考点11 双曲线大题11种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1、求双曲线轨迹常用方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
2、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
4、解析几何中的弦长、面积及最值问题
对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
5、圆锥曲线中定点、定值问题的求解方法
设直线方程为，设直线与圆锥曲线的交点为，直线方程与圆锥曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，假设定点存在，设出定点坐标，把定点满足的性质用坐标表示，代入后变形可求得定点坐标．如果是定值问题，则把代入要求定值的式子化简后可得．
6、直线过定点基本思路如下：
（1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
（2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
（3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
（4）由所得等式恒成立可整理得到定点.
7、等角定点基本思路如下：
（1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
（2）得到韦达定理的形式；
（3）角度相等，多可以转化为斜率相等或者相反等关系，利用韦达定理表示出等量关系，代入韦达定理整理；
（4）由所得等式恒成立可整理得到定点.
8、圆过定点基本思路如下：
（1）可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
（2）利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算
（3）利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
（4）通过推导求出定点（计算推导难度较大）
9、求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
10、解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
考点一 求双曲线的方程
1．（2022秋·湖北·高二校联考期末）已知双曲线C的焦点和离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线焦点求出c，再通过离心率求出a，即可根据双曲线性质求出b，再通过焦点所在轴确定双曲线形式，代入a，b即可得出答案；
（2）联立直线与双曲线方程消去y利用已知结合判别式列出不等式转化求解得出k的初步取值范围，再通过设出A，B坐标，利用韦达定理得出与与k的关系，通过得出，再转化为k的不等式得出k的另一个范围，最后综合即可得出答案.
【详解】（1）双曲线C的焦点为，
，且焦点在x轴上，
双曲线C的离心率，
，
，
，
双曲线C的方程为：；
（2）联立直线与双曲线方程消去y得：，
直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B，
，
解得且，
设点，，
则，，
，
，
，
又，
，
，
解得，
，
则k的取值范围为：.
2．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)，或或.
【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案；
（2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点，
所以，，解得
所以，双曲线的标准方程为
（2）解：由（1）知双曲线的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，方程为，此时，
，
所以，直线的斜率存在，设方程为，
所以，联立方程得
所以，且，
所以，
设，
则
所以，
所以，线段中点为，
因为，
所以，点在线段的中垂线上，
所以，
所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意；
当时，，
所以，，整理得，解得或，满足.
综上，直线的方程为，或或.
3．（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求解双曲线方程；
（2）根据双曲线方程，分别求左顶点坐标，以及渐近线方程，代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，且经过点，
所以，解得：，
所以双曲线C的方程为．
（2）双曲线C：的左顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线C的左顶点到渐近线的距离为．
考点二 与双曲线轨迹有关的问题
4．（2022秋·河北张家口·高二统考期末）已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用两圆位置关系得到，从而得到，再利用双曲线的定义即可得到曲线的方程；
（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理得到关于的表达式，从而得证.
【详解】（1）依题意，设动圆的圆心为，半径为r，
因为该动圆与圆外切，与圆内切，
此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切，
所以，，
所以，
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为.
.
（2）选择①②⇒③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0，
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以或m＝1－4k，
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去；
当时，由于曲线是双曲线的右支，易知，
又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，
此时，则，解得，故，
即时，满足题意，
综上：，所以③成立.
选择①③⇒②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝－1＋＋＝－1＋
＝－1＋＝0，
所以②成立.
选择②③⇒①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，
由于的任意性，所以，，解得，
又，所以，则，满足，
所以P，①成立.
5．（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知圆，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．
(1)求点的轨迹的方程
(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据双曲线的定义求轨迹方程；
（2）当直线斜率不为0时，设，直线方程代入轨迹方程整理后应用韦达定理得，假设存在定点满足题意，即，把代入可求得，得定点，验证此点对直线斜率为0时也适合．
【详解】（1）线段的垂直平分线与直线相交于点．
，
∴点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，，又，则，
∴轨迹的方程是；
（2）当直线斜率不为0时，令，则
由得
∵直线与双曲线有两个交点，
假设存在点使，则，
，
即，
即，
轴上存在点，使得，
当直线斜率为0时，点使得，
综上，轴上存在点，使得．
6．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线方程；
(2)过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程以及焦点到直线的距离即可求解.
（2）首先设出直线方程，与椭圆联立后，设出，利用向量的坐标运算以及韦达定理即可求解轨迹方程，最后确定好范围即可.
【详解】（1）由渐近线为知，①，又焦点到渐近线的距离为，即到直线的距离，所以，②，联立①②，解得，，则双曲线方程为.
（2）因为直线与双曲线交于异支两点，所以直线的斜率必存在，且经过点，可设直线，与双曲线联立得：，
设，则有解得，
由知，
两式相除得，即代入得，
又，所以，
所以点的轨迹方程为.
7．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在直线符合题意，理由见解析
【分析】（1）设，则由，可得，，再结合，消去，即可得曲线C的标准方程，
（2）判断直线l的斜率存在，设l：，设，，将直线方程代入曲线C的方程，化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示出MN的中点的坐标，利用弦长公式表示出，表示出线段MN的中垂线方程，求出其与与x轴的交点坐标为，而AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，从而由列方程求解即可.
【详解】（1）设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线C的标准方程为；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，
因为且，
所以且，
设，，
则，，
所以MN的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为：，
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
8．（2022秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）在中，，，直线，的斜率之积为．
(1)求顶点的轨迹方程；
(2)若，求面积大小．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）设出点坐标，利用直线，的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程.
（2）由及确定点A的轨迹与（1）的轨迹结合，求出点A的纵坐标的绝对值即可计算作答．
【详解】（1）设，则直线AB的斜率，直线AC的斜率，，
依题意有，化简得，，
所以顶点的轨迹方程为得，.
（2）因，，则点A的轨迹是以线段BC为弦，所含圆周角为的两段圆弧（除端点外），
圆弧所在圆的圆心在线段BC的中垂线上，即y轴上，半径，
由对称性不妨令圆心在y轴正半轴上，设为，则有，解得，
因此点A的轨迹方程为，
而点A在双曲线上，由消去x得：，
而，解得，因此，
所以面积为.
考点三 直线与双曲线的弦长、中点弦问题
9．（2022秋·四川成都·高二树德中学校考期末）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可
（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可
【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为；
（2）设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．
【答案】(1)
(2)24
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长公式求得.
【详解】（1）若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，
又因为双曲线C：经过点，
所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：
设点，，
联立，
得，
所以，，
从而.
所以弦长|AB|的值为24．
11．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的方程；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在利用弦长公式列出方程，即可求解.
【详解】（1）双曲线离心率为，实轴长为2，
，，
解得，，
，
所求双曲线C的方程为；
（2）设,,
联立，，，
，．
，
，解得．
12．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．
（2）设弦的两端分别为，，利用点差法，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】（1）∵椭圆的焦点为， ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
弦中点为，．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
13．（2022·高二课时练习）已知双曲线C过点，其焦点，在x轴上，且．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在被点平分的弦，理由见解析.
【分析】（1）设所求双曲线方程为（，），根据已知求出即得解；
（2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l，设是弦MN的中点，利用点差法求出直线l的方程，再检验即得解.
（1）
解：设所求双曲线方程为（，），
由可知，即．
又点在双曲线上，所以，得，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）
解：假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为l，
设是弦MN的中点，
，，则，．
因为点M，N在双曲线C上，所以，，
两式相减得，
所以，
所以直线MN的斜率，
所以直线l的方程为，即．
由，得，显然，所以直线l与双曲线无交点，
所以直线l不存在，故不存在被点平分的弦．
14．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知双曲线过点，且双曲线C的渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线l使得坐标原点O在以为直径的圆上且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线即可联立求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，进而根据弦长公式求解,根据两点距离求解，根据已知条件建立方程求解即可.
【详解】（1）由题意有，，①
将点代入双曲线方程得，②
联立①②解得，
故双曲线C的方程为
（2）假设满足题意的直线l存在．
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，，
联立，整理得，
且，
解得且．
由韦达定理有
则
，
因为M为直线与渐近线的交点，
联立 ，解得，
∴M点的坐标为，同理可得N点的坐标为，
则，
由题知，，
即，
整理得．①
因为原点O在以为直径得圆上，
∴，，，
，
整理得．②
联立①②得，，无解，故没有满足条件的直线l．
考点四 直线与双曲线的面积（最值）问题
15．（2022秋·河北邯郸·高二校考期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共渐近线设出双曲线方程，代入点的坐标即可得解；
（2）根据题意求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，消去后由韦达定理得，从而由弦长公式求得弦长，再求出到直线距离后即可求得的面积．
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，
设，，
联立，消去，得，
则，，，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以．
16．（2022秋·重庆云阳·高二重庆市云阳凤鸣中学校校考期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程；
（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.
【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，则，
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线：，，，
联立，
则，
所以，，
由
，
解得或（舍去），
所以，，
：，令，得，
，
所以的面积为.
17．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设
(1)求双曲线Q的标准方程；
(2)求证：C，D，B三点共线；
(3)若面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率即可求解，
（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，
（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于的方程，
【详解】（1）由双曲线的离心率为，所以，解得，
所以双曲线Q的标准方程为
（2）由得,又，所以
,，
由得①，
由于，在双曲线上，所以，
相减得②
由①②得③，
由于，所以，
将③代入得，
所以，因此C，D，B三点共线
（3）设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程为：，
故，
所以，
直线的方程为，
联立，
所以
由于轴，，所以，
所以，
由于，代入得，
令，则，化简得，由于，
所以，
因此，解得或
由于，所以，
故直线方程为
18．（2022秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求面积的最小值
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）结合题意，得到的最小值为，从而利用双曲线的几何性质得到关于的方程组，解之即可；
（2）先由条件得到，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到关于的解析式，利用换元法与的单调性即可求得的最小值.
【详解】（1）依题意得，当轴时，取得最小值，不妨设，
则，故，则，所以，则，
又，则，
联立，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，，直线，
因为双曲线的渐近线为，又由直线与双曲线的右支交于两点，
所以，则，从而，
联立，得，
则，，，
所以，
设，则，，
令，易得在上单调递减，则，
所以，即面积的最小值为.
19．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知，为双曲线E：（，）的左右焦点，点在双曲线E上，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点，作直线l的垂线，垂足为P，Q，求面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，再结合双曲线上的点的坐标及，即可求解；
（2）设l的方程为：，与双曲线方程联立可得，由已知求出点
的坐标，利用点到线及两点之间的距离可求得，再利用换元法及二次函数求最值即可得解.
【详解】（1）由已知得，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）设切线l的方程为：，
联立，整理得
由题知，化简得，
设，则
则，解得
同理，解得
点到直线的距离
所以的面积
又，
所以
令，由，则，
所以
所以当，即时，
所以面积最大值为
20．（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点，直线，动点到的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点是轨迹上一点，在直线，上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若，，求△AOB面积的取值范围.
附：在△ABC中，若，则△ABC的面积为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标，把几何关系中距离之比转化为代数方程，从而求得结果；
（2）设点，A，B的坐标，由向量关系找到坐标之间的关系，表示出点的坐标并代入双曲线方程，再把所求的结果结合已知中给出的面积公式，求得△AOB面积的取值范围.
【详解】（1）设，点到直线的距离为d.
由已知可得，即，
两边平方得，，整理得.
故动点的轨迹的方程；
（2）设，，，，，
因为，所以，即.
将点代入双曲线方程，得
化简得.
所以△AOB面积为，
因为，所以，.
故△AOB面积的取值范围.
21．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第一中学校考阶段练习）已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.
【详解】（1）由：，得，可知，其半径为，
由：，得，可知，其半径为.
设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有
或，即，得，
又，
所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得，
所以动圆圆心的轨迹方程为；
（2）①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立，
由于其于双曲线有两个不同的交点，
所以，得且，
且，
设：，即，
设圆到直线的距离为，则，
因为交圆于，两点，故，得.
且，
由题意可知，
所以，
因为，可得.
②当直线的斜率不存在时，，，
所以，
综上.
考点五 常规韦达定理应用
22．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，且双曲线的焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若与双曲线交于，，若，求的值（为原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据渐近线方程及焦点到渐近线的距离为2，列出方程，求得即可得到其标准方程.
（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理，根据，列出方程，即可求得.
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
渐近线方程为，即，
设双曲线的上焦点为，到其中一条渐近线的距离为，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，由题意可知，
消去可得，则，
因为，所以，解得，所以，即.
23．（2022秋·四川成都·高二石室中学校考阶段练习）设双曲线​的上焦点为​，过​且平行于​轴的弦其长4 .
(1)求双曲线​的标准方程及实轴长;
(2)直线与双曲线​交于​两点，且满足，求实数​的取值.
【答案】(1)​的标准方程为​，双曲线​的实轴长也为​；
(2).
【分析】（1）由弦长为4，可得，从而得知标准方程及实轴长；
（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得值.
【详解】（1）双曲线的上焦点的坐标为，
令 ，代入，得，
而，可知，
故的标准方程为，双曲线的实轴长也为.
（2）联立 ,
可得，且，
将代入①式，可知，即,
再代入②式，有，
计算可得，且满足.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解;
(2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解.
【详解】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
25．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算．
【详解】（1）解：由题知，，
设右焦点，取一条渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）解：设，，
由，得，
则，，
所以，
则中点坐标为，
代入圆，得，
所以．
考点六 双曲线的向量问题
26．（2022秋·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率；
（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程.
【详解】（1）因为是双曲线E上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
可得，即有.
（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，可得，
设，则，，①
又，可得，②
由①②可得， ，
代入①可得，解得，
则直线l的方程为.
27．（2022秋·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程，
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值.
【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，
，解得，
因为
所以双曲线的标准方程为
（2）将直线与曲线联立 得，
设，，则，，
设，由得，
即 ，又因为，解得，
所以或.
28．（2022秋·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由离心率公式和的关系式，即可求出结果；
(2)求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率.
【详解】（1）由题意可知：，，解得：，
所以双曲线的方程为，故双曲线的焦点坐标为：.
（2）因为，，所以双曲线方程为，可得，
设的方程为：，，则直线的斜率为：，
联立直线与双曲线的方程，消去可得：，
因为直线与双曲线有两个交点，则且，即，
可得：，则，
，，由可得，
，
即，将代入可得：
，即，解得：，
解得：，即直线的斜率为.
考点七 参数最值与范围问题
29．（2022·全国·高二假期作业）双曲线的右焦点，点在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)直线与双曲线的右支交于M，N两点，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出即可；
（2）联立方程得，根据直线与双曲线的右支交于M，N两点，可得，解之即可.
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
所以双曲线方程为；
（2）解：联立，消得，
因为直线与双曲线的右支交于M，N两点，
所以，解得，
所以k的取值范围为.
30．（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线C：与x轴的正半轴交于点M，动直线l与双曲线C交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时，，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求点M到直线l距离的最大值．
【答案】(1)；
(2)2
【分析】（1）由双曲线方程求得右焦点，则可求出l过双曲线C的右焦点且垂直于x轴时的A，B两点坐标，由及数量积的坐标运算即可解出m，得到双曲线方程；
（2）由得，分别讨论直线斜率存在、不存在的情况，当斜率不存在时，设，直接求出交点，结合数量积运算可解出，即可得点M到直线l距离；当斜率存在时，设，联立双曲线方程，结合韦达定理及数量积运算可得与b的关系，即可结合点线距离公式进一步讨论距离范围.
【详解】（1）由曲线为双曲线得，双曲线标准形式为，故，右焦点，，
当时，代入双曲线方程得，故，
由得，
故双曲线C的方程为；
（2）由得，
i.当直线斜率不存在时，设为，联立得，故当才有两个交点，此时，，解得或（舍）.
故点M到直线l距离为2；
ii.当直线斜率存在时，设为，联立得，
故当（*）才有两个交点，
设，则，
故，即，
即 ，整理得，得或.
①当时，直线l为过与M重合，不合题意；
②当时，代入（*）可得时有两个交点，
∴点M到直线l距离为.
综上，点M到直线l距离的最大值为2.
31．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，，
则，得，
则，
所以双曲线的方程为；
（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；
②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为，
联立，消并整理得，
则，
化简得，即，
化成关于的一元二次方程，
设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即，
又点在直线上，所以直线与圆有交点，
所以，即，即，
故的取值范围为．
32．（2022·浙江·模拟预测）已知直线l：为双曲线C：的一条渐近线，且双曲线C经过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设A，B是双曲线右支上两点，若直线l上存在点P，使得为正三角形，求直线AB的斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据渐近线方程求出的关系，再根据过点求出方程.
(2)当斜率不存在时易得为原点，验证；当的斜率存在时设方程为，点，又为正三角形找到的关系，化简求解.
【详解】（1）双曲线C：的渐近线为
直线l：为曲线C：的渐近线，所以
即，所以双曲线方程为，又因为双曲线C经过点.
即，所以，所以双曲线方程为：
（2）当的斜率不存在时，则为原点，则，舍去.
由题意得的斜率一定不为零，当的斜率存在时，设方程为，点.把直线方程代入双曲线方程得：
并且即
则
故线段的中点为，又为正三角形，故，由正三角形可得
即
则
即代入，若，则，不满足，则，得
则，又两点在右支上，故，则，解得.
考点八 直线与双曲线的定点问题
直线定点
33．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知过点，的双曲线的右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过点的直线交双曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）将、点坐标代入双曲线方程，即可解出结果；
（2）由已知可得，点是线段的中点，直线的方程为.当直线的斜率不存在时，根据条件可知不满足；当的斜率存在时，设点坐标，表示出的方程为，证明该直线过点，即证明恒成立.联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理表示出与，代入整理，即可证明.
【详解】（1）由已知可得，解得 ，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：由（1）可得，，设，，
，直线的方程为.
由可得，即点是线段的中点.
假设直线的斜率不存在，此时直线的方程为，此时直线与双曲线相切，只有一个交点，不满足，所以直线斜率一定存在.
设斜率为，则直线的方程为，即.
因为点是线段的中点，且，设，
则有，所以，所以.
于是的方程为.
下面证明：直线过定点.
即证，即证，
即证.
又，代入左边可得，（*）
联立直线的方程与双曲线的方程，可得，
由已知应满足，解得且，
且，代入（*）式可得，
恒成立，
所以，直线过定点.
34．（2022秋·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可分析得点，，在双曲线上，把三点坐标代入双曲线方程，联立即可求解；
（2）设出直线的方程为，并与双曲线方程联立，再设出，的坐标，求出直线的方程，利用韦达定理化简即可证明．
【详解】（1）由题意可知点，两点关于原点对称，所以，一定在双曲线上，
而，因为，但，所以点不在双曲线上，
所以点，，在双曲线上，则，解得，，
所以双曲线方程为；
（2）证明：设直线的方程为，代入双曲线方程可得：，
设，，，，则，则，，
所以直线的方程为：，即，
令，则，
由，，得，
所以，
综上，直线过定点．
35．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据已知可求出，，即可求出双曲线的方程；
（2）设，，.设出直线方程，与双曲线方程联立得到，根据韦达定理求出，用点的坐标表示出，整理得到，因为该式为常数，所以有，求出，代入即可求出常数.
【详解】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，.
则到渐近线，即的距离为，所以，
又渐近线的斜率为2，即，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则.
联立直线的方程与双曲线的方程可得，，
设，，.
当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以，.
，解得，且.
由韦达定理可得，，且，.
又，，
则，
因为，，
所以，
要使为常数，则应与无关，
即应有，解得，此时是个常数，这样的点存在.
所以，在轴上存在定点的坐标为，使得为常数.
等角定点
36．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知等轴双曲线：的虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，请问轴上是否存在一定点P，使得?若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)满足题意的定点Р存在，坐标为.
【分析】（1）由题意得，，即可得到双曲线方程；
（2）根据已知可设直线AB的方程为.设存在，根据，可得，代入相关点的坐标，可得，由的任意性，即可得出存在.
【详解】（1）由双曲线C的虚轴长为，有，可得，
又由双曲线C是等轴双曲线，可得，
故双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）可知，，，
则双曲线C的右焦点F的坐标为，
假设存在这样的点P，设点P的坐标为，
设直线AB的方程为，点A，B的坐标分别为，
联立直线与双曲线的方程可得，，
当时，因为双曲线的渐近线方程为，可知直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线仅有一个交点，不合题意，所以.
则恒成立，
有，，，.
若，可知直线AP和直线BP的斜率互为相反数，即.
又，，
所以
整理可得，，
即，即.
要使时，该式恒成立，即与的取值无关，则应有，所以.
由上知满足题意的定点Р存在，坐标为.
37．（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由双曲线的性质以及距离公式得出方程；
（2）由三角函数得出，，再由结合倍角公式得出.
【详解】（1）由题意可知，，解得
即双曲线方程为；
（2）设，，，
则，.
因为，所以
即，即，得.
所以，存在点满足题意.
38．（2022秋·广东江门·高二江门市第一中学校考阶段练习）已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求曲线的方程；
(2)求斜率的取值范围；
(3)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，定点
【分析】（1）根据题意与双曲线定义可以判断出的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，根据定义即可写出曲线的方程；
（2）曲线的方程与直线联立，根据存在两个交点列出条件解出即可得出斜率的取值范围；
（3）轴平分即是，将用A、B和M的坐标表示，计算即可求出定点.
【详解】（1）由可知，的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，虚轴长为，
所以曲线的方程为：；
（2）设直线的方程为：，联立方程，整理得，因为直线与曲线有两个交点，设，，
所以，解得或，
故斜率的取值范围为；
（3）由轴平分可知，
由（2）可得，
又，，则，，
假设在轴上存在定点，则，
，即，
展开可得
因为斜率的取值范围为，
所以，即，
整理可得：，即，得，
所以轴上存在定点，且
圆定点
39．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率，且点在上.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线于，两点，问：是否存在以为直径的圆过坐标原点，若存在求直线的方程，若不存在说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见详解
【分析】(1)根据双曲线的离心率可得：，然后再利用曲线过点即可求解；
(2)易知：直线的斜率不存在时，不存在，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理，依题意要存在，则有，此方程无解，即可得出结论.
【详解】（1）因为双曲线的离心率，所以，则，
，所以双曲线可化为，
又双曲线过点，所以，则，
故双曲线的方程为：.
（2）不存在，理由如下：
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，是以和为端点的线段，则不存在以为直径的圆过坐标原点；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立方程组，整理可得：，
所以即，则，
，，
所以，
若存在以为直径的圆过坐标原点，则，即，
所以，解得：不存在，
综上，不存在这样的直线，使得以为直径的圆过坐标原点.
40．（2022秋·河北邢台·高三校联考开学考试）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
(1)求点的轨迹方程.
(2)直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设，由题可得，，根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.
（1）
由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）
∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
41．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点
【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；
（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.
【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
42．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为，离心率为是双曲线上的一点，且的面积为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)分别是双曲线的左､右顶点，是双曲线上异于的一个动点，直线分别与直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点？若是，求出此定点；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以为直径的圆必过定点和
【分析】（1）根据已知条件列方程，求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设出的坐标，根据直线和直线的方程求得的坐标，从而求得以为直径的圆的方程，进而求得定点的坐标.
【详解】（1）离心率，所以①，由于是直角三角形，
且②，
由于，
所以③，
由①②③解得，
故双曲线的方程为：．
（2）设，
则直线的方程为：，令，
解得，即，
直线的方程为：，令，
解得，即．
设以为直径的圆上任意一点为，故有：，
代入坐标，，
则以为直径的圆的方程为，
注意到：上式对任意的点恒成立，
由对称性可令，则，
由于在双曲线上，则，即，代入上式，解得，
所以，以为直径的圆必过定点和．
考点九 直线与双曲线的定值问题
43．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）已知双曲线C过点,.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)设双曲线C的方程为,将,代入求解即可;
(2)由题意易得直线l的斜率存在,设,,直线l的方程为,联立直线与双曲线方程,化简的式子,结合韦达定理即可求出结果.
【详解】（1）设双曲线C的方程为,
将,代入上式得:,
解得,
双曲线C的方程为.
（2）设,,
由题意易得直线l的斜率存在,
设直线l的方程为,代入整理得,
,
,,且,
则
,
故为定值.
44．（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为点满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，直线（为坐标原点）与直线交于点．设直线的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算求出即可求双曲线方程；(2) 设，，将直线的斜率，之积表示为的代数表达式，利用韦达定理即可证明.
【详解】（1）由题意知，，又，
所以，，
由，可得，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为；
（2）因为，，
若直线的斜率不存在，则与双曲线仅有一个公共点，不合题意，故的斜率存在，
设：，
联立得：，
设，，
则，．
因为，故：，①
又，，
所以：，②
联立①②，解得，
于是
所以为定值．
45．（2022秋·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别是且经过点，双曲线的右焦点到渐近线的距离是，不与坐标轴平行的直线与双曲线交于两点（异于），关于原点的对称点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在双曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)定值为，证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式及点在双曲线上，结合双曲线中的关系即可求解；
（2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及三点共线，结合两直线相交及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线为，则
由题意可知，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，,则
，消去，得，，
因为，所以，
所以，
所以
所以，
由题意可知，，
由三点共线可得
即，
由三点共线可得
即，
相交可得
，
所以直线的方程为，
联立，解得，
所以点在定直线上，
则使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与双曲线的交点，此时，且.
46．（2022秋·河南·高三期末）已知双曲线经过点，离心率是．
(1)求双曲线的方程；
(2)在双曲线上任取两点，满足，过作于，求证：存在定点，使是定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线几何性质求双曲线方程即可；（2）设直线，，联立方程得由得或，分类讨论即可.
【详解】（1）由题知，
,
，
又因为，
解得，
.
（2）设直线，，
联立方程
所以
，
或，
当时，直线恒过定点，不符合题意，舍去；
所以，直线恒过定点，
因为在中，存在定点为线段的中点，
使得.
47．（2022秋·河北衡水·高三校考阶段练习）已知双曲线的上､下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且.
(1)求的方程；
(2)直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）不妨设，求出、的坐标，根据可得答案；
（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理求出，，，根据求出，代入整理得，求出，当直线的斜率不存在时，设其方程为，代入双曲线方程，根据，求出矛盾；再由，得点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为圆的半径可得答案.
【详解】（1）由题，不妨设，
所以，，
因为，所以，解得，
所以的方程为；
（2）设，且，
当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立
，整理得，
且，
所以，
，
，
，
因为以为直径的圆经过点，所以，，
所以，
即，
整理得，解得或，
当时，过点，不符合题意，
所以时，，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，设其方程为，
代入双曲线方程，得
所以，且，，
所以，，
因为以为直径的圆经过点，所以，，
所以，
解得与矛盾；
因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为圆的半径，
由为的中点，得，，
所以存在定点，使得使为定值.
48．（2022·河南新乡·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值2
【分析】（1）设，则由题意可得，化简后可得动点C的轨迹方程；
（2）由题意设直线：，，，将直线方程代入双曲线方程中化简，利用根与系数的关系结合弦长公式表示出，设的方程为，代入双曲线方程化简后可表示出，从而可求出的值.
【详解】（1）设，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以，所以，
故动点C的轨迹方程为．
（2）易知直线的斜率存在且不为0．
设直线：，，，
联立方程组得，
则，
因为P，Q在y轴两侧，
所以，所以，
所以．
因为，所以的方程为．
设，则，
联立方程组，得．
所以，，
所以，
所以，即为定值2．
49．（2022秋·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦距为8，双曲线的左焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别是双曲线的左､右顶点，为双曲线上任意一点（不与重合），线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，设点的横坐标分别为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦距为8，可得，再用点到直线的距离公式可解；（2）先写出的坐标，进而求出的斜率，可得线段的垂直平分线方程，分别求出其与的交点横坐标，代入可证.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，左焦点为，所以，所以.
又焦距为8，所以，所以，故所求双曲线的方程为.
（2）证明：设，由（1）得，
又点是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
即
又直线的方程为，
联立方程得，
又，代入消去，得，
因为，所以.
所以，解得，
即点的横坐标为，
则，所以为定值.
考点十 直线与双曲线的定直线问题
50．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程；
设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出．
【详解】（1）由离心率，，得，
当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上，
则轴为的左焦点，
故，代入:的方程得：，
故双曲线的标准方程；
（2）设点，，，其中，，
由题意知，直线的斜率存在且不为，设：，
代入，得，，
则，，
则，
由题意知，直线：，直线：相交于点，
所以，
即，
解得，
故当在的左支上运动时，点在直线上．
51．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴为x轴、y轴，渐近线方程为，且过点．
(1)求E的方程；
(2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ的斜率为2，证明：点M在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可设双曲线E的方程为，又因为E过点，代入即可得出求出E的方程；
（2）设，联立和求出的坐标，即可表示出直线的斜率，即可证明.
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为，
所以可设双曲线E的方程为，
因为E过点，所以，，所以E的方程为；
（2）设，联立解得
联立解得
不妨设，
，
所以，所以，所以点M在定直线y＝x上．
52．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知分别为双曲线的左､右顶点，为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上异于点的另一点，当点坐标为时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，直线交双曲线的右支于点，判断直线与直线的交点是否在一条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)在定直线上，直线方程为.
【分析】（1）首先求出，则，再将代入双曲线方程，联立解出即可；
（2）设设直线的方程为，，将其与双曲线联立得
，得到，，化积为和得，求出直线的方程为，直线的方程为，计算为定值即可.
【详解】（1）由题得，，即，
解得或（舍去），则①，
将点坐标代入双曲线方程得②，
联立①②解得或（舍去）
故双曲线方程为.
（2）在一条定直线上，过程如下：
当直线斜率为0时，直线方程为，此时点与点重合，故舍去；
故设直线的方程为，
当时，直线方程为，显然不合题意，故，
联立得，
当时，显然直线与双曲线只有一个交点，故，
当时，，
故，，
则，故，
易得，
则，直线的方程为，
，直线的方程为，
故点横坐标满足，显然，
由题意得
则
则，解得，
故点在定直线上，直线方程为.
考点十一 直线与双曲线的存在（探索性）问题
53．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）若双曲线的左、右焦点分别为，过焦点的直线的一个法向量为，直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数，使得为锐角?若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由题设条件得到直线为，联立直线与双曲线方程，根据题意可知，，由此得到关于的不等式，解之即可得解；
（2）将为锐角转化为，结合（1）中结论，得到关于的不等式，从而得到的范围，由此得以判断.
【详解】（1）因为双曲线，所以，则，，则，
因为过焦点的直线的一个法向量为，所以直线为，则，
联立，消去，得，
所以，即，即，显然成立，
设，则，
由题意知，所以，即，
所以，解得或，
所以.
（2）假设存在实数，使得为锐角，则，即，
因为，
所以，
即，整理得，
故，而由（1）知，矛盾，故假设不成立，
所以不存在实数，使得为锐角.
54．（2022·全国·高二假期作业）双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1).
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列方程组求得，即可求得答案；
（2）先考虑直线l的斜率存在时，设，设出直线方程，根据可得到对任意的总成立，联立直线l与双曲线方程，得到根与系数关系，结合恒成立可求得m的值，得到结论，再验证直线斜率不存在时的情况也适合题意，即可得到结论.
【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为，
因为一条渐近线的倾斜角为，所以，
双曲线经过点，则，
联立，解得，
所以双曲线方程为：.
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设，，
因为，所以即，
整理得①，
由，得到，
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
故且，
所以，
由题设有①对任意的总成立，
因为，
所以①可转化为，
整理得到对任意的总成立，
故，解得，故猜想所求的定点M的坐标为．
当直线l的斜率不存在时，则，此时或，
此时或，都满足；
综上，定点M的坐标为．
55．（2022·河南·统考一模）已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）首先得，再将点的坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；
（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可
【详解】（1）由题意得，，
所以，所以，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，此时；
当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；
综上所述，故存在满足题意
56．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②存在；或
【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可.
【详解】（1）令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
（2）设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．