2023-2024学年湖南省永州市零陵区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市零陵区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。

温馨提示：
1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2.本试卷共三道大题，25个小题．如有缺页，考生须声明．
一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分）
1．sin30°的值为（ ）
A．B．C．D．
2．若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．3C．D．
3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向上B．对称轴是直线
C．顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小
5．为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示，根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．下列式子错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．，B．，
C．D．，
9．如图，反比例函数的图像上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）

A．1B．2C．4D．8
10．我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则a的值为 ．
12．为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：30，27，23，15，22，33．若该班有50名学生，请你估算本周全班同学的家里共丢弃塑料袋 个．
13．如图，已知斜坡的坡度为，若铅直高度为，则坡长为 ．
14．若两个相似多边形的周长分别为和，若较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为 ．
15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，，，则树高 ．
16．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现．在计算时，如图，，，，设，则，，，所以．类比这种方法，计算的值为 ．
三、解答题（共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．（1）解方程：；
（2）计算：．
18．初三年级数学教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项，四项中每人只选一项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的扇形统计图和频数分布直方图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

(1)在这次评价中，一共抽查了______名学生；
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)如果全市有80000名初三学生，那么在试卷讲评课中，“主动质疑”的初三学生约有多少人？
19．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
20．如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点．
(1)请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点；
(2)请你证明：P是的三等分点．
21．已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若，是方程的两个根，且，求m的值．
22．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示；
(2)为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为，在C点处测得碑顶A的仰角为，已知，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高．（，，）
23．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.
(1)任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；
(2)任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．
24．定义：若x，y满足，且（t为常数），则称点为“和谐点”．
(1)请直接判断点是否为“和谐点”；
(2)是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
25．【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： __________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】sin30°=
故答案为：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式．把点代入，即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：．
故选：B
3．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解顶点式的性质是解题的关键．
【详解】解：A.，抛物线开口向上，结论正确，符合题意；
B.对称轴是直线，结论错误，不符合题意；
C.顶点坐标为，结论错误，不符合题意；
D.当时，y随x的增大而增大；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查方差的定义，平均数定义．根据题意利用方差及平均数即可得到本题的答案．
【详解】解：∵要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，
∴可以从方差角度思考，即方差越大越不稳定，方差越小，数据波动越小，越稳定，
∵，
∴选择乙同学参赛，
∵从平均数考虑，平均数越大，成绩越好，
∴乙同学和丁同学成绩都最好，
∵乙同学方差稳定，
∴成绩又好又稳定的同学为乙，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可选出本题答案．
【详解】解：A、∵，故A选项正确；
B、∵，故B选项正确；
C、∵，
∴，故C选项不正确；
D、∵，故D选项正确；
故选：C．
7．C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
8．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，据此逐一判断即可，
【详解】解：A、由可得，再由，可证明，故A不符合题意；
B、由可得，再由，可证明，故B不符合题意；
C、由，可证明，故C不符合题意；
D、由可得，再由，不可证明，故D符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．
设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∵轴，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解．
【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；
②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；
③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；
④如图，
根据图象可知，的解集是；结论错误；
正确的有②③；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．
11．1
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比的性质得到方程，进而解答即可．
【详解】∵，
∴，
解得．
故答案为：1．
12．1250
【分析】本题考查了用样本估计总体，求出样本平均数是解答本题的关键．先求出6个家庭一周内丢弃的塑料袋的平均数量，即可认为是该周全班同学各家丢弃塑料袋的平均数，乘以总数50即为所求．
【详解】解：六位同学家中平均一周丢弃塑料袋：（个），
则（个）．
∴全班同学家一周共丢弃塑料袋1250个．
故答案为：1250
13．300
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据坡度的定义求出为，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵斜坡的坡度为，
∴，
∵为，
∴，
∴在中，．
故答案为：300．
14．18
【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：若两个相似多边形的周长分别为和，
两个相似多边形的周长比是，
两个相似多边形的相似比是，
两个相似多边形的面积比是，
较小多边形的面积为，
∴较大多边形的面积为．
故答案为：．
15．8
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：．
16．##
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角．在中，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可．
【详解】解：在中，，延长使，连接，得，
设，则，
∴，
故答案为：．
17．（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角锐角三角函数化简求值．
（1）根据题意因式分解法即可求出本题答案；
（2）先分别求出两个特殊角三角函数值再计算乘法最后计算减法即可．
【详解】解：（1），
即：，；
（2）原式，
．
18．(1)300
(2)将频数分布直方图补充完整见解析
(3)“主动质疑”的初三学生约有12000人
【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据专注听讲的人数和所占的百分比，可以求得一共抽查的人数；
（2）根据（1）中的结果和频数分布直方图中的数据，可以计算出讲解题目的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用80000乘以样本中“主动质疑”的初三学生所占比例即可求解．
【详解】（1）解：在这次评价中，一共抽查了（名），
故答案为：300；
（2）解：讲解题目的人数：（人），
将频数分布直方图补充完整如图所示．
（3）解：（人）
答：“主动质疑”的初三学生约有人．
19．(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线的顶点坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数顶点式的图象及性质：
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将函数变为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：的图象经过点，
∴，
∴，
∴
（2）
∴抛物线的顶点坐标为
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定及性质；
（1）连接交于，即可求解；
（2）由图得，由矩形的性质得，从而可判定，由相似的性质得，即可得证．
【详解】（1）解：如图，
为线段的另一个三等分点；
（2）证明：由题意得
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
P是的三等分点．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程，根据根的情况求出参数以及根与系数的关系：
（1）根据“两个不相等的实数根”，得，代入数值计算，即可作答．
（2）根据代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：二元一次方程有两个不相等的实数根
∴
∴；
（2）解：，是方程的两个根，且
且
∴
∴．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查余角关系，三角函数实际应用．
（1）根据题意过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交，再利用互余关系即可得到本题答案；
（2）根据题意先求出，再利用三角函数列出等式正确计算即为本题答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知
在中，，则，即
∴；
（2）解：由题意可得：，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得：，
检验：把代入中，，所以是方程的解，
∴烈士纪念碑的高为．
23．(1)纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为
(2)有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，则年的产量为50千克，2022年的产量为千克，由2022年的产量72千克列方程即可；
（2）由可得裁掉正方形的边长即为正方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据正方体纸盒的侧面积列出解析式配方即可．
【详解】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，由题意得：
解得：，（不符合题意舍去）
纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为
（2）设裁掉正方形的边长为，由题意得：
∴当时，有最大值
∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大．
24．(1)点是“和谐点”
(2)
(3)的取值范围为
【分析】（1）由题意得，，由，可得点是“和谐点”；
（2）由题意知，，即，计算求出满足要求的解即可；
（3）设点为双曲线（）上的“和谐点”，则，，（），即，可得，由，可得，且，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
点是“和谐点”；
（2）解：∵是“和谐点”，
∴，，
∴，，
∴，即，
解得，（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：设点为双曲线（）上的“和谐点”，
∴，，（），
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵（），
∴，且，
∵，
∴图象开口向下，当时，，
当时，；
当时，；
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（1）；（2）成立．理由见解析；（3）或
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1）延长交于点G，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论．
甲
乙
丙
丁
平均数
95
98
96
98
方差
2.3
0.6
1.2
1.9
信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．
素材二
一般采用的是长方体包装盒．