2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了 本试卷分试题卷和答题卡两部分，如图所示，该函数表达式可能是等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1． 本试卷分试题卷和答题卡两部分．
2． 考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（共10道小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．已知， 则锐角A的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的两个根是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
6．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（ ）
A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位
7．大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，如图，若，，，则线段的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
9．二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是（ ）

A．
B．
C．关于x的方程有两个不等的实数根
D．当时，
10．如图，在中，，，，点B，C在两坐标轴上滑动，当边轴时，点刚好在双曲线上，此时下列结论不正确的是（ ）
A．此时点A与点O距离最大B．双曲线解析式为
C．点B为 D．AC边的高为
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分共18分）
11．若，则 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则 ．
14．设、是方程的两个根，则 ．
15．已知点，是反比例函数图象上的两点，则a，b的大小关系是a b（用“＞、＜、＝”填空）．
16．在中，，．在上取一点F，以B点为圆心，为半径作弧，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接，如图．在结论中：①；②；③；④当时，．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共9小题，满分共72分）
17．计算：．
18．反比例函数与一次函数的图象都过．
(1)求A点坐标；
(2)若点在反比例函数的图象上，求m的值．
19．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)求当a为正整数时方程的根．
20．某校为建设“书香校园”，计划购进一批新书，学校图书室随机对九年级（甲）班的同学最近借阅的各类图书进行了统计，通过整理发现借阅的书籍可分为4类（A：科普类；B：文学类；C：艺术类；D：生活与其它类）．根据统计结果，绘制出不完整的两幅统计图，如图．根据图中信息解决问题：
(1)本次采用的调查方式是______调查，九年级（甲）班的人数为______人；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，______，B扇形的圆心角为______；
(4)若该校九年级共有720名学生，根据调查结果估算，该校九年级喜欢艺术类学生有多少人？
21．在坐标平面内，A点的坐标为，，，如图，求：
(1)B点的坐标；
(2)求．
22．随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变．
(1)求每个月内日均接收快递件数的增长率；
(2)请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量．
23．某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门．
24．已知：在边长为6的等边中，点D在直线上，连接，以为边作等边，直线交射线于点F，连结．
(1)如图（1），若，用含的式子表示______；与的位置关系是______；
(2)当点D在线段上（不与点B、C重合）运动时，
①求证：；
②求线段的最大长度，并求出此时的度数；
(3)点D在直线上，若时，利用备用图（2）求的长．
25．坐标平面内，若点满足，我们把点P称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．
(1)一次函数的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，求m的值；
(3)若关于x的二次函数（常数）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当时，求n的取值范围；
②当时，过双曲线（其中）上的“半分点”P作直线轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】因为 tanA= ,A为锐角,由特殊角的三角函数值即可解答.
【详解】因为 tanA= ,A为锐角
由特殊角的三角函数值知:
A=60°，
故选C.
【点睛】掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.
2．A
【分析】本题考查解一元二次方程，针对方程没有一次项而选择直接开平方法是解题的关键．直接开平方法的一般步骤是：移项，化二次项系数为1，用平方根的定义求解．
【详解】解：，
，
∴，
∴．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，反比例函数，
A中不是反比例函数，故不符合要求；
B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求；
C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求；
D中不是反比例函数，故不符合要求；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了配方法，熟记相关步骤：移项、化二次项系数为1、配方即可求解.
【详解】解：移项：；
配方：，
即：，
故选：A.
5．D
【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，根据从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，可选平均数较大，方差较小的运动员．
【详解】解：由表中信息可知，平均数较好的是甲和丙，
又方差越小越稳定，甲和丙中，甲的方差小于丙的方差，所以选甲，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案．
【详解】解：将抛物线向下平移3个单位得到抛物线，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，可得．
【详解】解：，
，即，
解得：，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象逐一判断即可．
【详解】解：A、抛物线开口向下，故，说法正确，不合题意；
B、∵抛物线经过点，
∴当时，
观察图象可得，时，，
∴说法错误，符合题意．
C、∵抛物线的图象与x轴有两个交点，
∴，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，
说法正确，不合题意；
D、∵抛物线图象关于直线对称，与x轴交于点，
∴与x轴的；另一个交点为，
∴当时，，
说法正确，不合题意；
故选：B．
10．A
【分析】可得，设边上的高是， 由直角三角形的面积可求，从而可得，可求反比例函数解析式，由勾股定理可求的坐标，取的中点E，连接、， 当，，三点共线时，取得最大值．
【详解】解：，，，
，
轴，
，
设边上的高是，
，
即：，
解得：，
，，
，
解得：，
反比例函数的解析式是；
，
，
综上所述，可知B、C、D都正确；
如图，如图取的中点E，连接、，
，
，
，
，
当，，三点共线时，
此时取得最大值，
轴时，点A与点O距离不是最大，
A的结论不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数，直角三角形面积转换求斜边的高，勾股定理等，根据题意取的中点E，判断出何时取得最大值是解题的关键．
11．
【分析】由，设 则 再代入求值即可.
【详解】解： ，设 则

故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.
12．
【分析】本题考查二次函数的性质，熟记的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
【详解】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
13．．
【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，，
∴．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
14．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和.
【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系.
15．
【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，对于反比例函数，当时，图象分布在一、三象限，均有随的增大而减小；当时，图象分布在二、四象限，均有随的增大而增大．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴反比例函数图象分布在二、四象限，
∵
∴
即：
故答案为：
16．①②④
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线以及角平分线的性质．熟记相关结论识别出平分，垂直平分线段是解题关键．①证即可判断；②由①即可判断；③根据条件无法推出；④证得，设，则，即可判断．
【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分线段，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中垂线，
∴，，
∴，
∴，
∴，因此①正确，
∴，因此②正确；
无法推出，
∴③不正确；
∵，，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
解得（舍去）或，
即，因此④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
17．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
．
18．(1)点A的坐标为
(2)m的值为
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）直接把点A坐标代入一次函数解析式中求出a的值即可得到答案；
（2）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为；
（2）将点代入得：，
∴反比例函数解析式为．
把代入得：．
∴m的值为．
19．(1)a的取值范围为
(2)若a为正整数时，方程的根为1和3
【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．
（1）根据判别式即可求出答案；
（2）根据a的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴a的取值范围为．
（2）解：∵a为正整数，
∴，
∴原方程为，
即，
解得：，，
∴若a为正整数时，方程的根为1和3．
20．(1)抽样、40
(2)见解析
(3)，
(4)通过调查可以估计该校九年级喜欢艺术类学生有72人．
【分析】（1）本题考查抽样调查的概念，根据两种统计图，用A类人数除以其所占百分比，即可解题．
（2）本题利用（1）中总人数减去A、B、D类的人数，得出C类的人数，补全条形统计图即可．
（3）本题根据条形统计图中B类人数除以总人数的百分比即可得出，根据B类所占百分比乘以即可解题．
（4）本题考查用样本估计总体，利用条形统计图中艺术类所占比乘以720即可解题．
【详解】（1）解：由题知，本次采用的调查方式是抽样调查，
九年级（甲）班的人数为（人），
故答案为：抽样，40．
（2）解：喜欢艺术类学生有（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
，
B扇形的圆心角为，
故答案为：，．
（4）解：（人），
答：通过调查可以估计该校九年级喜欢艺术类学生有72人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、扇形统计图圆心角、补全条形统计图、以及条形统计图和扇形统计图的综合运用、读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．(1)B点的坐标为
(2)
【分析】此题考查了锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造直角三角形．
（1）过点B作于点C，根据，求出，根据勾股定理求出，则点B即可求；
（2）由（1）知，，根据，求出，在中，根据即可求解．
【详解】（1）解：作，
∵A点的坐标为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴B点的坐标为；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，
在中，
∴．
22．(1)每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%
(2)预测12月份日均接收快递件数为125件
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）利用11月的快递量乘以（1）中所求得的增长率，即可求出增长量，问题随之得解．
【详解】（1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%；
（2）根据题意得：（件）．
答：预测12月份日均接收快递件数为125件．
23．该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点C作交延长线于点D，求出即可判断．
【详解】解：过点C作交延长线于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门．
24．(1)，
(2)①见解析；②，；
(3)或．
【分析】（1）本题根据等边三角形性质和三角形外角得到，即可得到，利用等边三角形性质证明，得到，进一步得到，即可解题．
（2）①本题由（1）同理可证，再利用等边三角形性质得到，即可证明．
②本题设，，则，利用建立与关系式，根据二次函数的最值，可得的最大值，最后利用等边三角形性质即可求得．
（3）本题根据“点D在直线上且”进行讨论，当在点左边和在点右边时，证明，利用相似三角形的性质建立等式，即可解题．
【详解】（1）解：为等边三角形，为等边三角形，
，
，且，
，
在等边与中，，，，，
，即，
，
，
，
．
故答案为：，．
（2）解：①在等边与中，，
由（1）同理可证，
．
②设，，则，
由①得，
，
，
，
，
当时，有最大值，
即当时，的最大长度为，
此时点为的中点，则平分，
．
（3）解：点D在直线上运动，且，
①当点D在边上时，根据，
，
，
解得：．
②当点D在B点左侧时，
为等边三角形，
，
又，
，
由得：，
，
，
，
．
综合①②可知：当时，线段CF长为或．
【点睛】本题考查等边三角形性质、平行线的判定、二次函数的最值、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质即可解题．
25．(1)
(2)m的值为2或
(3)①；②
【分析】（1）根据半分点的含义可得，再代入函数解析式可得答案；
（2）根据半分点的含义可得半分点，先求解k的值，再建立方程求解m的值即可；
（3）①由半分点在直线上，联立，可得，则方程有两个相等的实数根，从而可得答案；②当时，，可得抛物线解析式为：，求解反比例函数图象上的“半分点”为，可得平行于x轴的直线为，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，则，，
把代入，
∴，
解得： ，
∴．
（2）∵点为反比例函数图象上的“半分点”，
∴，
把代入得：，
∴，
根据双曲线经过在上，
∴．
解得：，，
∴m的值为2或；
（3）①∵半分点在直线上，
联立，
则，
整理得：，
∵抛物线（m，n均为常数）上有且只有一个“半分点”，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∵，
∴；
②当时，，
∴抛物线解析式为：，
令，则，
∴此时抛物线的顶点坐标为：，与y轴的交点坐标为，
联立，
解得：，，
∵，
∴，（舍去），
∴反比例函数图象上的“半分点”为，
∴平行于x轴的直线为，
∵抛物线上有四个点到直线的距离为d，
∴在直线下方的抛物线上必须有两点到直线的距离为d，
∴，即．
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的应用，函数的交点问题，新定义的含义，理解题意是解本题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（）
186
182
186
182
方差
3.2
3.2
6.5
6.0