2022-2023学年安徽省安庆市宿松县城关中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市宿松县城关中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数y=k+1x的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
3.已知x3=y4，则x−yx的值为( )
A. −13B. 13C. −14D. 14
4.如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. ABAD=ACAE
B. ∠B=∠D
C. ∠C=∠AED
D. ABAD=BCDE
5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为−1和5，则关于x的不等式mx+nA. x<−1B. x>5C. −15
6.如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3 2m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长度是( )
A. 3m
B. 3 3m
C. 2 3m
D. 4m
7.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是( )
A. 3m
B. 3.5m
C. 4m
D. 4.5m
8.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>BP)，如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为( )
A. (5+ 5)cm
B. (10− 5)cm
C. (5 5−5)cm
D. (15−5 5)cm
9.若梯形ABCD的两条对角线垂直且与两底所围成的两个三角形的面积为p2和q2(如图)，则梯形的面积为( )
A. 2(p2+q2)B. (p+q)2C. p2+q2+pqD. p2+q2+p2q2p2+q2
10.如图1，正△ABC中，点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD=60°，PD交边AB于点D.设BP=x，BD=y，图2为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是( )
①正△ABC中边长为4；
②图象的函数表达式是y=−12x(x−4)，其中0③m=1．
A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是______．
12.如图，直线l1//l2//l3.若AB=6，BC=10，EF=9，则DF的长为 ______ ．
13.如图，△ABC是等边三角形，边AB在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，若AB=4，A(0,3)，则k的值为 ______．
14.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=9，AC=12，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时．
(1)当BD=2时，则CE=______；
(2)设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°．
16.(本小题8分)
二次函数的图象顶点坐标为(−2,−2)，且过(1,0)．
(1)求该二次函数解析式；
(2)当−5≤x<4时，求函数值y的取值范围．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值为______．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DF/​/AC，DE/​/BC．
(1)求证：BFFC=CEEA；
(2)若AE=4，EC=2，BC=10，求BF和CF长．
19.(本小题10分)
如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B.已知AB/​/MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=800米．
(1)求点M到AB的距离；(结果保留根号)
(2)在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长.(结果精确到1米)
(参考数据： 3≈1.732，sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43.)
20.(本小题10分)
某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1(盒)与售价x(元)之间的关系为：y1=400−8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒．售价每提高1元，少销售5盒．
(1)求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
(2)当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
21.(本小题12分)
在矩形ABCD中，点E在边AD上，AE=AB，BD⊥CE，垂足为F．

(1)如图1，AD=1，求AB的长；
(2)如图2，连接AF，BE，求证：△AFD∽△BED；
(3)如图3，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数．
22.(本小题12分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c和直线y=−34x+3都经过点A(0,m)和B(n,0)．
(1)试确定抛物线的函数解析式．
(2)若P是落在第一象限的抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，则点P在什么位置时，PQ的值最大？求出最大值，并求出点P的坐标．
23.(本小题14分)
在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合，N不与A、C重合)，且MN/​/BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
(2)当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)当y=14S△ABC时，求x的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=k+1x的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，
∴k+1<0，
解得：k<−1．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵x3=y4，
∴yx=43，
∴x−yx=1−yx=1−43=−13．
故选：A．
根据已知条件得出yx=43，再把x−yx化成1−yx，然后进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
若ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C=∠AED，∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵ABAD=BCDE，∠BAC=∠DAE，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：观察函数图象可知：当−1∴不等式mx+n5．
故选：C．
观察函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵sin∠CAB=BCAC=3 26= 22，
∴∠CAB=45°．
∵∠C′AC=15°，
∴∠C′AB′=60°．
∴sin60°=B′C′6= 32，
解得：B′C′=3 3．
故选：B．
因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B′C′长度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
7.【答案】C
【解析】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=0.2x2+3.5中得：
x=±1.5(舍去负值)，
即OB=1.5，
所以l=AB=2.5+1.5=4．
故选：C．
如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
8.【答案】D
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，
∴AP= 5−12AB= 5−12×10=(5 5−5)cm，
∴BP=AB−AP=10−(5 5−5)=(15−5 5)cm，
故选：D．
先利用黄金分割的定义计算出AP的长，再由AB−AP即可．
此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
9.【答案】B
【解析】解：令梯形ABCD为等腰梯形，
∵△COD的面积为q2，△AOB的面积为p2，
∴根据勾股定理可得：CD=2q，AB=2p，EO=q，FO=p，
∴梯形ABCD的面积为12×(2p+2q)×(p+q)=(p+q)2，
另法：由题意可知这两个三角形是相似三角形，
面积比是q2：p2，则上下底之比与两个三角形的高之比是q：p，
设上下底分别为mq，mp，两个三角形对应的高分别为nq，np，
有mp⋅np2=p2，得mn=2
梯形面积=(mp+mq)(np+nq)2=mn(p+q)22=(p+q)2，
故选：B．
过O做EF⊥AB，则EF为梯形ABCD的高，根据△COD和△AOB的面积可以求得AB、CD的值，根据AB、CD、EF的值即可计算梯形ABCD的面积，即可解题．
本题考查了梯形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求EF的值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=60，
∴∠CAP+∠APC=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠BPD+∠APC=120°，
∴∠CAP=∠BPD，
∴△CAP∽△BPD，
∴CA：BP=CP：BD，
设正△ABC的边长为a，
∴CA=CB=a，CP=CB−BP=a−x，
∵BP=x，BD=y，
∴a：x=(a−x)：y，
∴y=−x2+axa，
∴y关于x的函数解析式为：y=−x2+axa=−1ax2+x，
∵抛物线的对称轴为：x=−12×(−1a)=2，
解得：a=4，
∴正△ABC的边长为4，故结论①正确；
∴y关于x的函数解析式为：y=−14x2+x=−14x(x−4)，故结论②错误；
把x=2代入得：m=1，故结论③正确；
故选：D．
设正△ABC的边长为a，先证明△CAP∽△BPD，可得CA：BP=CP：BD，把x，y，a代入即可得到函数关系式，由抛物线对称轴可求得a=4，可判断结论①；把a=4代入即求得函数解析式可判断结论②；由函数解析式求出二次函数最大值，可判断结论③．
本题考查了动点问题的函数图象，灵活应用等边三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键．
11.【答案】y=(x−2)2+3
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式可考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先确定y=x2的顶点坐标为(0,0)，再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】
解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，点(0,0)向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为(2,3)，
所以平移后抛物线的表达式为y=(x−2)2+3．
故答案为：y=(x−2)2+3．
12.【答案】5.4
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF，
即：610=DE9
∴DE=5.4，
故答案为：5.4．
由l1//l2//l3，得到ABBC=DEEF，代入数据即可得到结果．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
13.【答案】2 3
【解析】解：作CD⊥y轴于D，
∵△ABC是等边三角形，边AB在y轴上，AB=4，
∴AC=AB=4，AD=BD=2，∠ACD=30°
CD= 32AC= 32×4=2 3，
∵A(0,3)，
∴OA=3，
∴OD=1，
∴C(2 3,1)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，
∴k=2 3×1=2 3．
故答案为：2 3．
作CD⊥y轴于D，根据等边三角形的性质得出AC=AB=4，AD=BD=2，∠ACD=30°，解直角三角形求得CD，即可得到点C的坐标，代入y=kx(x>0)即可求得k的值．
本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点C的坐标是解题的关键．
14.【答案】(1)83 ；(2) 6
【解析】解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC=912=34，
∵BD=2．
∴CE=83，
故答案为：83；
(2)∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠DCE=90°，
∵DP=PE，
∴CP=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB=9，AC=12，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 92+122=15，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD=9×1215=365，
∵△ABC∽△ADE，
∴DEAD=BCAB=53，
∴DE=53AD=12，
∴CP的最小值为12×12=6，
故答案为：6．
(1)证明△BAD∽△CAE，推出BDCE=ABAC=912，可得结论；
(2)证明∠DCE=90°，推出CP=12DE，求出DE的最小值，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°
=2× 32− 3+ 22× 22
= 3− 3+12
=12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)由抛物线顶点式表达式得：y=a(x+2)2−2，
x=1时，y=a(1+2)2−2=0，解得：a=29，
故抛物线的表达式为：y=29(x+2)2−2；
(2)当x=−2时，y=−2，
当x=4时，y=6，
∴当−5≤x<4时，函数值y的取值范围是−2≤y<6，
故答案为：−2≤y<6．
【解析】(1)由抛物线顶点式表达式得：y=a(x+2)2−2，将点(1,0)代入上式即可求解；
(2)根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
17.【答案】13
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所求；
(2)如图，△A2B2C2为所求，
如图，在格点△C2A2D中，tan∠A2C2D=A2DC2D=13，
即∠A2C2B2的正切值为13；
故答案为13．
(1)利用点平移的坐标变换规律写出A1，B1，C1点的坐标，然后描点即可；
(2)把点A、B、C的横纵坐标分别乘以12得到点A2，B2，C2的坐标，然后描点即可，然后利用正切的定义确定∠A2C2B2的正切值．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换和解直角三角形．
18.【答案】(1)证明：∵DF//AC，
∴BFFC=BDAD，
∵DE/​/BC，
∴BDAD=CEAE，
∴BFFC=CEEA；
(2)解：设BF=x，
∵BC=10，
∴CF=10−x，
由(1)得，BFFC=CEEA，
∵AE=4，EC=2，
∴x10−x=24，
∴x=103，
∴BF=103，
∴CF=10−103=203．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)直接利用(1)的结果求解即可．
此题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)过点M作MD⊥AB于点D，
∵MD⊥AB，
∴∠MDA=∠MDB=90°，
∵∠MAB=60°，∠MBA=45°，
∴在Rt△ADM中，MDAD=tanA= 3；
在Rt△BDM中，MDBD=tan∠MBD=1，
∴BD=MD= 3AD，
∵AB=800m，
∴AD+BD=800m，
∴AD+ 3AD=800，
∴AD=(400 3−400)m，
∴BD=MD=(1200−400 3)m，
∴点M到AB的距离=(1200−400 3)m．
(2)过点N作NE⊥AB于点E，
∵MD⊥AB，NE⊥AB，
∴MD//NE，
∵AB//MN，
∴四边形MDEN为平行四边形，
∴NE=MD=(1200−400 3)m，MN=DE，
∵∠NBA=53°，
∴在Rt△NEB中，BENE=ct53°≈0.75，
∴BE≈(900−300 3)m，
∴MN=AB−AD−BE≈300−100 3≈127m．
【解析】(1)过点M作MD⊥AB于点D，易求AD的长，再由BD=MD可得BD的长，即M到AB的距离；
(2)过点N作NE⊥AB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MN=AB−AD−BE计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元，y元，由题意得：
4x+6y=2605x+4y=220，
解得：x=20y=30．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元，30元；
(2)设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w=(x−30)[100−5(x−40)]
=−5x2+450x−9000
=−5(x−45)2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1=400−8x=400−8×45=40(盒)；
∴甲口罩的销售利润为：(45−20)×40=1000(元)，
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000=2125(元)．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
【解析】(1)设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得方程组，求解即可．
(2)设乙口罩的销售利润为w元，由题意得关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得乙口罩的售价及此时乙口罩的最大销售总利润，然后此时甲的销售利润进而求得两种口罩的销售利润总和．
本题考查了二元一次方程组、一次函数、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用，根据乙销售利润=每件商品的利润×(100−5×上涨的钱数)得到的函数解析式计算乙口罩的最大销售利润是本题的关键．
21.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDE=∠DAB=90°，
∴∠ADB+∠BDC=90°，
∵BD⊥CE，
∴∠DFC=90°，
∴∠DCE+∠BDC=90°，
∴∠DCE=∠ADB，
∴△CDE∽△DAB，
∴CDDA=DEAB，
设AB的长为x，则AE=AB=CD=x，
∴DE=AD−AE=1−x，
∴x1=1−xx，
解得x1= 5−12，x2=− 5−12(舍去)，
∴AB的长为 5−12．
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，BD⊥CE，
∴∠DFE=∠DAB=90°，
∵∠FDE=∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴DFDA=DEDB，即DFDE=DADB，
∵∠FDA=∠EDB，
∴△AFD∽△BED．
(3)解：∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA=∠DEB，
∴∠BEA=∠BFA，
∵AE=AB，∠DAB=90°，
∴∠BEA=45°，
∴∠BFA=45°，
∴∠DFG=∠BFA=45°．
【解析】(1)根据四边形ABCD是矩形，BD⊥CE，得到∠DCE=∠ADB，∠DAB=∠CDE=90°，从而得到△CDE∽△DAB，即CDDA=DEAB，设AB的长为x，则AE=AB=CD=x，DE=AD−AE=1−x，从而得到x1=1−xx，解方程即可得到AB的长；
(2)根据四边形ABCD是矩形，BD⊥CE，得到∠DFE=∠DAB=90°，又由∠FDE=∠ADB得到△FDE∽△ADB，从而得到DFDE=DADB，又因为∠FDA=∠EDB，即可得到△AFD∽△BED；
(3)由(2)中△AFD∽△BED得，∠DFA=∠DEB，从而得出∠BEA=∠BFA，再由AE=AB，∠DAB=90°，得出∠BEA=45°，从而即可得到答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，会对角与角之间进行相互转换．
22.【答案】解：(1)直线y=−34x+3经过A(0,m)，B(n,0)两点，
∴m=3,0=−34n+3，解得n=4，
∴A(0,3)，B(4,0)，
∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)，B(4,0)两点，
∴c=3−16+4b+c=0，解得b=134c=3，
∴抛物线的解析式式y=−x2+134x+3；
(2)过点P作y轴的平行线交直线AB于C，如图：

∵点P是落在第一象限的抛物线y=−x2+134x+3上的一个动点，
∴设P(t,−t2+134t+3)，
∵PC//y轴，点C在y=−34x+3上，
∴C(t,−34t+3)，
∴PC=−t2+134t+3−(−34t+3)=−t2+4t，
∵A(0,3)，B(4,0)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
∵PC//y轴，
∴∠PCQ=∠BAO，
又∠PQC=∠BOA=90°，
∴△PQC∽△BOA，
∴PCBA=PQBO，
即−t2+4t5=PQ4，
∴PQ=45(−t2+4t)=−45(t−2)2+165，
∵−45<0，
∴当t=2时，PQ的值最大，最大值为165；
∵当t=2时，−t2+134t+3=−22+134×2+3=112，
∴此时点P的坐标为(2,112)．
【解析】(1)把A(0,m)，B(n,0)代入直线y=−34x+3，求出A(0,3)，B(4,0)，再代入抛物线解析式，可得答案；
(2)过点P作y轴的平行线交直线AB于C，设P(t,−t2+134t+3)，得出C(t,−34t+3)，证△PQC∽△BOA，得出−t2+4t5=PQ4，即PQ=−45(t−2)2+165，即可得当t=2时，PQ的值最大，最大值为165，即可求出此时点P的坐标．
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，同时考查了利用二次函数的性质解决最值问题，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题．
23.【答案】解：(1)当MN=3时，点P恰好落在BC上；理由如下：
连接AP，交MN于O，如图1，

∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，
∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，
∵MN/​/BC，
∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，
∴MNBC=AOAP=12，
∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；
(2)过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，

∵MN/​/BC，
∴AO⊥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴MNBC=AOAD，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°,BD=12BC=3，
∴AD=4，
∴x6=AO4，
∴AO=23x，
∴S△AMN=12MN⋅AO=12x⋅23x=13x2，
当AO≤12AD时，
根据题意得：S△PMN=S△AMN，
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN，
∴y=13x2，
∴当AO=12AD时，即MN=12BC=3时，y最大，最大值为3；
当AO>12AD时，
连接AP交MN于O，则AO⊥MN，
∵MN/​/BC，
∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，
∴AOAD=MNBC，EFMN=PDPO，即：AO4=x6，EFx=PDAO，
∴AO=23x，
∴EFx=2AO−ADAO，
∴EF=2x−6,OD=AD−AO=4−23x，
∴y=S四边形MNFE=12(EF+MN)⋅OD=12×(2x−6+x)×(4−23x)=−(x−4)2+4，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．
(3)由(2)知，当AO≤12AD时，
∴y=13x2；
当D时，y=−(x−4)2+4，
又∵S△ABC=12×6×4=12，
∵y等于S△ABC的四分之一，
∴13x2=12×14或−(x−4)2+4=12×14，
解得：x=3或x=5，
所以，存在x，使y等于S△ABC的四分之一，x=3或x=5．
【解析】(1)首先连接AP，交MN于O，由MN/​/BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，MNBC=AOAP=12，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；
(2)此题需要分为当AO≤12AD时与当D时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案；
(3)由(2)所得函数关系列方程求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．