考点13 抛物线焦点弦12个常用结论及其4个应用-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1、抛物线焦点弦的常用结论
设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则
（1）．
证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．
当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．
焦半径长公式：（坐标式）；
夹角式：（在轴上方，在轴下方）．
证明：由抛物线的定义易得．
又，同理可证．
焦点弦长公式：．
证明：由（2）可得弦长：
通径长公式：（通径最短）．
证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．
AF，BF的数量关系：．
证明：由，得，又
，
．
三角形AOB的面积：．
证明：点到直线的距离就是的高，，
．
中点弦斜率：若斜率为，，则．
证明：，由点差法得
直线的斜率之和为零，即．
证明：，，
，
分子，
直线的斜率之和为零：，即．
（9）焦点弦与圆有关的结论
①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切）
②以为直径的圆与轴相切；
③以为直径的圆与轴相切；
④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知
，
即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．
④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切
已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切.
（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论
①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；
②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
④以为直径的圆必过原点，即；
⑤．
证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，
直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．
④由抛物线的定义知，////，
，而，即．
⑤易知，又．
点三点共线；点三点共线．
证明：由（1）知．
点三点共线．同理可证：点三点共线．
（12）如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．
证明：．设，则
，直线方程为，
即，直线AB过定点．
与抛物线焦点弦有关的比例问题
一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化.
已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：~，因此有；如~，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式.
考点一 与抛物线有关的焦点弦的几何性质
1．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（ ）
A．4B．C．D．
2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______.
3．（2021秋·广东·高三统考阶段练习）直线过抛物线的焦点交抛物线于、两点.若，为原点，则的重心的横坐标为（ ）
A．4.B．8C．16D．24
4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______.
5．【多选】（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．【多选】（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的斜率为B．为等腰直角三角形
C．D．，，三点共线
7．【多选】（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（ ）
A．4B．C．2D．
考点二 与抛物线焦点弦有关的比例问题
9．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
10．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（ ）
A．B．C．3D．4
11．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（ ）
A．2B．3C．D．
12．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，设A在x轴上方，点B在x轴下方．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线：焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点.
(1)请写出一组满足的点，的坐标；
(2)证明：；
(3)若过点的直线与抛物线交于，两点，点，若，求的面积.
考点三 抛物线的通径问题
14．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）抛物线的通径长为_______
15．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知点到抛物线的准线的距离为4，那么抛物线的通径（过焦点并垂直于轴的弦）长是（ ）
A．8B．8或24C．12D．12或24
16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为( )
A．2B．C．1D．
17．（2022·全国·高三专题练习）若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则___________.
18．【多选】（2022秋·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期中）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
19．（2022·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（ ）
A．B．C．1D．2
考点四 与焦点弦有关的最值问题
20．（2023秋·重庆巫山·高二校考期末）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．
21．（2022秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（ ）
A．40B．36C．28D．24
22．（2022秋·陕西西安·高二西安市第三中学校考期中）已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．20
23．（2022秋·山西吕梁·高二统考期中）已知过抛物线的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段的中点，P为抛物线C上任意一点，若的最小值为6，则（ ）
A．2B．3C．6D．