2022-2023学年福建省福州日升中学八年级下学期期末数学试题

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注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2.请将答案正确填写在答题卡上．
一、选择题（本题共10小，每题4分，共40分）
1. 我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图所示是我国四大银行的行标图案，其中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，解题关键是熟练掌握定义、性质.
2. 一次函数y=（m－2）xn－1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（ ）
A. m≠2，n=2B. m=2，n=2C. m≠2，n=1D. m=2，n=1
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵一次函数y=（m－2）xn－1+3是关于x的一次函数，
∴n－1=1，m－2≠0，
解得：n=2，m≠2．
故选A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握系数和次数是解题关键．
3. 某鞋店在一周内同一款不同尺码品牌鞋的销量情况如图所示，若尺码不同的每双鞋的利润相同，则下一周该鞋店应多进鞋的尺码是（ ）
A. 22.5B. 23C. 23.5D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据折线统计图，可知：23.5码的鞋子销量最多，进而即可得到答案．
【详解】根据同一款不同尺码品牌鞋的销量情况折线统计图，可知：23.5码的鞋子销量最多．
故选C．
【点睛】本题主要考查折线统计图，掌握折线统计图的特征，是解题的关键．
4. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ）
A. 度量四个内角是否相等
B. 测量两条对角线是否相等
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A选项，四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
B选项，对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
C选项，两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
D选项，分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的判定方法，解题的关键是掌握对角形互相垂直且平分的四边形是菱形．
5. 某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
6. 已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A. 该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为B. 若x满足，则当时，函数y有最小值
C. 该函数的图象与一次函数的图象相互平行D. 若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
【答案】B
【解析】
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、当时，，当时，，
∴与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意；
B、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意；
C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意；
D、当时，，解得：；
当时，，解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x取值范围是，选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
7. 小明得到育才学校数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表：
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A. 众数，中位数B. 中位数，方差C. 平均数，中位数D. 平均数，方差
【答案】A
【解析】
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选A．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8. 关于x的方程，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，方程无实数根B. 当时，方程只有一个实数根
C. 当时，有两个不相等的实数根D. 当时，方程有两个相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据的值确定方程的类型，若为一元一次方程，直接求解；若为一元二次方程，根的个数用判别式进行判断．
【详解】A．当时，原方程可化为：，解得，有一个实数根，故A错误；
B．当时，原方程可化为：，解得，有两个相等的实数根，故B错误；
C．当时，原方程可化为：，解得，有两个不相等的实数根，故C正确；
D．当时，，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D错误
故选：C．
【点睛】本题考查了含有参数的一元一次方程，一元二次方程的解法，熟练掌握方程根的个数的判断方法是解题的关键．
9. 如图，平行四边形中，过A作于M，交BD于E，过C作于N，交BD于F，连结AF、CE，则下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②四边形是平行四边形；
③当时，四边形是菱形；
④当M、N分别是中点时，四边形是正方形；
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，再因为可得，利用定理可判断①；由一组对边平行且相等可证明四边形为平行四边形，可判断②；利用菱形的性质可得，再利用菱形的判定定理可判断③；根据正方形的判定可判断④．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
连接，
∵四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形AECF为菱形，故③正确；
∵，，
∴四边形是矩形，
当M、N分别是中点时，也不能说明，故④错误；
综上，①②③正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定定理、矩形和正方形的判定、全等三角形的判定与性质，综合运用各定理是解答此题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，

∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时，是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴有最小值为，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键．
二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）
11. 已知一元二次方程有一个根为2，则m值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】把代入原方程，解方程即可．
【详解】解：一元二次方程有一个根为2，
所以，，
解得，，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解．
12. 下表是某公司员工月收入的资料：
则这个公司员工月收入的平均数是________万元．
【答案】
【解析】
【分析】各个数据之和再除以数据个数即可得到平均数．
【详解】解：（万元），
∴这个公司员工月收入的平均数是万元．
故答案为：．
【点睛】本题考查平均数．掌握平均数的计算公式是解题的关键．
13. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．
【答案】16
【解析】
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
14. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支=43．
【详解】解：设主干长出x个支干，
，整理得：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
15. 如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，…，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出、的长，再根据规律可得的长．
【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
∴点坐标为，点坐标为，即，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
又∵以为边作正方形，点坐标为，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∵以为边作正方形，
∴轴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴正方形的边长为，
按照前面的方法可得：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴，
同理：第三个正方形的边长是，，，，，，
……，
依此类推，（，为整数），
∴，
∴的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．
16. 如图，中，//轴，．点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，点P是CD边上不与点C，D重合的一个动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，点P的坐标为______．
【答案】，或，
【解析】
【分析】先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则，；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得，．
【详解】解：设的直线解析式为，
将，代入可得，
，
解得，
，
，
点是边上，轴，
设，
轴，
，
，，
当在轴负半轴时，如图，
由折叠可知，，
，
在△中，，
在△中，，，
，
，
解得，
，；
当在轴正半轴时，如图，
同理可得，，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，，
故答案为，或，．
【点睛】本题考查折叠性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共86分）
17. 解方程
（1）2x2+4x+1=0 （配方法）
（2）x2+6x=5（公式法）
【答案】（1）
（2），．
【解析】
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【小问1详解】
（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
【小问2详解】
解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，
则x= =﹣3
，．
【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键．
18. 如图，在中，以为圆心，为半径画弧交于点．再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．连接并延长交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】四边形为菱形；理由见解析
【解析】
【分析】四边形为菱形．由基本作图得到平分，，则，再根据平行四边形的性质得到，所以，则，所以，即可得出结论．
【详解】解：四边形为菱形．
理由如下：
由作法得平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等角对等边，平行四边形的性质和菱形的判定．
19. 某校对九（1）班学生进行百米测验，已知女生达标成绩为秒，下面两图分别是甲、乙两小组各名女生的成绩统计图．请你根据下面统计图回答问题．

（1）甲、乙两组的达标率分别是多少？
（2）请你计算方差，比较哪个组的成绩相对稳定；
（3）从各组的平均数、中位数、达标率、方差等效据来分析，老师会表扬甲组和乙组哪个组成绩好一点？
【答案】（1）甲组的达标率是，乙组的达标率是
（2）甲组的方差是，乙组的方差是，乙组的成绩相对稳定
（3）如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，可以从中位数来说明；如果老师表扬乙组的成绩好于甲组，可以从方差来说明；理由见解析
【解析】
【分析】（1）用甲组和乙组达标的人数除以即可得出答案；
（2）先求出各组的平均数，再代入方差公式进行计算，然后比较即可得出答案；
（3）分别从平均数、中位数、达标率、方差进行分析，即可得出答案．
【小问1详解】
解：甲组的达标率是：，
乙组的达标率是：，
∴甲组的达标率是，乙组的达标率是；
【小问2详解】
∵甲组的平均数是：（秒），
乙组的平均数是：（秒），
∴甲组的方差是：，
乙组的方差是：，
∵，
∴乙组的成绩相对稳定；
【小问3详解】
甲组和乙组的平均数相同、达标率相同，甲组的方差大于乙组的方差，说明乙组的成绩稳定，甲组的中位数是秒，乙组的中位数是秒，由于用时越少成绩越好，说明甲组的成绩较好，
∴如果老师表扬甲组的成绩好于乙组，可以从中位数来说明；如果老师表扬乙组的成绩好于甲组，可以从方差来说明．
【点睛】本题考查平均数、中位数和方差的计算及意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．

（1）画出和；
（2）是的上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，则点的坐标是 ．
（3）若直接旋转得到，则旋转点M坐标是 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律得出点，再顺次连接即可得；根据坐标平移规律得出点，然后顺次连接即可得；
（2）根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律、坐标平移规律即可得；
（3）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
解：根据旋转的性质得到，
根据平移的性质得到，如图所示：
；
【小问2详解】
解：由（1）坐标变换规律得：，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：若直接旋转得到，如图，
则旋转点M坐标是．

故答案为：．
【点睛】本题考查了画旋转图形、平移图形、旋转中心，掌握点坐标变换规律是解题关键．
21. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】（1）长15米，宽10米；（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设养鸡场的宽为xcm，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，根据根的情况判断即可；
【详解】解：（1）设养鸡场宽为xcm，根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，（舍去），
∴养鸡场的长15米，宽10米；
（2）设养鸡场的宽为xcm，根据题意得：
，
整理得：，
∴，
∵方程没有实数根，
∴不能否达到200m2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
22. 因“课后延时服务”的实施，多地中小学开设体育兴趣班，乒乓球拍的需求激增．某厂家紧急生产A，B两种型号乒乓球拍，若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元；若生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元．
（1）求每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别是多少元？
（2）经测算，A型乒乓球拍每个可获利元，B型乒乓球拍每个可获利元，该厂家准备用万元资金全部生产这两种乒乓球拍，总获利w元．设生产了A型乒乓球拍a个，且要求生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
【答案】（1）每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别60元，80元，
（2）当生产A型乒乓球拍个，生产B型乒乓球拍个时，总获利最大，最大为元
【解析】
【分析】（1）设每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别x元，y元，然后根据生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元；生产个A型和个B型乒乓球拍，共需成本元列出方程组求解即可；
（2）设生产了A型乒乓球拍a个，则生产了B型乒乓球拍个，根据生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍求出，再根据利润单个利润数量列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴每个A，B型乒乓球拍生产成本分别60元，80元，
答：每个A，B型乒乓球拍的生产成本分别60元，80元；
【小问2详解】
解：设生产了A型乒乓球拍a个，则生产了B型乒乓球拍个，
∵要求生产A型乒乓球拍的数量不少于B型乒乓球拍数量的3倍，
∴，
解得；
∵A型乒乓球拍每个可获利元，B型乒乓球拍每个可获利元，
∴
，
∵，
∴当时，w最大，最大为，
∴
∴当生产A型乒乓球拍个，生产B型乒乓球拍个时，总获利最大，最大为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
23. 阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案；
（2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：；；
【小问2详解】
∵，，且，
∴，可看作方程的两个根，
∴，，
∴，
∴的值为；
【小问3详解】
∵，分别满足，，且，
∴，
∴和可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴的值为．
【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
24. 已知是正三角形，为边上一点，连接．

（1）如图1，在上截取点，使得，连接交于点，若，，求点到的距离；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，取的中点．连接，证明：；
（3）如图3，点为内部一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，．将沿翻折到同一平面内的，在线段上截取，连接．已知，，，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明，进而得出，进一步得出结果；
（2）如图2，延长至，使，连接，延长至，使，连接，证明，，，证明，，，再证明，进一步得出结论；
（3）可证得，将绕点逆时针旋转至，可证得，从而，进而得出，作，交的延长线于，可求得，和的面积，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：如图1，作于，
∴，
∵是正三角形，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点到的距离为；
【小问2详解】
如图2，延长至，使，连接，延长至，使，连接，
∵点是的中点，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，∠AHF=60°，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，∵将沿翻折到同一平面内的，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
将绕点逆时针旋转至，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
作，交的延长线于，作于点，
在，，，
∴，
在，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
25. 定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，．
（1）点在一次函数的衍生函数图象上，则 ；
（2）如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式．
（3）一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围．
【答案】（1）1或
（2）
（3）①过定点，；②或且
【解析】
【分析】（1）根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．再分类讨论：当时和当时，求解即可；
（2）根据题意可求出一次函数的衍生函数图象过点，即得出，从而得出一次函数的衍生函数为．由题意可知，，即可求出点、、的坐标分别为、、，进而可求出，，，结合三角形和梯形的面积公式可列出关于k的方程，解出k的值，即可求解；
（3）①根据题意可得，代入并整理，得：，即说明过定点，定点坐标为；
②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和，
其解析式为：，且点在内．设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，结合图象可知时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，结合图象可知且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意．
【小问1详解】
解：根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．
分类讨论：当时，则，解得：；
当时，则，解得：．
∴或．
故答案为：1或；
【小问2详解】
解：根据题意得，当时，一次函数的衍生函数图象过点
代入得：，即，
∴一次函数的衍生函数为．
∵，，
∴，，，
解得：，，，
∴点、、的坐标分别为、、，
∴，，
∴，
．
∵，
∴，
解得：，
代入检验是方程的解，
将代入，解得，
∴该一次函数的解析式为；
【小问3详解】
解：①∵，
∴，
代入，得：，
∵当时，，
∴过定点，定点坐标为；
②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和，
其解析式为：，且点在内．
设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，如图，
将代入，
解得：，，
∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；
点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，如图，
∴且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意．
∴当或且时，衍生函数图象恰好与有两个交点．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，分式方程的实际应用等知识．理解衍生函数的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．年龄（岁）
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人数