假命题，
则∀x∈R，mx2+mx+1>0，
当m=0时，1>0，符合题意，
当m≠0时，m>0Δ=m2−4m<0，解得0故m的值可能为0，1．
故选：AC．
根据已知条件，推得∀x∈R，mx2+mx+1>0，再分m=0，m≠0两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：点Q的初始位置Q1的坐标为(− 22, 22)，且钝角∠POQ=3π4，
设经过ts后，Q与P重合，坐标均为(cst,sint)，
则3t=t+5π4+2kπ,k∈Z，解得t=5π8+kπ,k∈N，
当k为偶数时，Q的坐标为(cs5π8,sin5π8)，C正确；
当k为奇数时，Q的坐标为(cs13π8,sin13π8)，即(cs3π8,−sin3π8)，B正确；
AD均不对．
故选：BC．
先求出点Q的初始位置的坐标，设经过ts后，Q与P重合，得到方程，求出t=5π8+kπ,k∈N，从而分k为偶数和奇数两种情况，得到答案．
本题考查了直线的斜率和倾斜角的定义，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∀x∈R，−f(−x)=f(2+(−x))=f(x)，即−f(−x)=f(x)，故f(x)是奇函数，A正确；
∀x∈R，f(x+4)=f(2+(2+x))=−f(2+x)=−(−f(x))=f(x)，
即f(x+4)=f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，B正确；
当x∈(0,1]时，|f(x)|=|xsin1x|≤|x|≤1，注意到等号不能同时成立
∴|f(x)|<1，即−1再由f(x)的对称性、周期性，可知1不是f(x)的最大值，C错误；
当x∈(1π,1]时，1x∈[1,π)，则f(x)>0．
再由f(x)的图象关于直线x=1对称，知f(x)在(1π,2−1π)内恒正．
又(20212022,20232022)⊆(1π,2−1π)，
故f(x)在区间(20212022,20232022)内无零点，D正确．
故选：ABD．
对于A：根据奇函数定义整理判断；对于B：根据周期函数的定义整理判断；对于C：利用正弦函数的有界性分析判断，注意等号成立的条件；对于D：结合对称性分析判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】15
【解析】解：(164)−23+20−lg4−2lg5
=16+1−2
=15．
故答案为：15．
利用指数、对数的性质直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，因为f(x)=2ln1x,x>1(1e)csπx,x≤1
所以f(−1)=(1e)cs(−π)=(1e)−1=e，
所以f(f(−1))=f(e)=2ln1e=−2．
故答案为：−2．
根据题意，根据分段函数的解析式可先求得f(−1)，继而可求得f(f(−1))的值．
本题考查函数值的计算，注意分段函数的解析式，属于基础题．
15.【答案】(−∞,3−2 2]
【解析】解：由1x+1y=1，可得y=xx−1，∵x>0，y<0，由xx−1<0，可得0所以，2x+y=2x+xx−1=2x+(x−1)+1x−1=2x+1+1x−1=2(x−1)+1x−1+3=3−[2(1−x)+11−x]≤3−2 2(1−x)⋅11−x=3−2 2，
当且仅当2(1−x)=11−x，即当x=1− 22时，等号成立，
所以，2x+y的取值范围是(−∞,3−2 2]．
故答案为：(−∞,3−2 2]．
先由1x+1y=1得出y=xx−1，并可结合已知条件求出x的取值范围，然后将关系式代入2x+y转化为x的代数式，利用基本不等式可求出2x+y的取值范围．
本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．
16.【答案】(10,12)
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于中档题．
画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨a【解答】
解：作出函数f(x)的图象如图，
不妨设aab=1，0<−12c+6<1，
则abc=c∈(10,12)．
故答案为：(10,12)．
17.【答案】解：(1)m=0时，B={x|x<−1或x≥1}，
故A∩B={x|−1(2)x∈A是x∈B的充分不必要条件，
故A是B的真子集，
因为m−1则m−1≥3或m+1≤−1，
解得：m≥4或m≤−2，
故实数m的取值范围是[4,+∞)∪(−∞,−2]．
【解析】(1)求出B={x|x<−1或x≥1}，从而求出交集；
(2)根据题意得到A是B的真子集，从而得到不等式，求出实数m的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由f(α)=2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(2π−α)+cs(π2+α)(α∈(π2,π))，且f(α)=−1，
得2sinα+csαcsα−sinα=2tanα+11−tanα=−1，∴tanα=−2．
(2)sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=−25．
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式及诱导公式求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∴f(−0)=−f(0)，f(0)=−f(0)
∴f(0)=0；
设x<0，∴−x>0，
又当x>0时，f(x)=x2+2x．
∴f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x，
∴−f(x)=x2−2x，
∴f(x)=−x2+2x，
∴当x<0时，f(x)=−x2+2x，
∴f(x)=x2+2x,x≥0−x2+2x,x<0；
(2)由(1)可知，函数在R上单调递增，
∵f(x2−2x)+f(3−2x2)<0．
∴x2−2x+3−2x2<0，
∴x2+2x−3>0，
∴x<−3或x>1，
∴不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．
【解析】(1)由奇函数的性质得出f(−x)=−f(x)，令x=0代入可求f(0)；设x<0，从而−x>0，代入当x>0时的表达式f(x)=x2+2x可得x<0时的表达式，即可求f(x)在R上的解析式；
(2)不等式f(x2−2x)+f(3−2x2)<0，转化为x2+2x−3>0，即可得出结论．
本题主要考查函数解析式的求法、解不等式，如果函数具备奇偶性，通常考虑函数的奇偶性在关于原点对称的两个区间上的关系解决．
20.【答案】解：(1)由图象可知，A=2，周期T=43[5π12−(−π3)]=π，
∴2π|ω|=π，ω>0，则ω=2，
从而f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，
得sin(5π6+φ)=1，则5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，则φ=−π3，
∴f(x)=2sin(2x−π3)，
(2)因为x∈[π12,π2]⇒2x−π3∈[−π6,2π3]⇒sin(2x−π3)∈[−12,1]；
∴f(x)∈[−1,2]；
∵不等式|f(x)−m|<2，对任意x∈[π12,π2]恒成立；
∴f(x)−2∴0即实数m的取值范围是(0,1)
【解析】(1)由图象可知A=2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，结合范围|φ|<π2，可求φ，即可得解解析式．
(2)根据x∈[π12,π2]⇒2x−π3∈[−π6,2π3]⇒sin(2x−π3)∈[−12,1]；进一步求出f(x)∈[−1,2]；再结合恒成立问题即可求解
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)v=v0lnMm=1000×ln200≈1000×5.3=5300m/s，
(2)v1=v0lnMm=1000lnMm,v2=32v0lnM3m=1500lnM3m．
因为要使火箭的最大速度至少增加500m/s，
所以v2−v1=1500lnM3m−1000lnMm≥500，
即：3lnM3m−2lnMm≥1，
所以3lnM3m−2lnMm=ln(M3m)3−ln(Mm)2=ln(M3m)3(Mm)2=lnM27m≥1，
即M27m≥e，所以Mm≥27e，
因为2.718所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74．
【解析】(1)代入公式v=v0⋅lnMm 中直接计算即可，
(2)由题意得v1=v0lnMm=1000lnMm,v2=32v0lnM3m=1500lnM3m，则v2−v1=1500lnM3m−1000lnMm≥500，求出Mm的范围即可
本题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)依题意，f(0)=22a−12=0，解得a=2，
经检验，a=2符合题意，
∴f(x)=12x+1−12；
(2)令t=12x+1，
∵−1≤x≤1，
∴13≤t≤23，
∴关于x的方程f(x)+k(2x+1)=12在[−1,1]上有解，等价于12x+1−12+k(2x+1)=12在[−1,1]上有解，
即k=t−t2在[13,23]上有解，
又k=t−t2=−(t−12)2+14,t∈[13,23]，
∴k∈[29,14]，即实数k的最大值为14；
(3)由于y=2x在R上单调递增，则f(x)=12x+1−12在R上单调递减，
又f(−1)=16,f(1)=−16，
∴|f((2λ+1)2x+2λ)|≤16等价于−16≤f((2λ+1)2x+2λ)≤16，
∴−1≤(2λ+1)2x+2λ≤1(*)，
令μ=2x，则由x∈[−2,2]可知，μ∈[14,4]，
令h(μ)=(2λ+1)2x+2λ=(2λ+1)μ+2λ，
则结合题设及(*)可得，对任意μ∈[14,4]，−1≤h(μ)≤1，
∴−1≤14(2λ+1)+2λ≤1−1≤4(2λ+1)+2λ≤1，
∴−12≤λ≤−310，即实数λ的取值范围为[−12,−310]．
【解析】(1)由f(0)=0可建立关于a的方程，解出后验证即可得到答案；
(2)令t=12x+1，原问题可等价于k=t−t2在[13,23]上有解，结合二次函数的性质容易得到答案；
(3)易知函数f(x)在R上单调递减，则可把不等式转化为−1≤(2λ+1)2x+2λ≤1(*)，令μ=2x，可得对任意μ∈[14,4]，−1≤h(μ)≤1，由此可建立关于λ的不等式组，解出即可．
本题考查奇函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．