2023-2024学年云南省保山市文山州高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省保山市文山州高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1≤x<3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {−1,0,1,2}C. {−1,0,1,2,3}D. {x|−1≤x<3}
2.命题“∃x∈(0,π2)，tanx>x”的否定是( )
A. ∀x∈(0,π2)，tanx>xB. ∀x∉(0,π2)，tanx≠x
C. ∀x∈(0,π2)，tanx≤xD. ∀x∉(0,π2)，tanx≤x
3.“x2>14”是“x>12”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P(−12,y)，则cs2α=( )
A. 12B. −12C. − 32D. 32
5.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子(如图1)，其平面图为如图2的扇形AOD，已知OA=3OB=3，扇面(曲边四边形ABCD)的面积是3π，则∠AOD=( )
A. π2B. 2π3C. 3π4D. 5π6
6.lg2 8+(lg54)⋅(lg225)+3lg312=( )
A. 1B. −2C. 4D. 6
7.若sinθ，csθ是方程x2+mx+m=0的两根，则m的值为( )
A. 1− 2B. 1+ 2C. −1+ 2D. −1− 2
8.若a⋅lg3a=2，b⋅3b=2，c⋅lnc=2，则a，b，c的大小关系是( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若m>n>0，则mt2>nt2B. 若m>n>0，则nmC. 若mmn>n2D. 若mn3
10.把函数y=csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称
C. 函数f(x)图象的一个对称中心为(−π12,0)
D. 函数f(x)在[0,π]上有2个零点
11.已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列不等式正确的是( )
A. lg2x+lg2y≤0B. 2x+2y≥4
C. x+ y≤4D. 1x+1y≥2
12.已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且对∀x∈R，都有f(x−1)=−f(3−x).当x∈(1,2)时，f(x)=(12)x−1.则下列结论正确的是( )
A. 函数y=f(x)是最小正周期为4的周期函数
B. 当x∈(−1,0)时，f(x)=(12)x+2−1
C. 函数y=f(x)的图象关于点(2,0)中心对称
D. 函数y=|f(x)|在(3,4)上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(2n−1)x3n−5，则f(2)= ______ ．
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______ ．
15.若不等式x2+(a−4)x+4−2a≥0对任意a∈[0,1]恒成立，则x的取值范围为______ ．
16.已知函数f(x)=1x+lg21−x1+x，则函数f(x)的定义域为______ ；
若g(x)=f(x)+1，则g(12023)+g(12024)+g(−12023)+g(−12024)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=−x2−4x−1,x≤0 x−1,x>0．
(Ⅰ)作出函数f(x)在[−4,4]的图象；
(Ⅱ)求方程f(x)−1=0的所有实数根的和．
18.(本小题12分)
设f(α)=sin(2π+α)cs(π2+α)cs(−α)sin(−π−α)．
(Ⅰ)将f(α)化为最简形式；
(Ⅱ)已知f(θ)=−3，求sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2x+1)，a>0且a≠1．
(Ⅰ)若a=2，解不等式f(x)>2；
(Ⅱ)若f(x)在[1,3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=csxsin(x+π3)− 3cs2x+ 34+m最大值为14．
(Ⅰ)求常数m的值；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．
21.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=1−m⋅3x3x+1+3是奇函数．
(Ⅰ)求m的值并利用定义证明函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若对于任意t∈R，不等式f(t2−6t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
古人云：“北人参，南三七”，三七又被誉为“南国神草”，文山是三七的主产地，是“中国三七之乡”.通过对文山某三七店铺某月(30天)每天销售袋装三七粉的调查发现：每袋的销售价格F(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足F(x)=50+10x日销售量G(x)(单位：袋)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
(Ⅰ)给出以下四个函数模型：
①G(x)=ax+b；②G(x)=a⋅lgbx；③G(x)=a⋅bx；④G(x)=a|x−m|+b．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量G(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(Ⅱ)设袋装三七粉在该月的日销售收入为P(x)(单位：元)，求P(x)的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|−1≤x<3}，
则A∩B={−1,0,1,2}．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∃x∈(0,π2)，tanx>x的否定是∀x∈(0,π2)，tanx≤x．
故选：C．
结合含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2>14，∴x>12或x<−12，
“x2>14”是“x>12”的必要不充分条件．
故选：B．
根据必要不充分条件的定义求解．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P(−12,y)，
所以csα=−12，
则cs2α=2cs2α−1=2×(−12)2−1=−12．
故选：B．
由题意利用任意角的三角函数的定义可求csα的值，进而利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设∠AOD=α(rad)，
因为OA=3OB=3，
所以OB=1，
则扇面(曲边四边形ABCD)的面积是3π=S扇形AOD−S扇形OBC=12×32×α−12×12×α=4α，
所以∠AOD=α=3π4．
故选：C．
由题意利用扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：原式=lg2232+(2lg52)(2lg25)+3lg312=32+4+12=6．
故选：D．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，sinθ+csθ=−msinθcsθ=m，
所以1=sin2θ+cs2θ=(sinθ+csθ)2−2sinθcsθ=m2−2m，
解得m=1± 2，
因为Δ=m2−4m≥0，即m≥4或m≤0，
所以m=1− 2．
故选：A．
由已知结合方程的根与系数关系及同角平方关系即可求解．
本题主要考查了同角平方关系的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得，lg3a=2a，3b=2b，lnc=2c，
构造函数y=lg3x，y=lnx，y=3x，y=2x，作出函数图象，
结合函数图象可知，b故选：A．
由题意得，lg3a=2a，3b=2b，lnc=2c，构造函数y=lg3x，y=lnx，y=3x，y=2x，作出函数图象，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了函数零点的判断，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：当t=0时，A显然错误；
当m>n>0时，m2>n2，则mn>nm，B正确；
当mmn，mn>n2，即m2>mn>n2，C正确；
当m故选：BC．
举出反例检验选项A；结合不等式的性质检验选项B，C，D．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：函数y=csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=cs2x的图象，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y=f(x)=cs[2(x+π3)]=cs(2x+2π3)的图象；
对于A：函数的最小正周期为2π2=π，故A正确；
对于B：当x=π12时，f(π12)=cs(π6+2π3)=− 32≠±1，故B错误；
对于C：当x=−π12时，f(−π12)=cs(−π6+2π3)=0，故C正确；
对于D：由于x∈[0,π]，故2x+2π3∈[2π3,2π+2π3]，故函数在该区间上有两个零点，故D正确．
故选：ACD．
首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数f(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+y=2，
所以xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x=y=1时取等号，
所以lg2x+lg2y=lg2xy≤0，A正确；
2x+2y≥2 2x⋅2y=2 2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，B正确；
( x+ y2)2≤x+y2=1，当且仅当x=y=1时取等号，
所以 x+ y≤2，C错误；
1x+1y=x+y2x+x+y2y=1+y2x+x2y≥1+2 y2x⋅x2y=2，当且仅当x=y=1时取等号，D正确．
故选：ABD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由可知函数f(x)为奇函数，f(x−1)=−f(3−x)，可得f(x+2)=−f(−x)=f(x)，
所以函数f(x)的一个周期是2，故A错误；
因为x∈(1,2)时，f(x)=(12)x−1，f(x+2)=f(x)⇒x∈(−1,0)时，f(x+2)=(12)x+2−1=f(x)，故B正确；
因为f(x)是奇函数，则f(x)关于点(0,0)中心对称，
又函数y=f(x)的一个周期是2，故y=f(x)关于点(2,0)中心对称，故C正确；
当x∈(3,4)时，x−2∈(1,2)，则f(x−2)=(12)x−2−1=f(x)，即此时f(x)=(12)x−2−1，
由x−2∈(1,2)，可得(12)x−2−1∈(−34,−12)，
故y=|f(x)|=1−(12)x−2，由复合函数的单调性可知此时y=|f(x)|单调递增，故D错误．
故选：BC．
根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性一一判定选项即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】14．
【解析】解：因为f(x)=(2n−1)x3n−5为幂函数，
所以2n−1=1，即n=1，
所以f(x)=x−2，f(2)=14．
故答案为：14．
结合幂函数定义可求n，进而可求函数解析式，然后把x=2代入即可求解．
本题主要考查了幂函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】f(x)=2sin(2x+π3)
【解析】解：由图可知，A=2，T=4(π12−(−π6))=π，则ω=2ππ=2，
则f(x)=2sin(2x+φ)，
又2×π12+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得φ=2kπ+π3(k∈Z)，
∵|φ|<π2，∴φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3).
故答案为：f(x)=2sin(2x+π3).
根据函数的最大值求出A，根据周期可得ω，再由五点作图法求出φ，可得函数的解析式．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
15.【答案】(−∞,1]∪[2,+∞)
【解析】解：不等式x2+(a−4)x+4−2a≥0对任意a∈[0,1]恒成立，
令f(a)=(x−2)a+(x−2)2，a∈[0,1]，则f(a)≥0对任意a∈[0,1]恒成立，
当x−2≥0，即x≥2时，则f(0)=(x−2)2≥0，显然成立；
当x−2<0，即x<2时，则f(1)=x−2+(x−2)2=(x−2)(x−1)≥0，解得x≤1或x≥2，
∴x≤1；
综上所述，x的取值范围为(−∞,1]∪[2,+∞)．
故答案为：(−∞,1]∪[2,+∞)．
题意转化为令f(a)=(x−2)a+(x−2)2，a∈[0,1]，则f(a)≥0对任意a∈[0,1]恒成立，利用一次函数的性质，分类讨论x−2≥0，x−2<0，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】(−1,0)∪(0,1) 4
【解析】解：对于函数f(x)=1x+lg21−x1+x，应有x≠01−x1+x>0，即x≠0x−1x+1<0，
解得−1故函数f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)；
若g(x)=f(x)+1，则g(−x)+g(x)=−1x+lg21+x1−x+1+1x+lg21−x1+x+1=2，
所以g(12023)+g(12024)+g(−12023)+g(−12024)=2+2=4．
故答案为：(−1,0)∪(0,1)；4．
由题意得x≠01−x1+x>0，解不等式即可求解函数定义域；然后结合函数的奇偶性可求函数值．
本题主要考查了函数定义域的求解，还考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)

(2)若x≤0，则f(x)−1=−x2−4x−2=0⇒x= 2−2或x=− 2−2，
若x>0，则f(x)−1= x−2=0⇒x=4，
即f(x)−1=0的实数根为x=− 2−2或x= 2−2或x=4，
综上，所有实数根之和为 2−2+(− 2−2)+4=0．
【解析】(1)根据二次函数与幂函数的性质作图即可；
(2)直接解方程求和即可．
本题考查了分段函数的图象，函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想，属基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)f(α)=sin(2π+α)cs(π2+α)cs(−α)sin(−π−α)=sinα(−sinα)csαsinα=−tanα；
(Ⅱ)已知f(θ)=−tanθ=−3，
所以tanθ=3，
所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=9+39+1=65．
【解析】(Ⅰ)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解；
(Ⅱ)利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=lg2(2x+1)>2化为：2x+1>22，解得x>32，
所以不等式的解集为(32,+∞)；
(Ⅱ)当a>1时，函数f(x)在[1,3]上为单调递增函数，
则当x=1时，f(x)min=lga3，当x=3时，f(x)max=lga7，
所以lga7−lga3=lga73=1，解得a=73；
当0则f(x)min=f(3)=lga7，f(x)max=f(1)=lga3，
则lga3−lga7=lga37=1，解得a=37，
综上，实数a的值为73或37．
【解析】(Ⅰ)代入a的值，利用对数的运算性质即可求解；(Ⅱ)讨论a>1，0本题考查了对数函数的性质，考查了学生的分类讨论思想的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(I)f(x)=csxsin(x+π3)− 3cs2x+ 34+m
=csx(12sinx+ 32csx)− 3cs2x+ 34+m
=12sinxcsx− 32cs2x+ 34+m
=14sin2x− 34cs2x+m
=12sin(2x−π3)+m≤12+m，
故12+m=14，
所以m=−14；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(x)=12sin(2x−π3)−14，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得，kπ−π12≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
故函数f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,5π12].
【解析】(Ⅰ)先结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的最值即可求解；
(Ⅱ)结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=1−m⋅3x3x+1+3是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0，即1−m3+3=0，解得m=1，
此时f(x)=1−3x3x+1+3，f(−x)=1−3−x3−x+1+3=3x−13+3x+1=−f(x)，满足题意，
所以m的值为1．
证明：设x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=1−3x13x1+1+3−1−3x23x2+1+3=(1−3x1)(3x2+1)−(1−3x2)(3x1+1)3(3x1+1)(3x2+1)=2(3x2−3x1)3(3x1+1)(3x2+1)，
由x10，3x1+1>0，3x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以f(x)是减函数；
(Ⅱ)因为f(x)是R上的减函数，且为奇函数，
故不等式f(t2−6t)+f(2t2−k)<0可化为f(t2−6t)<−f(2t2−k)=f(k−2t2)，
所以t2−6t>k−2t2恒成立，即k<3t2−6t恒成立，
因为3t2−6t=3(t−1)2−3≥−3，
所以k<−3，
即k的取值范围是(−∞,−3)．
【解析】(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(0)=0，从而可求得m的值，并进行验证，利用函数单调性的定义证明即可；
(Ⅱ)由函数的单调性与奇偶性将不等式脱去“f”，再利用参变量分离法，即可求解k的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由表格数据知：G(x)先递增后递减，显然模型①②③均不符合；
故合适的模型为④G(x)=a|x−m|+b且a≠0，将数据代入可得，
a|15−m|+b=60a|20−m|+b=65a|25−m|+b=60，则 m=20a=−1b=65，故G(x)=−|x−20|+65，
表格其他数据也满足上述函数式，
所以G(x)=x+45,0(Ⅱ)由题设P(x)=F(x)G(x)=(50+10x)(x+45)=50x+450x+2260,0当且仅当x=3时等号成立，此时最小值为2560元；
当20≤x≤30,P(x)=850x−50x+4240单调递减，故最小值为P(30)=376813元；综上，P(x)的最小值为2560元．
【解析】(Ⅰ)根据表格数据变化趋势判断合适模型，再将数据代入求参数，即可得函数解析式．
(Ⅱ)由P(x)=F(x)G(x)，应用基本不等式、分式型函数的单调性求最小值即可．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．x
5
10
15
20
25
30
G(x)
50
55
60
65
60
55