2024岳阳高一上学期1月期末联考数学试题含解析

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本试卷共4页，共22道小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名和座位号填写在答题卡指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定义求解即得.
【详解】集合，，所以.
故选：C
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“，”的否定为：“，”.
故选：D.
3. 已知幂函数的图象在上单调递减，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数的性质求出参数，确定解析式后求值即可.
【详解】是幂函数，，解得或，
易知在上单调递减，故，则，，
故选：A
4. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出、、的范围，比较大小即可得.
【详解】，，，即，
则有.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. 11B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式和切弦互化可得，将代入计算即可求解.
【详解】由题意知，
.
故选：B
6 求值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切和差角公式即可求解.
【详解】
,
故选：A.
7. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由解得方程解，利用二次函数、对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，令，解得，
所以，
对于函数，对称轴为，
所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
则，得，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
8. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为，则下列说法错误的为（ ）
A. B.
C. D. 在区间内单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的运动轨迹，分别求出当时对应的函数值，进而，结合图形判断单调性，依次判断选项即可.
【详解】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图，
由正方形的滚动轨迹知，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
所以，即函数是以4为周期的周期函数.
所以，，
，与单调性一致，则函数在内单调递增，
故ABD正确，C错误.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由于，所以，A错误，
对于B，，B正确，
对于C，，所以，C正确，
对于D，，故D正确，
故选：BCD
10. 已知实数，满足且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 最小值为9
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得，解得，即可判断A；由A知，则，由不等式的性质即可判断C；根据基本不等式的应用计算即可判断BD.
详解】A：由，得，又，所以，解得，故A正确；
B：，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故B错误；
C：由选项A知，则，所以，又，所以，故C正确；
D：，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位可得的图象，则函数的图象关于点对称
D. 当时，令的根分别为，，，…，，则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，结合图形求出函数的解析式，根据正弦函数的最小正周期、单调性和对称性即可判断ABC；如图，作出函数图象与直线，由图可知和关于直线对称，求和即可判断D.
【详解】A：由图可知，，得，故A正确；
B：由选项A知，，所以，将点代入函数解析式，
得，由，解得，所以.
令，，解得，，
令，得，即函数的单调减区间为，故B错误；
C：将函数图象向右平移个长度单位，得，
则，故函数图象关于点对称，故C正确；
D：当时，如图，作出函数图象与直线，
由图可知函数图象与直线有4个交点，
令，解得，即函数的对称轴为，
由图知，关于直线对称，关于直线对称，
则，
所以，故D正确.
故选：ACD
12. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知，则关于函数的叙述中正确的有（ ）
A. 是奇函数B. 是奇函数
C. 在区间上单调递减D. 的值域是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义及判定，以及基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，由，可得，显然，
所以函数不是奇函数，所以B错误；
对于C、D中，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，此时；
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，此时；
当时，，此时，
综上可得，函数的值域为，且函数不是单调递减函数，
所以C不正确，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若“”是“”的必要不充分条件，，则取值可以是______.（填一个值即可）
【答案】（答案不唯一，且均可）
【解析】
【分析】根据题意，结合“且”是“”的真子集，即可求解.
【详解】由题意，“”是“”的必要不充分条件，，
即“且”是“”的真子集，
所以取值可以是.
故答案为：（答案不唯一，且均可）
14. 定义在上的奇函数满足：当，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由于是上的奇函数，所以，所以，
故，因此，
故答案为：
15. 若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】因为，则.
故答案为：.
16. 已知，函数，若函数的图象与轴恰有2个交点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出函数和的图象，结合题意，结合图象，即可求解.
【详解】由函数，
在同一坐标系下，画出函数和的图象，如图所示，
要使得函数的图象与轴恰有2个交点，则满足或.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.
【答案】17. ，
18. 当时，函数的最大值为2；当时，函数的最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据公式计算即可求解函数的最小正周期；利用整体代换法计算即可求解函数的单调区间；
（2）由题意可知，即可求解函数的最值.
【小问1详解】
由题意，可知：最小正周期，
由正弦函数的性质，可知：
函数的单调增区间为，，
化简，得，，
函数的单调增区间为.
【小问2详解】
当时，，
当即时，取最大值为1，故的最大值为2，
当即时，取最小值为，故的最小值为.
18. （1）设集合，.，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（2）已知，求
①的值；
②的值.
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由函数的解析式有意义，求得，结合题意，得到是的真子集，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】（1）由函数有意义，可得，解得，
所以集合，，
因为，，是的充分不必要条件，所以是的真子集，
则满足，解得，
经验证：当和时，符合题意，故实数的取值范围为.
（2）因为，所以，所以；
又因为，由，所以.
19. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值.
（2）设关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，转化为和2是的两个实数根，结合韦达定理，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，当时，原不等式恒成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为关于的不等式的解集为，
所以和2是的两个实数根，可得，解得，.
【小问2详解】
解：关于不等式在上恒成立，
当时，原不等式为恒成立；
当时，转化为恒成立，
因为，当且仅当时，即时，取等号，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
20. 随着春节假期临近，某市政府积极制定“政企联动”政策，计划为该市制药公司在春节假期提供（万元）的加班专项补贴.该市制药公司在收到市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时制药公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.）
（1）求该市制药公司春节假期间，加班生产所获收益（万元）关于专项补贴（万元）的表达式；
（2）市政府的专项补贴为多少万元时，该市制药公司春节假期间加班生产所获收益（万元）最大？
【答案】20.
21. 3万元
【解析】
【分析】（1）由题意，列出y关于x的关系式即可；
（2）由（1），结合基本不等式的应用，即可求解.
【小问1详解】
由题意可得.
因为，
所以.
【小问2详解】
因为.
又因为，所以，，
所以（当且仅当，即时取“=”），
所以，即当万元时，取最大值22万元.
答：市政府的专项补贴为3万元时，该市制药公司春节假期间加班生产所获收益最大.
21. 如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，为了方便市民出行，要求公园到的距离为.设.
（1）试求的长度关于的函数关系式；
（2）问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离.
【答案】（1）
（2）当时，AB最短，最短距离为
【解析】
【分析】（1）设，作于点D，由三角形面积公式可得，结合即可求解；
（2）由三角恒等变换可得，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
设，作于点D，由题意知，
，解得，
又，
代入得.
【小问2详解】
由（1）知
，
当即时，分母最大，此时的值最小，
所以当时，AB的长度最短，最短距离为.
22. 已知指数函数，满足，
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（3）已知，若方程的解分别为，且方程的解分别为，，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）设出指数函数解析式，再代入求解即得.
（2）换元，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即得.
（3）根据给定条件，分别求出，再构造函数并求出函数的最大值即得.
【小问1详解】
设（且），由，可得，
又，解得，所以.
【小问2详解】
由和方程，得：，
令，则方程有两个不同的正实数解，
于是，解得，
所以实数.
【小问3详解】
由，得或，
所以，，则，
由，得，，
则，因此，
又，令，则且，
于是，显然函数在上递减，
因此函数在上递增，则当，即时，有最大值为，
所以的最大值为.
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数图象性质，利用数形结合；或者借助根的判别式和韦达定理求解.