考点21 导数的概念、运算及几何意义4种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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1、导数运算的原则和方法
（1）导数计算的原则：
先化简解析式，再求导．
（2）导数计算的方法：
①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导
⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
2、求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
3、已知斜率求切点：
已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
4、利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
5、求解与导数的几何意义有关问题的注意点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
6、解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(fx1－gx2,x1－x2)．
考点一 平均变化率和瞬时变化率
考点二 导数定义的应用
考点三 导数的运算
考点四 导数的几何意义及应用
（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
（2）求切线的倾斜角
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
（2）过某点的曲线的切线问题
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
（四）由曲线的切线条数求参数
（五）两条切线平行、垂直问题
（六）两曲线的公切线问题
（七）距离最值问题
考点一 平均变化率和瞬时变化率
1．（2023·高二课时练习）已知自由落体运动中，物体下落的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）满足的函数关系为，则处于100 m高的物体在开始落下到1秒这段时间中的平均速度是______m/s．
【答案】4.9
【分析】根据平均速度的定义，直接求解即可得到结果.
【详解】由已知可得，物体在开始落下到1秒这段时间中的平均速度是.
故答案为：.
2．（2023秋·福建南平·高二统考期末）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
3．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）一质点做直线运动，它所经过的路程s与时间t的关系为，若该质点在时间段内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（ ）
A．10B．16C．26D．28
【答案】C
【分析】利用计算，利用计算，相加可得答案.
【详解】由题，.
由题，.则.
故选：C
4．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得杯中溶液上升高度，求导，再令即可得解.
【详解】由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，
则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.
故选：B.
考点二 导数定义的应用
5．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知函数的导函数为,且，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】根据导数的概念与瞬时变化率对所求式子化简，即可结合已知得出答案.
【详解】，
故选：A.
6．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2B．1C．－1D．－2
【答案】D
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D.
7．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）若，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.
【详解】由题意可知，，
.
故选：D.
8．（2023·全国·高二专题练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又
即
故选：D.
考点三 导数的运算
9．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可
【详解】对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D不正确，
故选：C.
10．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）下列函数的求导运算中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据求导法则依次计算得到ACD正确，，B错误，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，正确.
故选：C
11．（2023春·福建福州·高二校考阶段练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将导数的乘法法则与复合函数求导相结合可得结果；
（2）将导数的除法法则与复合函数求导相结合可得结果；
【详解】（1）
（2）
12．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数运算法则直接求解即可.
【详解】.
故选：A.
13．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知函数，则______.
【答案】0
【分析】求出导函数，代入求值即可
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：0
14．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）已知，若，则a的值是___________．
【答案】1
【分析】先求导，再根据求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
解得，
故答案为：1
15．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知函数的导函数为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的运算求函数的导数，先确定的值，即可得的解析式，从而可得的值.
【详解】因为，所以，则，
解得，故，则.
故选：C.
16．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．－8D．1
【答案】C
【分析】求导，解得，得到求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
17．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令求得，求出，令求得，从而得，即可求得．
【详解】令，得，解得，
，令，得，解得，
所以，所以，所以7．
故选：D．
18．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）设函数，已知，，，，则（ ）
A．－2B．－1C．D．3
【答案】B
【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：B.
19．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据为偶函数，得出为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出，的周期即可求解.
【详解】依题意，因为为偶函数，
所以，所以，
所以为奇函数且，
因为，
令，则有，
解得，
因为，
所以，又
所以
由，
得，所以是以4为周期的周期函数，
所以，
由，得，
又，所以，
所以
所以是以4为周期的周期函数，
所以，
所以.
故选：C.
考点四 导数的几何意义及应用
（一）切线的斜率与倾斜角
（1）求切线的斜率
20．（2023·全国·高二专题练习）曲线在点处的切线的斜率为____________．
【答案】2
【分析】由导数几何意义即可求.
【详解】，∴所求切线斜率为2.
故答案为：2
21．（2023·全国·高二专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
【答案】
【分析】考虑与时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将代入，得到相应的斜率，相加得到答案.
【详解】时，，设切点，
则，
切线过，
，
，
时，，切点，
，
切线过，
，
，
故.
故答案为：.
22．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.
【详解】对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；
对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；
故选：BC
（2）求切线的倾斜角
23．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.
【答案】
【分析】对函数求导数，计算时的斜率，得倾斜角.
【详解】因为，
所以，
所以，
即切线的斜率为-1，倾斜角为.
故答案为：.
24．（2023·全国·高二专题练习）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，从而可得在点处的切线的倾斜角.
【详解】，
所以.
所以在点处的切线的倾斜角是.
故选:C.
25．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．.
【答案】D
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式得到的值．
【详解】因为，
所以，
当时，，此时，
∴．
故选：D.
26．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，根据导数切线的几何意义得到，即可得到答案.
【详解】因为，，
，
所以.
所以，解得或.
故答案为：
27．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.
【详解】由可得，
，即，
当时，；
当时，.
，
故选：.
28．（2023·全国·高二专题练习）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
【答案】
【分析】先求出函数的导数，根据函数导数的几何意义，可求得斜率，进而求得倾斜角的范围.
【详解】设直线的倾斜角为
故答案为：
（二）求切线方程
（1）曲线在某点处的切线问题
29．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象在处的切线方程为______.
【答案】
【分析】根据切点处切线的斜率等于切点处函数的导数即可求解.
【详解】∵，∴，，
∴函数在处的切线方程为.
故答案为: .
30．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.
【详解】函数的定义域为，其导函数，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，
故曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
31．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）函数在其图象上的点处的切线方程为________．
【答案】
【分析】对求导，求出，再由点斜式方程即可得出答案.
【详解】，，又切点为，
切线斜率，即切线方程为，
即．
故答案为：.
32．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先计算，在借助导数得，即可求解切线方程.
【详解】,
又，，
故切线方程为，即，
故答案为：.
33．（2023·全国·高二专题练习）设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程
【详解】，函数为奇函数，有，即，
故，即，
所以，所以，，，
所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：.
故选：A.
34．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若，试判断的零点的个数．
【答案】(1)1
(2)答案见解析.
【分析】（1）先求导，把代入，得到切线的斜率，再结合切点坐标写出切线的方程，再求切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）函数的零点个数，即为方程的解的个数，再转化为函数的零点个数，对求导，分类讨论当，时函数的单调性，再找到零点的个数.
【详解】（1）若，，，所以，即切线的斜率为2.
又，即切点坐标为.
所以在处的切线方程为，
令，解得；令，解得.
所以在处的切线与坐标轴围成的面积.
（2）由且，整理得．
令，．
若，则，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点．
若，令，又，，，所以在上有两个零点且．令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，所以，，又，所以在区间上有唯一零点. ，所以在区间上有唯一零点，所以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点．
综上，若，在上有且仅有两个零点；
若，在上有且仅有3个零点．
【点睛】关于函数导数的零点问题，一般要进行分类讨论，难度比较大.
1.函数零点个数也就是函数图像与x轴交点的个数，所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题.
2.对于含参函数的零点个数，可以对函数进行适当的变形，也可以进行参变分离，利用导数研究函数的单调性和极值，做出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”.
35．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
【答案】或
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可.
【详解】因为，所以，
所以当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，
所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或，
故答案为: 或.
（2）过某点的曲线的切线问题
36．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率.
【详解】因为，所以，设切点为，所以 ，
所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程的斜率为.
故选：B
37．（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．
【答案】或
【分析】根据导数的几何意义可求出结果.
【详解】设切点为，
因为，所以，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过，所以，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：或
38．【多选】（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将代入，解方程计算出切点坐标，进而得出切线方程．
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率为
切线方程为
曲线过点，代入得
可化简为，即，解得或
则曲线过点的切线方程为或
故选：BD
39．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知函数，经过点且与相切的两条切线，斜率之和=____________.
【答案】1
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义求出切点坐标，得切线斜率即可得．
【详解】设切点为．，则，
所以，
，即，
或，，，
切线斜率之和．
故答案为：1．
40．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）过原点的直线与分别与曲线，相切，则直线斜率的乘积为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】B
【分析】设的切点分别为，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过原点解出即可求解.
【详解】设的切点分别为，
由题意可得，，
所以在处的切线为，在处的切线为，
又因为两条切线过原点，所以，解得，
所以直线斜率的乘积为，
故选：B
（三）由曲线的切线（斜率）求参数
41．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与曲线相切，则的值为___________.
【答案】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合条件即得.
【详解】设切点为，则，，
，，
，
所以，.
故答案为：.
42．（2023·高二课时练习）若直线是曲线的一条切线，则实数________.
【答案】
【分析】设出切点坐标，利用切线过原点列方程，由此求得的值.
【详解】设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
依题意切线过原点，
则，解得，
所以切线的斜率，也即的值为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线的切线，属于基础题.
43．（2023·全国·高二专题练习）直线与曲线相切于点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】直线与曲线相切于点,
可得求得的导数,可得,即可求得答案.
【详解】直线与曲线相切于点
将代入可得:
解得:


由,解得:.
可得,
根据在上
,解得:
故选:.
44．（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.
【详解】解：因为，所以.
又的图象在处的切线方程为，
所以，解得，
则，所以，代入切线方程得，解得，
故.
故选：B.
（四）由曲线的切线条数求参数
45．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若曲线只有一条过坐标原点的切线，则=______.
【答案】或##或
【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
【详解】解：∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
∴切线方程为：,
∵切线过原点，
∴,整理得：,
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴,解得或,
∴或,
故答案为：或
46．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标，求解切线方程为，代入点，得到关于的含参方程，孤立参数，构造函数利用导数确定函数的取值情况，满足方程的根又两个，从而可得实数的取值范围.
【详解】解：设切点是，，即，而
故切线斜率，切线方程是，
又因为切线经过点，故，显然，
则，在上有两个交点，
令，设，则，令得，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又，，且时，，时，，时，，时，，
所以有两个交点，则或，故实数的取值范围是.
故选：C.
47．（2023·江苏·高二专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实a的取值范围为______.
【答案】
【分析】先设切点为，利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.
【详解】设切点坐标为：，，
所以切线斜率为，
即切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，
整理得，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，
所以，解得
故答案为：
48．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知函数的最小值为－1，过点的直线中有且只有两条与函数的图象相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的最小值，结合题意可得，设过点的直线与函数的图象相切的切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过点建立方程，再结合过点的直线有两条与函数的图象相切可得，解之即可求解.
【详解】因为，则，
令可得．
当时，，是增函数．
当时，，是减函数．
所以当时，有最小值，所以，
设过点的直线与函数的图象相切的切点为，
则切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，
即．
过点的直线有两条与函数的图象相切，
则，即，
解得：或．
故选：.
49．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过得关于的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得的范围．
【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，
又切线过点切线斜率为，，即，
∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．
令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，
或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，
,即，解得，
故选：D.
50．（2023·全国·高二专题练习）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
（五）两条切线平行、垂直问题
51．（2023·全国·高二专题练习）若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数求导，进而求出，由导数的几何意义，构造方程解.
【详解】由函数得，
，所以，
直线的斜率，
因为函数的图像在点处的切线与直线平行，
由导数的几何意义得，即，所以.
故选：A.
52．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.
故选：C
53．（2023·全国·高二专题练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．
【答案】3
【分析】根据导数的几何意义结合条件即得.
【详解】由，可得，
所以，
由题意知，，
所以.
故答案为：3.
54．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】求出后可求的值.
【详解】，故，
故图象在点处的切线的斜率为，
所以即，
故选：B
55．（2023·全国·高二专题练习）若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求导函数，由题可得，分类讨论和时，是否存在符合的值即可判断.
【详解】由题知，令，
则．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得，，．
当时，，，与题目矛盾；
当时，由，
可得的值域是
故，使得，
，．
故答案为：．
（六）两曲线的公切线问题
56．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）已知直线是曲线与的公切线，则__________.
【答案】
【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.
【详解】设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，
即
同理，设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，
即，
所以，解得，
所以，，.
故答案为：.
57．【多选】（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.
【详解】由题意可得，，
因为在直线l上，当为的切点时，
则，所以直线l的方程为，
又直线l与相切，
所以满足，得；
当不是的切点时，
设切点为，
则，
所以，得，
所以，所以直线的方程为.
由，得，
由题意得，所以.
综上得或.
故选:AB
58．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若直线与曲线和均相切，则直线的方程为_______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设，上的切点分别为，，
由，，可得，
故在处的切线方程为，
在处的切线方程为，
由已知,
所以，
故或，而，不合题意舍去，故，此时直线的方程为.
故答案为：.
59．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．无数条
【答案】B
【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.
【详解】如图所示
设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率；
所以，，即在点处的斜率为，
，即在点处的斜率为，
得；
又因为，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此时直线即为两条曲线的公切线；
同时，存在，和，使得，且；
所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线的条数有2条.
故选：B.
（七）距离最值问题
60．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
【答案】
【分析】根据题意，找到与直线平行且与曲线相切时的切点坐标，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果.
【详解】设直线与相切，则切线的斜率为
且，令，则，即切点的横坐标为，
将，代入，可得，即切点坐标为，
所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离，
即，
故答案为:
61．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
62．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意分析可得可以理解为点之间距离的平方，在函数的图象上作与直线平行的切线，根据导数的几何意义求得切点坐标，故的最小值为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解即可.
【详解】由题意可得：可以理解为点之间距离的平方，
即，
可知在函数的图象上，在直线上，
可得，
设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，
可得，整理得，
∵在定义域内单调递增，且，
∴方程有且仅有一个解，
则，
故的最小值为点到直线的距离，
故的最小值为.
故选：C.