考点22 函数的单调性7种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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1、利用导数求函数的单调区间：
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．
注：(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
2、利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
3、恒成立问题的重要思路：
①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
4、函数图象与导数图象
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）
在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．
（1）单调递增
①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡
②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓
（2）单调递减
①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓
②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡
函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）
考点二 含参数的函数的单调性
考点三 比较大小
考点四 解抽象不等式
考点五 已知函数的单调性求参数的取值范围
考点六 函数图象与导数图象的应用
考点七 证明不等式
考点一 利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．
3．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
考点二 含参数的函数的单调性
5．（2021春·陕西延安·高二校考期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有两个根（），求证：．
6．（2023·高二课时练习）已知函数．讨论的单调性；
7．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
8．（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
10．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.
考点三 比较大小
11．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知,则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知正实数，，，若，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考点四 解抽象不等式
16．（2023春·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．
18．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________．
19．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
考点五 已知函数的单调性求参数的取值范围
20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·全国·高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（ ）.
A．B．
C．D．
24．（2023·山东济宁·统考一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数
(1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.
26．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．不存在这样的实数k
28．（2023·全国·高三对口高考）设函数恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
考点六 函数图象与导数图象的应用
29．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，单调递增
B．在区间上，单调递增
C．在区间上，单调递增
D．在区间上，单调递增
30．（2022春·重庆·高二校联考期中）如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
考点七 证明不等式
33．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，求证：当时，.
34．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
35．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)讨论的单调性.
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)