考点27 条件概率和全概率公式4种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

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1、条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A).
2、条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A).
3、全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)·P(B|Ai). 我们称这个公式为全概率公式.
注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．
（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
4、贝叶斯公式：（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
5、解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(n（AB）,n（B）)计算；思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(P（AB）,P（B）)计算. 当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
考点一 条件概率的计算
考点二 条件概率的性质及概率乘法公式应用
考点四 全概率公式的应用
考点五 贝叶斯公式的应用
考点一 条件概率的计算
1．（2023春·山西太原·高二统考期中）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．
5．（2023春·广东深圳·高二校考期中）花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．
6．（2023春·山西·高二统考期中）标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A．B．
C．D．
7．【多选】（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（ ）
A．A与B互斥B．A与C独立C．D．
考点二 条件概率的性质及概率乘法公式应用
8．（2023春·陕西西安·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．B．是可能的
C．D．
9．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）已知， ，则__________．
10．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知，，，那么____________．
11．（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）已知随机事件A，B，，，，则________.
12．（2023秋·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期末）记为事件的对立事件，且，则___________.
13．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.故试着证明条件概率的性质（1）和（2）．设，则
(1)；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则；
考点三 全概率公式的应用
14．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知P（B）=0.3，，，则=（ ）
A．B．C．D．
15．（2023秋·广东·高三统考期末）某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为___________.
16．（2023春·广东深圳·高二校考期中）10支步枪中有6支已经校准过，4支未校准，一名射击运动员用校准过的枪射击时，中靶的概率为，用未校准的枪射击时，中靶的概率为，现从10支中任取一支射击，则中靶的概率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.
18．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）
A．0.475B．0.525C．0.425D．0.575
19．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）甲罐中有4个红球，4个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则的值为________.
20．（2023春·山西·高二统考期中）某车间使用甲､乙､丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，且甲和乙加工的零件数分别占总数的.如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是（ ）
A．B．C．D．
21．【多选】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件（）相互独立
B．
C．
D．
22．（2023秋·山东日照·高二统考期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．
考点四 贝叶斯公式的应用
23．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示，．已知某地人群中患有此种癌症的概率为，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．
24．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16B．0.32C．0.42D．0.84
25．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
27．【多选】（2023秋·广西桂林·高二统考期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
28．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求：
(1)它是不合格品的概率；
(2)若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由）