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人教B版（2019）必修四 第十一章 立体几何初步 章节测试题(含答案)
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人教B版（2019）必修四 第十一章 立体几何初步 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．在梯形ABCD中,,,.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A. B. C. D.2．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )A. B. C. D.3．正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为( )A. B. C.2 D.4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为，下底面内侧边长为，侧棱长为.将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为.已知大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为( )（参考数据：，，结果保留整数）A. B. C. D.5．已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为( )A. B. C. D.6．如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积为( )A. B. C. D.7．如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，且EF长度的最大值为b，最小值为，则( )A.7 B.6 C.5 D.38．在空间直角坐标系中,已知圆在平面xOy内,.若的面积为S,以C为顶点,圆A为底面的几何体的体积为V,则的最大值为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点,O为圆心）,点B为圆O上异于A,C的动点,,则下列结论正确的为( )A. 圆锥SO的侧面积为B.的取值范围为C.若,E为线段AB上的动点,则D. 过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为10．已知正方体中,O为的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O三点共线 B. A,M,O,四点共面C.A,O,C,M四点共面 D.B,,O,M四点共面11．在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为四边形内一点（包含边界），若平面AEC，则下列结论正确的是( )A. B.三棱锥的体积为定值C.线段长度的最小值为 D.的最小值是12．如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的倍，E，F，H分别是AB，AC，BC的中点，D为PH的中点，且，则下列结论中正确的是( )A.平面平面ABC B.平面平面PAHC.平面平面ABC D.平面平面PBC三、填空题13．刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为___________.14．已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则过,E,F三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为________.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）16．图1阴影部分是由长方体ABCD和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3半圆O和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖暅原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为______.四、解答题17．如图,在四棱锥,底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点,F为AB的中点,.（1）求四棱锥体积; （2）证明：平面PFC;（3）证明：平面平面PCD.18．在三棱锥中,底面ABC是边长为的等边三角形,点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O,且PB与底面ABC所成角为,点M为线段PO上一动点.(1)求证：;(2)是否存在点M,使得二面角的余弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.19．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，M为的中点，如图2：（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离.21．如图，在四棱锥中，底面是正方形；侧棱底面，.（1）证明：平面平面；（2）点H在棱上，当二面角的余弦值为时，求.22．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点E满足.（1）若，求证平面；（2）求点C到平面的距离；（3）若平面ABC与平面的夹角的正弦值为，求的值. 参考答案1．答案：A解析：在梯形ABCD中, ,,,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为,高为的圆柱减去一个底面半径为,高为的圆锥,几何体的表面积为：.故选：A．2．答案：C解析：球O的半径为R,则,解得：,由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,体积最大值为.故选：C.3．答案：B解析：正四面体中，取的中心为H,则平面，故，，其中，由勾股定理得，故点N到平面的距离为，又，故，又，，取的中点T，连接，则，则，故，设点A到平面的距离为d，故，即，解得.故选：B.4．答案：B解析：如图，平面为大米铺平后所在的平面.连接，，.分别取，的中心O，（它们分别在，上），连接，则与平面的交点必在上且为的中心.在正四棱台的对角面中，，，，，易得，分别为，的三等分点，，，所以.又因为大米的体积约为，所以方斗内剩余的大米质量约为.故选B.5．答案：D解析：设该正方体外接球的半径为R，依题意，，解得，故，则，解得.分别取棱AB，BC的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形，建立如图所示空间直角坐标系，，，，.，，，则，，所以，，又，所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，，所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为.故选D.6．答案：C解析：如图，取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，由题意知，设，在直角三角形CFM中，.在直角三角形CFN中，，即，所以，化简得，结合，，解得，所以，.过点P作平面EFGH，连接ON，如图，则正四棱锥的高，所以正四棱锥的体积.故选C.7．答案：B解析：如图，过点F作，交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得.平面，平面，，平面平面，又平面EFG，平面，又平面平面，平面，，为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，，，，，，得，则，，故选B.8．答案：B解析：因为圆的方程,所以.故,到平面的投影为,过作OA垂线交与点D,故CD是的高,,所以到直线OA的距离为d,,故,所以.因为圆A的底面半径为1,所以圆A底面积,又,所以.,当时,取得最小值为,故.故选：B.9．答案：AC解析：对选项A：母线长,侧面积为,正确;对选项B：中,,,则当时,,错误;对选项C：为等腰直角三角形,,将放平得到,如图2所示,当,E,C三点共线时最小,F为AB中点,连接,则,,,正确;对选项D：如图3,设截面为SMN,Q为MN中点,连接OQ,SQ,设,,则,当,即时等号成立,D错误.故选：AC.10．答案：ABC解析：连接,AC,AO因为O为 的中点, 所以,平面平面 因为平面,平面,所以点M是平面和平面的所以A,M,O三点共线, 故A正确;因为 A,M,O三点共线, 所以A,M,O,四点共面,A,M,O,C四点共面,故BC正确;取AC中点, 连接 交 于点E, 由题意得,,所以, 即M 为 的三等分点, 因为 O,,B不共线, O,,平面,平面 ,E为 的中点,所以点平面 ,B,,O,M四点不共面, 故D错.故选: ABC.11．答案：BCD解析：取中点G，连接,,，易知，平面AEC，平面AEC，平面AEC；同理可得：平面AEC，又，平面，平面平面AEC，又平面AEC，平面，又P为四边形内一点（包含边界），.对于A，当P在G处时，与不垂直，A错误；对于B，为定值，P到平面的距离等于平面的距离，即，，B正确；对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离，在中，，，，设点到线段的距离为d，则，解得：，即线段长度的最小值为，C正确；对于D，设，，则，（当且仅当时等号成立），又，的最小值是，D正确.故选：BCD.12．答案：ABD解析：选项A，因为H是BC的中点，在等腰三角形PBC中，，在等腰三角形ABC中，，又因为，PH，平面PAH中，所以平面PAH，因为平面ABC，所以平面平面ABC，故A正确；选项B，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以，所以平面PAH，因为平面PEF，所以平面平面PAH，故B正确；选项C，由已知条件可知，O为EF的中点，则，若平面平面ABC，则平面ABC，根据正三棱锥的结构特征可知点P在底面ABC内的射影是三角形ABC的中心，同时也是AH的三等分点，而此处O为AH的中点，故C错误；选项D，连接OD，O，D分别为AH，PH的中点，所以，因为正三棱锥的底边长为侧棱的倍，所以三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，所以，，因为，PB，平面PBC，所以平面PBC，所以平面PBC，又因为平面EFD，所以平面平面PBC，故D正确；故选：ABD.13．答案：解析：如图:E,F在平面ABCD内的垂足分别为Q,G,则,H为AB的中点,则,于是,.点G在DA边上的垂足为P,则.,,,所以茅草屋顶的面积为.故答案为:14．答案：解析：如图延长直线EF,分别交DC,DA的延长线于点H,G,连接,,分别交,,于点I,J,连接IE,JF,则五边形为所得截面,又正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,所以,平面平面,所以平面与以上两个平面的交线,所以,,,所以,.在中,所以,在中,所以.同理可得,.则五边形周长为.15．答案：解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,即,可得尺；根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为立方尺；又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.故答案为：.16．答案：或解析：图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分,将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体,可得截面都为圆环,纵截面图如下,几何体一的截面面积为几何体二的截面面积为,又两几何体等高,由祖暅原理可得两几何体的体积相等,又几何体二的体积所以几何体一的体积,故答案为:17．答案：（1）（2）见解析（3）见解析解析：（1）设四棱锥体积为,正方形ABCD的面积为,则．（2）取PC中点G,连结EG,FG,因为E、F分别为PD、AB的中点,所以,,,所以,,所以四边形AEGF为平行四边形,所以．又平面PFC,平面PFC,所以平面PFC;（3）底面正方形ABCD,平面ABCD,,又,,平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,平面PAD, 所以．又,,平面PCD,平面PCD,所以平面PCD．由（2）知,所以平面PCD,而平面PFC,所以平面平面PCD．18．答案：(1)证明见解析(2)存在,且点M为PO的中点解析：（1）证明：连接AO,为等边三角形,O为BC的中点,则,因为点P在底面ABC上的射影为点O,则平面ABC,平面ABC,,,AO、平面APO,平面APO,平面APO,.（2）因为平面ABC,,以点O为坐标原点,OB、AO、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,因为平面ABC,所以,PB与底面ABC所成的角为,则、、,设点,其中,,,设平面PAB的法向量为,则,取,则,,设平面ABM的法向量为,则,取,则,由已知可得,可得,,解得,即点.因此,当点M为PO的中点时,二面角的余弦值为. 19、（1）答案：见解析解析：连接，是正方形，E是的中点，E是的中点，F是的中点，，平面，平面，平面.（2）答案：解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.20．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在正方形中，，因为，，，平面，所以平面，平面，，又在直角梯形中，，，故，，由余弦定理，所以，在中，，，所以，故，因为，，平面，所以平面.（2）解法一：由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，过点D作的垂线交于点G，平面平面，平面，则平面，所以点D到平面的距离等于线段的长度，平面，在平面内，，在三角形中，，所以，所以点D到平面的距离等于.解法二：由（1）平面，平面，所以，因为，，所以，，，所以，，设点D到平面的距离为h，根据，由（1）可知平面，即，，解得，即点D到平面的距离为.21．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连结，侧棱底面，平面，.又底面是正方形，.而且，，平面.平面.又平面，平面平面.（2）过H作交于E，过E作于F，连接.在平面中，，，，因为底面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，，为二面角的平面角.故，则.设，则，，.在中，，.在中，，.所以，当二面角的余弦值为时，.22．答案：（1）证明见解析（2）（3）或解析：（1）因为点是的中点，又是的中点所以，面，面，所以面.（2）在三棱柱中，面面，所以点E到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.又因为正方形，所以，且平面，以M为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，则，设平面的法向量为，则，令，可得法向量为，又，所以E到平面ABC的距离.（3）因为，所以，则，设面的法向量为，则，令，可得法向量为，所以，因为平面ABC与平面所成角的正弦值为，所以，可得，所以或.
人教B版（2019）必修四 第十一章 立体几何初步 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．在梯形ABCD中,,,.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A. B. C. D.2．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )A. B. C. D.3．正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为( )A. B. C.2 D.4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为，下底面内侧边长为，侧棱长为.将“方斗”内的大米铺平（即与下底面平行），测得铺平后的大米所在的四边形边长为.已知大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为( )（参考数据：，，结果保留整数）A. B. C. D.5．已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为( )A. B. C. D.6．如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积为( )A. B. C. D.7．如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，且EF长度的最大值为b，最小值为，则( )A.7 B.6 C.5 D.38．在空间直角坐标系中,已知圆在平面xOy内,.若的面积为S,以C为顶点,圆A为底面的几何体的体积为V,则的最大值为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点,O为圆心）,点B为圆O上异于A,C的动点,,则下列结论正确的为( )A. 圆锥SO的侧面积为B.的取值范围为C.若,E为线段AB上的动点,则D. 过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为10．已知正方体中,O为的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是( )A.A,M,O三点共线 B. A,M,O,四点共面C.A,O,C,M四点共面 D.B,,O,M四点共面11．在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为四边形内一点（包含边界），若平面AEC，则下列结论正确的是( )A. B.三棱锥的体积为定值C.线段长度的最小值为 D.的最小值是12．如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的倍，E，F，H分别是AB，AC，BC的中点，D为PH的中点，且，则下列结论中正确的是( )A.平面平面ABC B.平面平面PAHC.平面平面ABC D.平面平面PBC三、填空题13．刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为___________.14．已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则过,E,F三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为________.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）16．图1阴影部分是由长方体ABCD和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3半圆O和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖暅原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为______.四、解答题17．如图,在四棱锥,底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点,F为AB的中点,.（1）求四棱锥体积; （2）证明：平面PFC;（3）证明：平面平面PCD.18．在三棱锥中,底面ABC是边长为的等边三角形,点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O,且PB与底面ABC所成角为,点M为线段PO上一动点.(1)求证：;(2)是否存在点M,使得二面角的余弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.19．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，M为的中点，如图2：（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离.21．如图，在四棱锥中，底面是正方形；侧棱底面，.（1）证明：平面平面；（2）点H在棱上，当二面角的余弦值为时，求.22．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点E满足.（1）若，求证平面；（2）求点C到平面的距离；（3）若平面ABC与平面的夹角的正弦值为，求的值. 参考答案1．答案：A解析：在梯形ABCD中, ,,,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为,高为的圆柱减去一个底面半径为,高为的圆锥,几何体的表面积为：.故选：A．2．答案：C解析：球O的半径为R,则,解得：,由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,体积最大值为.故选：C.3．答案：B解析：正四面体中，取的中心为H,则平面，故，，其中，由勾股定理得，故点N到平面的距离为，又，故，又，，取的中点T，连接，则，则，故，设点A到平面的距离为d，故，即，解得.故选：B.4．答案：B解析：如图，平面为大米铺平后所在的平面.连接，，.分别取，的中心O，（它们分别在，上），连接，则与平面的交点必在上且为的中心.在正四棱台的对角面中，，，，，易得，分别为，的三等分点，，，所以.又因为大米的体积约为，所以方斗内剩余的大米质量约为.故选B.5．答案：D解析：设该正方体外接球的半径为R，依题意，，解得，故，则，解得.分别取棱AB，BC的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形，建立如图所示空间直角坐标系，，，，.，，，则，，所以，，又，所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，，所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为.故选D.6．答案：C解析：如图，取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，由题意知，设，在直角三角形CFM中，.在直角三角形CFN中，，即，所以，化简得，结合，，解得，所以，.过点P作平面EFGH，连接ON，如图，则正四棱锥的高，所以正四棱锥的体积.故选C.7．答案：B解析：如图，过点F作，交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得.平面，平面，，平面平面，又平面EFG，平面，又平面平面，平面，，为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，，，，，，得，则，，故选B.8．答案：B解析：因为圆的方程,所以.故,到平面的投影为,过作OA垂线交与点D,故CD是的高,,所以到直线OA的距离为d,,故,所以.因为圆A的底面半径为1,所以圆A底面积,又,所以.,当时,取得最小值为,故.故选：B.9．答案：AC解析：对选项A：母线长,侧面积为,正确;对选项B：中,,,则当时,,错误;对选项C：为等腰直角三角形,,将放平得到,如图2所示,当,E,C三点共线时最小,F为AB中点,连接,则,,,正确;对选项D：如图3,设截面为SMN,Q为MN中点,连接OQ,SQ,设,,则,当,即时等号成立,D错误.故选：AC.10．答案：ABC解析：连接,AC,AO因为O为 的中点, 所以,平面平面 因为平面,平面,所以点M是平面和平面的所以A,M,O三点共线, 故A正确;因为 A,M,O三点共线, 所以A,M,O,四点共面,A,M,O,C四点共面,故BC正确;取AC中点, 连接 交 于点E, 由题意得,,所以, 即M 为 的三等分点, 因为 O,,B不共线, O,,平面,平面 ,E为 的中点,所以点平面 ,B,,O,M四点不共面, 故D错.故选: ABC.11．答案：BCD解析：取中点G，连接,,，易知，平面AEC，平面AEC，平面AEC；同理可得：平面AEC，又，平面，平面平面AEC，又平面AEC，平面，又P为四边形内一点（包含边界），.对于A，当P在G处时，与不垂直，A错误；对于B，为定值，P到平面的距离等于平面的距离，即，，B正确；对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离，在中，，，，设点到线段的距离为d，则，解得：，即线段长度的最小值为，C正确；对于D，设，，则，（当且仅当时等号成立），又，的最小值是，D正确.故选：BCD.12．答案：ABD解析：选项A，因为H是BC的中点，在等腰三角形PBC中，，在等腰三角形ABC中，，又因为，PH，平面PAH中，所以平面PAH，因为平面ABC，所以平面平面ABC，故A正确；选项B，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以，所以平面PAH，因为平面PEF，所以平面平面PAH，故B正确；选项C，由已知条件可知，O为EF的中点，则，若平面平面ABC，则平面ABC，根据正三棱锥的结构特征可知点P在底面ABC内的射影是三角形ABC的中心，同时也是AH的三等分点，而此处O为AH的中点，故C错误；选项D，连接OD，O，D分别为AH，PH的中点，所以，因为正三棱锥的底边长为侧棱的倍，所以三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，所以，，因为，PB，平面PBC，所以平面PBC，所以平面PBC，又因为平面EFD，所以平面平面PBC，故D正确；故选：ABD.13．答案：解析：如图:E,F在平面ABCD内的垂足分别为Q,G,则,H为AB的中点,则,于是,.点G在DA边上的垂足为P,则.,,,所以茅草屋顶的面积为.故答案为:14．答案：解析：如图延长直线EF,分别交DC,DA的延长线于点H,G,连接,,分别交,,于点I,J,连接IE,JF,则五边形为所得截面,又正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,所以,平面平面,所以平面与以上两个平面的交线,所以,,,所以,.在中,所以,在中,所以.同理可得,.则五边形周长为.15．答案：解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,即,可得尺；根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为立方尺；又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.故答案为：.16．答案：或解析：图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分,将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体,可得截面都为圆环,纵截面图如下,几何体一的截面面积为几何体二的截面面积为,又两几何体等高,由祖暅原理可得两几何体的体积相等,又几何体二的体积所以几何体一的体积,故答案为:17．答案：（1）（2）见解析（3）见解析解析：（1）设四棱锥体积为,正方形ABCD的面积为,则．（2）取PC中点G,连结EG,FG,因为E、F分别为PD、AB的中点,所以,,,所以,,所以四边形AEGF为平行四边形,所以．又平面PFC,平面PFC,所以平面PFC;（3）底面正方形ABCD,平面ABCD,,又,,平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,平面PAD, 所以．又,,平面PCD,平面PCD,所以平面PCD．由（2）知,所以平面PCD,而平面PFC,所以平面平面PCD．18．答案：(1)证明见解析(2)存在,且点M为PO的中点解析：（1）证明：连接AO,为等边三角形,O为BC的中点,则,因为点P在底面ABC上的射影为点O,则平面ABC,平面ABC,,,AO、平面APO,平面APO,平面APO,.（2）因为平面ABC,,以点O为坐标原点,OB、AO、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,因为平面ABC,所以,PB与底面ABC所成的角为,则、、,设点,其中,,,设平面PAB的法向量为,则,取,则,,设平面ABM的法向量为,则,取,则,由已知可得,可得,,解得,即点.因此,当点M为PO的中点时,二面角的余弦值为. 19、（1）答案：见解析解析：连接，是正方形，E是的中点，E是的中点，F是的中点，，平面，平面，平面.（2）答案：解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.20．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：在正方形中，，因为，，，平面，所以平面，平面，，又在直角梯形中，，，故，，由余弦定理，所以，在中，，，所以，故，因为，，平面，所以平面.（2）解法一：由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，过点D作的垂线交于点G，平面平面，平面，则平面，所以点D到平面的距离等于线段的长度，平面，在平面内，，在三角形中，，所以，所以点D到平面的距离等于.解法二：由（1）平面，平面，所以，因为，，所以，，，所以，，设点D到平面的距离为h，根据，由（1）可知平面，即，，解得，即点D到平面的距离为.21．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连结，侧棱底面，平面，.又底面是正方形，.而且，，平面.平面.又平面，平面平面.（2）过H作交于E，过E作于F，连接.在平面中，，，，因为底面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，，为二面角的平面角.故，则.设，则，，.在中，，.在中，，.所以，当二面角的余弦值为时，.22．答案：（1）证明见解析（2）（3）或解析：（1）因为点是的中点，又是的中点所以，面，面，所以面.（2）在三棱柱中，面面，所以点E到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.又因为正方形，所以，且平面，以M为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，则，设平面的法向量为，则，令，可得法向量为，又，所以E到平面ABC的距离.（3）因为，所以，则，设面的法向量为，则，令，可得法向量为，所以，因为平面ABC与平面所成角的正弦值为，所以，可得，所以或.
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