2024年中考数学二轮备考2023中考模拟试题实战演练之图形的相似(教师版+学生版)

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参考答案
一、选择题
1．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．4：5B．9：16C．16：25D．3：5
【答案】C
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
S△DEFS△BAF=(DEAB)2=(4k5k)2=1625，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出S△DEFS△BAF=(DEAB)2。
2．（2023·桂林模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=4，BC=6，DE=3，则EF的长是（ ）
A．2B．4.5C．7.5D．6
【答案】B
【解析】【解答】
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=4，BC=6，DE=3，
∴46=3EF，
∴EF=4.5，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得ABBC=DEEF，代入数据计算即可.
3．（2023·新会模拟）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y=kx 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12B．﹣12C．16D．﹣16
【答案】D
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y=kx 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴SOEDFSOABC=(ODOB)2=49 ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y=kx 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出△CDO的面积，由平行线分线段成比例可求SOEDFSOABC=(ODOB)2=49，可求出△DEO的面积，由反比例函数的性质可求解。
4．（2023·白云模拟） 如图，8×8的正方形网格中，△ABC和△EDC的顶点都在正方形网格的格点处，则△ABC和△EDC的周长比是（ ）
A．2：1B．2：1C．4：1D．5：2
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，△ABC~△EDC
∴△ABC和△EDC的周长比为ABDE=63=2
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，即可求解．
5．（2023·遵义模拟） 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC：AB=1：2，则△ACD与△ABC的面积比是（ ）
A．1：2B．1：2C．1：3D．1：4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ACD与△ABC的面积比是ACAB2=14
故答案为：D．
【分析】证明△ACD∽△ABC，根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
6．（2023·白云模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D四点均在格点上，AB与CD相交于点E，则△ADE(图中阴影部分)的面积是（ ）
A．185B．85C．154D．52
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴AEBE=ADBC=32
∵S△ABD=12×3×4=6，
∴S△AED=35S△ABD=185
故答案为：A．
【分析】连接BD，利用网格特点得到AD∥BC，则可判断△ADE∽△BCE，计算出△ABD的面积，从而根据相似三角形的性质即可得△ADE的面积．
7．（2023·隆回模拟） 若mn=ab，则下列比例式中不正确的是（ ）
A．am=nbB．an=mbC．ma=nbD．ma=bn
【答案】C
【解析】【解答】
∵mn=ab，
∴ma=nb，
故答案为：C.
【分析】利用等式的性质及比例的性质逐项判断即可.
8．（2023·茶陵模拟）如图，将△ABC的AB边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度.已知DE//AC，EF//AB，AC=6，下列结论不正确的是（ ）
A．AF=4B．CF=2.4C．DE=3.6D．EF=4
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：AD=4，BD=6，AB=10
∵DE∥AC，EF∥AB
∴四边形ADEF为平行四边形
∴AF=DE，EF=AD=4
∵EF∥AD
∴△CEF~△CAB
∴CFCA=EFAB，
解得：CF=2.4
∴AF=AC−CF=3.6
故答案为：A
【分析】根据平行四边形的判定定理和性质，相似三角形的判定定理和性质即可求出答案。
9．（2023·嘉定模拟） 如图，已知l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、B、C和点D、E、F，如果DE：DF=3：5，AC=12，那么BC的长等于（ ）
A．2B．4C．245D．365
【答案】C
【解析】【解答】
解：∵DE：DF=3：5， EF=DF-DE，
∴EF：DF=2：5，
∵l1//l2//l3，
∴BCAC=EFDF，
∵AC=12，
∴BC12=25，
解得：BC=245，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出EF：DF=2：5，再根据平行线分线段成比例可得BCAC=EFDF，最后计算求解即可。
10．（2023·顺义模拟） 如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上，若DB=5m，DE=1.5m，则楼高MN是（ ）
A．13.5mB．16.5mC．17.5mD．22m
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
FM=CB=ED=1.5，EC=DB=5，FC=BM=15
∵AB=5.5
∴AC=AB-BC=4
∵AC∥MF
∴△AEC~△NEF
∴ACNF=ECEF
即4NF=55+15，
解得：NF=16
∴MN=MF+FN=17.5
故答案为：C
【分析】根据矩形性质，直线平行性质可得：△AEC~△NEF，再根据相似三角形性质即可求出答案。
11．（2023·永川模拟） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴AB：DE=BO：OE=2：1，
∴S△ABC：S△DEF=212=41，
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可.
12．（2023·石景山模拟） 如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，MN//BC，BM=2AM.若△AMN的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】D
【解析】【解答】
解：∵MN//BC ，
∴△AMN∽△ABC，
∵BM=2AM.
∴AM：AB=1：3，
∴S△AMNS△ABC=132，
∵△AMN的面积为1，
∴△ABC的面积=9S△AMN=9，
故答案为：D.
【分析】由平行线可证△AMN∽△ABC，从而得出S△AMNS△ABC=AMAB2，据此即可求解.
13．（2023·重庆市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝12，BC＝16，则EF的长为（ ）
A．8B．15C．16D．24
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=12，BC=16，
∴AC=AB2+BC2=122+162=20，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC=10，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠COF=90°，OA=OC∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
在△AOE和△ADC中，
∠AOE=∠ADC=90°∠EAO=∠CAD
∴△AOE∽△ADC，
∴OAAD=OEDC，
∴1016=OE12，
∴OE=12016=152，
∴EF=2OE=15.
故答案是：B.
【分析】根据勾股定理求得AC长，由垂直平分线得OA=OC，证明△AOE≌△COF得OE=OF，利用△AOE∽△ADC求得OE的长，从而问题得解.
14．（2023·重庆市模拟）如图，正方形ABCD的边长为12，点E为BC边上一点，BE=4，点F为CD边上一动点，连接BF、DE交于点G，连接AG，当AG=BG时，则FG的长为（ ）
A．92B．103C．132D．5
【答案】D
【解析】【解答】解：过点G作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N，
∵AG=BG，
∴M是AB的中点，
∴AM=12AB=6=DN，EC=BC−BE=8，
∵MN⊥DC，BC⊥CD，
∴MN//BC，
∴△DGN∽△DEC，
∴GNEC=DNDC，
∴GN8=612，
∴GN=4，
∵MN//BC，
∴△FGN∽△FBC，
∴FNFC=GNBC，
∴FNFN+6=412，
∴FN=3，
∴FG=FN2+GN2=32+42=5，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出AM=12AB=6=DN，EC=BC−BE=8，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
15．（2023·武威模拟） 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，DE//BC，若ADBD=31，那么DEBC=（ ）
A．14B．12C．34D．23
【答案】C
【解析】【解答】∵ADBD=31，
∴ADAB=ADAD+BD=3BD4BD=34，
∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB=34，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得答案.
16．（2023·喀什地模拟） 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P是BC边上一个动点，PE⊥BD于点G，交AB于点E，PF⊥AC于点H，交CD于点F.下列结论：①△BPG∽△PCH；②PH2+PG2=OP2；③OHHC=PHHF；④PE+PF=AC.其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
【答案】C
【解析】【解答】解：①在正方形ABCD中，∠PBG=∠PCH=45°，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，
∴∠PGB=∠PHC=90°，
∴△BPG∽△PCH，故①正确；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠PGB=∠PHC=∠GOH=90°，
∴四边形GOHP是矩形，
∴OH=PG，
∵PH2+OH2=OP2，
∴PH2+PG2=OP2，故②正确；
在正方形ABCD中，∠PBD=∠EBD=45°，
在△PBG和△EBG中，
∠PGB=∠EGB=90°BG=BG∠PBG=∠EBG，
∴△PBG≌△EBG(ASA)，
∴BP=BE，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PE=2BP，
同理可得PF=2PC，
∴PE+PF=2BC，
∵AC=2BC，
∴PE+PF=AC，故④正确；
同理△PCH，△FCH都是等腰直角三角形，
∵矩形PGOH不一定是正方形，
∴△POH不一定等腰直角三角形，
∴△POH与△CFH相似不一定成立，
∴OHHC=PHHF不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选：C．
【分析】根据两角分别相等可证△BPG∽△PCH，故①正确；先证四边形GOHP是矩形，可得OH=PG，由勾股定理可得PH2+OH2=OP2，即得PH2+PG2=OP2，故②正确；证明△PBG≌△EBG(ASA)，可得BP=BE，即得△BPE是等腰直角三角形，可得PE=2BP，同理可得PF=2PC，从而得出PE+PF=2BC，由正方形的性质可得AC=2BC，从而得出PE+PF=AC，故④正确；同理△PCH，△FCH都是等腰直角三角形，而△POH不一定等腰直角三角形，可得△POH与△CFH相似不一定成立，可得OHHC=PHHF不一定成立，故③错误.
二、填空题
17．（2023·乌当模拟） 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ABC=12，则S△ADE= ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意可得：
△ADE~△ABC
∴S△ADES△ABC=DEBC2=122=14
∵S△ABC=12
∴S△ADE=3
故答案为：3
【分析】根据三角形中位线定理及相似三角形的判定定理可得△ADE~△ABC，再根据相似三角形相似比性质即可求出答案。
18．（2023·红花岗模拟） 已知△ABC内接于⊙O，它的内心为点D，连接AD交弦BC于点E，交⊙O于点F，已知BE=5，CE=4，EF=3，则线段DE的长为 ．
【答案】29−3
【解析】【解答】连接BD，BF，如图，
∵∠C=∠F，∠BEF=∠AEC，
∴△BEF∽△AEC，
∴EFEC=BEAE，
∴34=5AE，
∴AE=203．
∵点D为△ABC的内心，
∴AF，BD分别为∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD．
∵∠FBC=∠FAC，
∴∠FBC=∠BAF，
∵∠F=∠F，
∴△FBE∽△FAB，
∴BFAF=EFBF，
∴BF2=EF⋅AF=3×(3+203)=29，
∴BF=29．
∵∠BDF=∠BAF+∠ABD，∠DBF=∠CBD+∠FBC，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=29，
∴DE=DF−EF=29−3．
故答案为：29−3．
【分析】连接BD，BF，根据圆周角定理可得∠C=∠F，∠BEF=∠AEC，根据相似三角形判定定理即可得△BEF∽△AEC，则EFEC=BEAE，可求出AE长，再根据角平分线性质，可得到△FBE∽△FAB，即可得到BF长，再根据等边对等角性质即可求出答案。
19．（2023·息烽模拟）如图，D，E分别是边长为2的等边三角形ABC的两边AB，AC上的动点，且AD=CE，BE与CD交于点F，则点A到点F的最小值为 ．
【答案】2217
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAD=∠BCA=60°，
∵AD=CE，
∴△CAD≌△BCE(SAS)，
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=∠ACD+∠FCB=∠ACB=60°，
∴∠BFC=180°−∠DFB=120°，
如图，连接DE.设AD=CE=x，
当AF⊥BE时，点A到点F的值最小，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵∠DFB=60°，
∴∠AFD=30°，
∵∠DFE=120°，∠DAE=60°，
∴∠DFE+∠DAE=180°，
∴A，D，F，E四点共圆，
∴∠AED=∠AFD=30°，∠AFE=∠ADE=90°，
∴AE=2AD=2x，
∴3x=2，
∴x=23，
∴AD=CE=23，AE=43，
∴DE=3AD=233，BD=AB−AD=43，
∴BE=BD2+DE2=(43)2+(233)2=273，
∵∠DBE=∠FBA，∠BDE=∠AFB=90°，
∴△BDE∽△BFA，
∴DEAF=BEAB，
∴233AF=2732，
∴AF=2217．
故答案为：2217．
【分析】
证明△CAD≌△BCE（SAS），∠ACD=∠CBE，再证明∠DFB=60°，连接DE．设AD=CE=x，当AF⊥BE时，点A到点F的值最小，证明A，D，F，E四点共圆，可得∠AED=∠AFD=30°，∠AFE=∠ADE=90°，证明△BDE∽△BFA，进而根据相似三角形的性质得出DEAF=BEAB，代入数据即可求解．
20．（2023·白云模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点M，N分别是AF，CD的中点，连接BN，CM，BN与CM相交于点P，则BPPN的值为 ．
【答案】32
【解析】【解答】解：连接MN，取MN的中点O，连接OB，
∴OB⊥MN，CD⊥MN，OQ∥CN，OM=ON，
∴BQ∥CN，
∵OB=BC=2，
∴BQ=2-12=32，
∴△PBQ∽△PNC，
∴PBPN=PQCN=321=32，
故答案为：32．
【分析】连接MN，取MN的中点O，连接OB，证明△PBQ∽△PNC，根据相似三角形的性质即可求解．
21．（2023·遵义模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC=BC=6cm，∠ACB=∠ADB=90°.若BE=2AD，则△ABE的面积是 cm2，∠AEB= 度.
【答案】36−182；112.5
【解析】【解答】
解：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠AED=∠BEC，
∴△ADE∼△BCE，
∴ADBC=AEBE，
∵BC=AC=6，BE=2AD，
设AD=m，BE=2m，
∴m6=AE2m，
∴AE=m23，
∴CE=6−m23，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，
∴62+(6−m22)2=(2m)2，
解得m2=36−182或m2=36+182，
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴m2=36−182，
∴AE=12−62，
∴CE=62−6，
∴S△ABE=12⋅AE⋅BC=12×(12−62)×6=36−182cm2，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°=∠AEF，
∴EF=AF=22AE=62−6=CE，
∵BE=BE，
∴Rt△BCE≅Rt△BFE(HL)，
∴∠EBF=∠EBC=12∠ABC=22.5°，
∴∠AEB=∠ACB+∠EBC=112.5°.
故答案为：36−182，112.5.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AED=∠BEC，证明△ADE∽△BCE，设AD=m，BE=2m，根据相似三角形的性质可得AE，然后表示出CE，在Rt△BCE中，由勾股定理可得m2的值，据此可得AE、CE，然后根据三角形的面积公式求出S△ABE，过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据等腰直角三角形的性质可得EF=AF=22AE，证明△BCE≌△BFE，得到∠EBF=∠EBC=22.5°，然后根据∠AEB=∠ACB+∠EBC进行计算.
22．（2023·碧江模拟） 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若BF=EF=2，CF=1，则AC的长是 ．
【答案】352
【解析】【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵FB=FE=2，FC=1，则CE=3
∴BC=CF2+BF2=5
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠CFB=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴ACBC=CEBF
即AC5=32，解得：AC=352
故答案为：352．
【分析】
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，证明△ACE∽△CBF，即可求解．
23．（2023·白云模拟） 如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形AFEB沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为点H，连接BH.若AB=2，BC=4，则BH+2EF的最小值是 ．
【答案】217
【解析】【解答】解：如图，连接AG，BG，过F作FM⊥BC，交BC于M，延长BC至N，使BC=CN，连接AN，如图：
∴∠EMF=90°，AB=FM=2，BN=2BC=8，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCG=∠ABE=90°，
∴BG=NG，∠EMF=∠GCB，
由折叠得：BE=GE，AB=HG，EF⊥BG，∠ABE=∠EGH=90°，
∴∠EBG=∠EGB，∠CBG+∠FEM=90°，
∴∠ABE−∠EBG=∠EGH−∠EGB，即：∠AGB=∠HGB，
在△ABG和△BGH中，
BG=GB∠AGB=∠HGBAB=HG，
∴△ABG≌△BGH(SAS)，
∴AG=BH；
由折叠得：EF⊥BG，
∴∠CBG+∠FEM=90°，
∴∠EFM=∠GBC，
∴△EFM∽△GBC，
∴EFFFFB−FBM，
∴EFGF=24=12，
∴GB=2EF，
∴BH+2EF=AG+NG；
∵当A、G、N三点共线时，AG+NG最小，
∴当AG+NG=AN时最小，
∴AN=AB2+BN2=22+82217；
故答案为：217．
【分析】如图，连接AG，BG，过F作FM⊥BC，交BC于M，延长BC至N，使BC=CN，连接AN，证明△ABG≌△BGH，从而AG=BH，再证△EFM∽△GBC，由当A、G、N三点共线时，AG+NG最小，勾股定理即可求解．
24．（2023·隆回模拟） 如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD=2，BD=4，DE=3，则BC= ．
【答案】9
【解析】【解答】∵DE//BC，
∴ADAB=DEBC，
∵AD=2，BD=4，DE=3，
∴26=3BC，
∴BC=9，
故答案为：9.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得ADAB=DEBC，再将数据代入求出BC的长即可.
25．（2023·茶陵模拟） 如题3，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=2，BC=CD=5，点P在BC上运动，则PA+PD取最小值时，BP= ，此时△APD边AP上的高是 ．
【答案】1；81717
【解析】【解答】解：过点D作DF//BC，作A关于BC的对称点E，连接DE交BC于P，连接AP，此时AP+PD的值最小，如图：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，AD//BC，
∴∠ABF=∠DFB=∠BAD=90°，
∴四边形ADFB为矩形，
∴BF=AD=2，AB=DF，
∵BC=CD=5，
∴CF=BC−BF=5−2=3．
∴AB=CD2−CF2=52−32=4，
∵A关于BC的对称点为E，
∴AB=BE=4．
∴AE=AB+BE=4+4=8，
∵AD//BC，
∴△EPB∽△EDA，
∴BEAE=BPAD，即48=BP2，
∴BP=1，
∴在Rt△ABP中，AP=AB2+BP2=42+12=17，
设△APD的边AP上的高是ℎ
由三角形的面积公式可得：12AD⋅DF=12AP⋅ℎ，
即12×2×4=12×17⋅ℎ，
∴ℎ=81717，
故答案为：1，81717，
【分析】过点D作DF//BC，作A关于BC的对称点E，连接DE交BC于P，连接AP，此时AP+PD的值最小，根据矩形得判定定理可得四边形ADFB为矩形，根据矩形性质及勾股定理求出AB长，根据对称点的坐标特征，直线平行性质可得△EPB∽△EDA，根据相似三角形性质，勾股定理可得AP长，设△APD的边AP上的高是ℎ，根据三角形面积公式即可求出答案。
26．（2023·岳阳模拟） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点F，过点E作⊙O的切线l．
①若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，则扇形OBC的面积为 ．
②若DE=4，DF=3，则AF= ．
【答案】3π；214
【解析】【解答】
(1)∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°
∴扇形OBC的面积为：π×32360×120=3π
故答案为：3π
(2)∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠ABF．
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE，又∵∠CBE=∠CAE，∴∠CBE =∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
∴∠EBF=∠EFB，∴BE=EF．
∵EF=DE+DF=7．∴BE=7，
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB，
∴DEBE=BEAE，∴47=7AE，解得，AE=494，
∴AF=AE-EF=494-7=214。
【分析】
(1)已知扇形的半径，要求扇形的面积还需要求出圆心角 的度数，根据圆心角等于同弧所对的圆周角度数的2倍可求得∠BOC，再根据扇形面积公式求出面积即可。
(2)先证明∠EBF=∠EFB，得BE=EF，再证明△BED∽△AEB，根据线段间的比例关系求出AE，再计算出AF即可。
27．（2023·娄底模拟） 如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG，以下结论正确的是： ．
①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG+2DG=EG．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
由旋转得：
△ADC≌△FDE，
∴AD=DF，DC=DE，∠DCA=∠E，∠ADC=∠FDE=90°，
∴∠DAC+∠E=90°，
∴∠AGE=180°−(∠DAC+∠E)=90°，
∴AC⊥BE，
故①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠AGE=∠BGC=90°，
∴△BGC是直角三角形，△AGD是锐角三角形，
∴△BGC与△AGD不相似，
故②不正确；
∵∠ADC=∠FDE=90°，
∴∠ADC+∠FDE=180°，
∴点A、D、E三点共线，
∵AD//BC，
∴∠E=∠EBC，∠EDF=∠BCF，
∴△BCF∽△EDF，
∴FCFD=BCED，
∵AD=BC，AD=DF，
∴DF=BC，
∵DC=DE，
∴FCDF=DFDC，
∴DF2=CF⋅CD，
∴点F是线段CD的黄金分割点，
故③正确；
在EG上截取EG'=CG，连接DG'，
∵DC=DE，∠DCA=∠E，
∴△GCD≌△G'ED(SAS)，
∴∠GDC=∠G'DE，DG=DG'，
∵∠G'DE+∠CDG'=90°，
∴∠GDC+∠CDG'=90°，
∴∠GDG'=90°，
∴△GDG'是等腰直角三角形，
∴GG'=2DG，
∵EG'+GG'=EG，
∴CG+2DG=EG，
故④正确；
所以，以上结论正确的是：①③④，
故答案为：①③④．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质求出∠AGE=180°−(∠DAC+∠E)=90°，可得AC⊥BE，即可判断①正确；利用相似三角形的判定方法判断②错误；利用相似三角形的判定方法和性质可得FCDF=DFDC，再化简可得DF2=CF⋅CD，即可得到点F是线段CD的黄金分割点，从而可判断出③正确；先证出△GDG'是等腰直角三角形，可得GG'=2DG，再利用线段的和差及等量代换可得CG+2DG=EG，从而可判断出④正确，从而可判断.
28．（2023·青浦模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.点H、F分别在边AD、BC上，点E、G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为 ．
【答案】52
【解析】【解答】解：如图所示：连接HF交AC于点O，
∵四边形EFCH是菱形，
∴FH⊥AC，FO=HO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，BC//AD，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠HOA=∠FOC，OH=OF，
∴△HOA≅△FOC，
∴AO=OC，
∵AB= 2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=25，
∴OA=12AC=5，
∵∠HAO=∠CAD，∠AOH=∠D=90°，
∴△AHO~△ACD，
∴AHAC=OADA，
∴AH25=54，
解得：AH=52，
故答案为：52.
【分析】根据菱形的性质求出FH⊥AC，FO=HO，再求出△HOA≅△FOC，最后根据相似三角形的判定与性质等计算求解即可。
29．（2023·嘉定模拟）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=1，AB=3，AD是BC边上的中线(如图).将△ABC绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG的长是 ．
【答案】31026
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AD于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵∠BAC=90°，AC=1，AB=3，
∴BC=AC2+BC2=12+32=10，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD=CD=BD=102，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠CHA=90°，
∴∠DAC+∠ACH=90°=∠DCA+∠B，
∴∠B=∠ACH，
∴sinB=sin∠ACH=AHAC=ACBC，
∴AH=AC⋅ACBC=1×110=1010，
∵tanB=tan∠ACH=ACAB=AHCH=13，
∴CH=3AH=31010，
∵将△ABC绕着点C逆时针旋转，
∴CE=AC=1，∠CEF=∠BAC=90°，
∴AH=AE=1010，∠CEH+∠DEN=90°，
∴DE=AD−AH−HE=102−1010−1010=31010，
∵∠CEH+∠HCE=90°，
∴∠HCE=∠DEN，
∵∠CHE=∠DNE=90°，
∴△CEH∽△EDN，
∴CEDE=HEDN，
∴131010=1010DN，
∴DN=310，
∵∠CEG=∠DNG，∠DGN=∠CGE，
∴△CGE∽△DGN，
∴DGCG=DNCG=3101=310，
∵CG+DG=CD=102，
∴DG=31026，
故答案为：31026．
【分析】根据题意利用勾股定理求出BC的值，再根据旋转的性质求出CE=AC=1，∠CEF=∠BAC=90°，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
30．（2023·嘉定模拟） 已知ab=34，那么a−ba+b= ．
【答案】−17
【解析】【解答】解：∵ab=34，
设a=3m，b=4m，
∴a−ba+b=3m−4m3m+4m=−17，
故答案为：−17.
【分析】根据题意先设a=3m，b=4m，再代入计算求解即可。
31．（2023·滨海模拟） 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是较长边AD，BC上的点，且EF//AB，ED=AB，连接OB交EF于点M，连接AM，若CF=2BF，AD=6，则AM= ．
【答案】4155
【解析】【解答】解：过O作OG⊥CF于G，过A作AH⊥OB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD，
∵EF//AB//CD，
∴四边形ABFE和四边形EFCD是矩形，
∴AE=BF，
∵AD=6，CF=2BF，
∴BF=2，CF=4，
∵ED=AB，
∴DE=CD，
∴四边形EFCD是正方形，
∴OF=OC，CE⊥DF，
∴EF=CD=CF=4，
∴AB=4，
∴OG=FG=12CF=2，
∴BG=4，
∴OB=OG2+BG2=25，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF//OG，
∴BM=OM=5，
∵∠AHB=∠BGO=∠ABC=90°，
∴∠BAH+∠ABH=∠ABH+∠GBO=90°，
∴∠BAH=∠GBO，
∴△ABH∽△BOG，
∴ABBO=AHBG=BHOG，
∴425=AH4=BH2，
∴AH=855，BH=455，
∴HM=55，
∴AM=AH2+HM2=(855)2+(455)2=4155．
故答案为：4155．
【分析】过O作OG⊥CF于G，过A作AH⊥OB于H，先证出△ABH∽△BOG，可得ABBO=AHBG=BHOG，再将数据代入求出AH，BH和HM的长，最后利用勾股定理求出AM的长即可.
三、解答题
32．（2023·永善模拟） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB⏜=CD⏜，过D点的切线与BC的延长线交于E点．
（1）证明：∠ADB=∠CDE；
（2）若AD=5，BE=15，求BD的长．
【答案】（1）证明：连接DO并延长交圆于M，连接MC，
∵过D点的切线与BC的延长线交于E点，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵DM是直径，
∴∠MCD=90°，
∴∠ODC+∠M=90°，
∴∠M=∠CDE，
∵AB⏜=CD⏜，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DBC=∠M，
∴∠ADB=∠CDE；
（2）解：∵∠ADB+∠DBA+∠A=∠EDC+∠E+∠DCE，
且∠A=∠DCE，∠ADB=∠EDC，
∴∠DBA=∠E，
又∵AB⏜=CD⏜，
∴∠ADB=∠DBC，
∴△ABD∽△DEB，
∴ADBD=BDBE，
即BD2=AD⋅BE=5×15=75，
∴BD=75=53．
【解析】【分析】（1）连接DO并延长交圆于M，连接MC，利用角的运算和等量代换可得∠M=∠CDE，利用等弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠DBC，再结合∠DBC=∠M，可得∠ADB=∠CDE；
（2）先证出 △ABD∽△DEB， 可得ADBD=BDBE，再将数据代入求出BD2=AD⋅BE=5×15=75，即可得到BD=75=53.
33．（2023·西安模拟）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼AB的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处1.2m的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即∠DCE=∠ACB）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度DE=1.5m，BC=28.8m，求钟楼AB的高度．
【答案】解：由题意得，∠ABC=∠DEC=90°，
又∵∠DCE=∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴DECE=ABBC，即，
∴AB=36m，
∴钟楼AB的高度为36m．
【解析】【分析】由题意得∠ABC=∠DEC=90°，由已知条件可知∠DCE=∠ACB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
34．（2023·西安模拟）铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度AB．如图，小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上，DG=3米，CD=33米；甲站在G处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在F处时，甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上，EF=1米，AC⊥CG，FD⊥CG，HG⊥CG，点B在AC上，点E在DF上，点C、D、G在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度AB．
【答案】解：过点H作HM⊥AC于点M，交ED于点N，如图所示：
易得NH=DG=3米，MN=CD=33米，
∴MH=MN+HN=36米．
∵AC⊥CG，FD⊥CG，
∴AC∥FD，
∴∠BAH=∠EFH，∠ABH=∠FEH，
∴△ABH∽△FEH，
∴ABFE=EHNH，
同理得：△BHM∽△ENH，
∴BHEH=MHHN，
∴ABFE=MHHN，
即AB1=363，
∴AB=12，
∴人物铜像的高度AB为12米．
【解析】【分析】过点H作HM⊥AC于点M，交ED于点N，则NH=DG=3米，MN=CD=33米，MH=MN+HN=36米，由垂直于同一直线的两直线互相平行可得AC∥FD，根据平行线的性质可得∠BAH=∠EFH，∠ABH=∠FEH，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABH∽△FEH，△BHM∽
△ENH，由相似三角形的性质可求出AB的值，据此解答.
35．（2023·澄城模拟）位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树AB的影子BC的末端C处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子CE的末端E处做上标记，随后两人用尺子测得BC=10米，CE=2米．已知乐乐的身高CD=1.6米，B、C、E在一条直线上，DC⊥BE，AB⊥BE．请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度AB．
【答案】解：根据题意可得，AC∥DE，
∴∠DEC=∠ACB．
∵DC⊥BE，AB⊥BE，
∴∠DCE=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴ABCD＝BCCE．
∵BC=10米，CE=2米，CD=1.6米．
∴AB1.6＝102，
∴AB=8米，
答：这棵树的高度AB为8米．
【解析】【分析】根据题意可得AC∥DE，则∠DEC=∠ACB，根据垂直的概念可得∠DCE=∠ABC=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DCE，然后利用相似三角形的性质进行计算.
36．（2023·岳阳模拟）如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证：△CFE∽△ABC.
【答案】证明：∵点D为△ABC的边AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴ADBD=AECE，∠ADE=∠B，
∴AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
∴∠B=∠F
∴△CFE∽△ABC.
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD=BD，由平行线分线段成比例的性质可得ADBD=AECE，则AE=CE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，利用SAS证明△ADE≌△CFE，得到∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，推出∠B=∠F，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
四、综合题
37．（2023·滁州模拟） 如图1，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点(不与点B，D重合)，EG⊥BD交边AB于点E，连接DE，过点C作CF//DE交AB的延长线于点F，连接FG．
（1）求证：△BDE∽△EFG；
（2）求∠CFG的度数；
（3）若正方形ABCD的边长为4，点G是DB延长线上一点，EG交AB的延长线于点E，且DE恰好经过BC的中点，如图2，其他条件不变，求FGDG的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EG⊥BD，
∴∠DBE=45°，CD//EF，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EGBE=22，∠CEF=∠EBD=45°，
∵CD//EF，CF//DE，
∴四边形DEFC为平行四边形，
∴EF=DC，
由正方形性质可知，△BCD是等腰直角三角形，
∴EFBD=DCBD=22，
∴EGBE=EFBD，
又∵∠CEF=∠EBD=45°，
∴△BDE∽△EFG；
（2）解：由(1)的△BDE∽△EFG，∠BDC=45°，
∴∠EFG=∠BDE，
∵四边形DEFC为平行四边形，
∴∠EFC=∠EDC，即：∠EFG+∠CFG=∠BDE+∠BDC，
∴∠CFG=∠BDC=45°，
（3）解：∵GEBE=22，EF=CD，CDBD=22，
∴EFBD=22，∠FEG=∠DBE=135°，
∴△GEF∽△EBD，
∴GEEB=GFED，
∵H为BC中点，
∴CH=BH，
∵CD//EF，
∴∠CDH=∠BEH，∠DCH=∠EBH，
∴△DCH≌△EBH(ASA)，
∴BE=CD=4，则AE=8，BD=42，
∴GE=BG=22，DE=AD2+AE2=42+82=45，
∵GEEB=GFED，
∴224=GF45，
∴GF=210，
∵DG=DB+BG=42+22=62，
∴FGDG=21062=53．
【解析】【分析】（1）本题根据正方形的性质可知，∠CDB=∠DBA=45°，由EG⊥BD可知，△BGE和△BCD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的比可知，EGBE=DCBD=22，由四边形EDCF是平行四边形可知，DC=EF，即EGBE=EFBD，由∠EBD=∠GEF=45°，即可证明结论.
（2）由（1）知△BDE∽△EFG，可知∠GFE=∠BDE，由四边形DECF是平行四边形可知，∠CFE=∠CDE，即∠CDE-∠BED=∠CFE-∠GFE，即∠CFG=∠CDB=45°.
(3)由（1）知，∠GEB=∠DBA=45°，即∠FEG=∠EBD=135°，由EGBE=EFBD，可证△GEF∽△EBD，可得GEBE=GFED，再由CD∥EF可得，∠CDH=∠BEH，∠DCH=∠EBH，可知△DCH≌△EBH，可得BE=CD=4，则AE=8，GE=22，由勾股定理可知DE=45，再由EGBE=EFBD，可求得GF=210，即可求得DG=62，即可求得结果.
38．（2023·松原模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，PE//AC，过点D作DE//AB，DE与PE相交于点E.设点P的运动时间为t(s)．
（1）线段AD的长 cm；(用含t的代数式表示)
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）设△DPE与△ABC重叠部分的面积为S(cm2).求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）4t
（2）解：如图，当点E落在BC上时，
∵DE//AB，PE//AD，
∴四边形APED是平行四边形，
∴DE=AP=5t，AD=PE=4t，
∴DEAB=CDAC，
∴5t10=8−4t8，
解得t=1，
∴当点E落在BC边上时，t的值为1．
（3）解：①如图中，
当003−ℎ