考点02 空间距离与角度归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、求点到平面的距离的四步骤
注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．
3、求异面直线所成的角
（1）基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
①找基底．
②用同一组基底表示两异面直线的方向向量．
③利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值．
④结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．
（2）用空间向量法求异面直线夹角的步骤
①确定两条异面直线的方向向量．
②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．
③得出两条异面直线所成的角．
4、求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量eq \(AB,\s\up7(―→))；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|n·eq \(AB,\s\up7(―→))|,|n|·|eq \(AB,\s\up7(―→))|).
5、求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：
①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
②求出两个半平面的法向量n1，n2；
③设两平面的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时.))
注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．
考点一 点到直线的距离
1．（2022·吉林白山·高二期末）已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3B．C．D．
2．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为，，，且，异面直线与所成的角为．
若是线段的中点，求点到直线的距离．
6．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点到点的位置，如图乙，使.
(1)求证：平面平面；
(2)若点满足，求点到直线的距离.
7．（2022·山东淄博·高二期末）已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点M在PD上，且.
(1)求的值；
(2)求点B到直线CM的距离.
考点二 点到平面的距离
8．（2022·广东茂名·高二期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______．
10．（2022·福建福州·高二期末）如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
(1)求证：平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
11．（2022·湖南·周南中学高二期末）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．
12．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
(1)当是线段中点时，求到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
13．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
14．（2022·江苏·高邮市第一中学高二期末）如图，四棱锥的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在异于，的一点，使得.
(1)求实数的取值范围；
(2)当取最大值时，求点到平面的距离.
考点三 异面直线的距离
15．（2022·全国·高二专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国·高二专题练习）正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离
A．B．C．D．
17．（2022·辽宁实验中学高二开学考试）正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为___________.
18．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
考点四 异面直线所成的角
19．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形中，，，，，，，则与所成角的余弦值等于___________．
20．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在平行六面体中，，，，，，则与夹角的余弦值为__________.
21．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形．
(1)若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长．
22．【多选】（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且，，，则（ ）
A．当时，
B．当时，异面直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积的最大值为1
D．不论取何值，都有
23．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示，是棱长为1的正方体.
(1)设的重心为O，求证：直线平面；
(2)设E､F分别是棱､上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值.
24．（2022·江苏省如皋中学高二期末）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，
(1)求异面直线所成角的余弦值；
(2)求二面角的余弦值．
25．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点
(1)求证：面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
考点五 直线与平面所成的角
26．（2022·杭州求是高级中学高二期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点.
(1)求证：､､､四点共面；
(2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
27．（2022·浙江·杭州四中高二期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
28．（2022·北京市第五十七中学高二期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．
(1)当点为线段的中点时，证明直线平面
(2)求证：；
(3)点在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值
29．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
30．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）如图，在四棱锥中，，，底面是菱形，是的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
31．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，
(1)证明：平面.
(2)若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
32．（2022·四川南充·高二期末（理））如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.
(1)求证：平面；
(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.
考点六 平面与平面所成的角（二面角）
33．（2022·湖北武汉·高二期末）如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为2的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
34．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））在四棱中，
(1)证明：PB⊥平面PAD；
(2)求二面角的正弦值.
35．（2022·四川达州·高二期末（理））如图在四棱锥中，，，，，点F，Q分别为CD，PB的中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若，平面ABCD，AP与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值.
36．（2022·浙江·高二期末）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
37．（2022·甘肃临夏·高二期末（理））如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．
38．（2022·江西·丰城九中高二期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，是的中点，点满足.
(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
考点七 角度与距离的综合问题
39．【多选】（2022·福建省福州华侨中学高二期末）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为
40．【多选】（2022·福建漳州·高二期末）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．若、分别是、的中点，直线平面，则
D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值
41．（2022·辽宁·高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点．
(1)证明：直线DM∥平面PBC；
(2)求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；
(3)求二面角M-BD-N的正弦值；
(4)求点P到平面DBN的距离；
(5)设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长．
考点八 探索性动点问题
42．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
43．（2022·重庆南开中学高二期末）在四棱锥中，已知，，，，，，是上的点．
(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
44．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
(1)求二面角的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
45．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）如图，在三棱锥中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，，且二面角为30°，求的值.
46．（2022·四川甘孜·高二期末（理））如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
(1)若为的中点， 证明：平面；
(2)若，，若二面角的大小为，试求的值.
47．（2022·广东汕尾·高二期末）如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.
(1)求证：平面；
(2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.
48．（2022·福建·泉州科技中学高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
49．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面ABC．
(1)证明：；
(2)已知四边形是边长为2的菱形，且，问在线段上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由．