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2023-2024学年四川省泸州市叙永一中高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省泸州市叙永一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={−2,−1,0,1,2}，A={x|−2A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}
2.已知命题“∃x∈R，使2x2+(a−1)x+12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)B. (−1,3)C. (−3,+∞)D. (−3,1)
3.“ab>0”是“ba+ab≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2在(0,+∞)上是减函数，则f(m)的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
5.设a∈R，若关于x的不等式x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则( )
A. a≤2B. a≥2C. a≤52D. a≥52
6.若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是( )
A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]
7.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v=wln(1+Mm)，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M=3m时，v=5.544千米/秒．在保持w不变的情况下，若m=25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693)( )
A. 135吨B. 160吨C. 185吨D. 210吨
8.将函数f(x)=3cs(x−π3)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移π3个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)g(x2)=16，且x1，x2∈[−2π,2π]，则2x1−x2的最大值为( )
A. 133πB. 103πC. 52πD. 256π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. 0∉⌀B. ⌀⊆{0}C. {⌀}⊆{0}D. ⌀⫋{⌀}
10.已知函数f(x)=ex+e−xex−e−x，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的定义域为RB. f(x)是奇函数
C. f(x)在定义域上是减函数D. f(x)无最小值，无最大值
11.已知函数f(x)=sin(ωx−π4))(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是( )
A. f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点
B. f(x)的最小正周期可能是π2
C. ω的取值范围是[134,174]
D. f(x)在区间(0,π15)上单调递增
12.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为19B. 1a+2b的最小值为9
C. a2+b2的最小值为15D. (a+1)(b+1)的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x>1，且x+1x=2 2，则1x−x= ______ ．
14.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为 ．
15.已知x是第二象限的角.化简： 1+sinx1−sinx− 1−sinx1+sinx的值为______ ．
16.已知正实数a，b满足8(b+1)3+10b+1≤a3+5a，则3a+2b的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；
(2)lg2 2+lg927+3lg316．
18.(本小题12分)
集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈R时，若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知角α是第三象限角，tanα=12．
(1)求sinα，csα的值；
(2)求1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)的值．
20.(本小题12分)
为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量f(t)(单位：mg/m3)与时间t(单位：h)的函数关系为f(t)=kt,0(1)求k的值；
(2)若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)，且函数图象中相邻两条对称轴间的距离为π2．
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π2,0]时，求函数f(x)的最值，并写出相应的自变量的取值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且满足f(x)−g(x)=m1−x(m>1)．
(Ⅰ)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(Ⅱ)若函数h(x)=|1m[f(x)+g(x)]−1|，且方程[h(x)]2−2kh(x)+k2−116=0恰有三个解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先求出∁UA={−2,1,2}，再由交集的定义求出B∩(∁UA)．
【解答】
解：全集U={−2,−1,0,1,2}，A={x|−2∴∁UA={−2,1,2}，
则B∩(∁UA)={1}．
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈R，使2x2+(a−1)x+12≤0”是假命题，
则∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0，
所以Δ=(a−1)2−4×2×12<0，解得−1故实数a的取值范围是(−1,3)．
故选：B．
由题意可知，∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0，再结合判别式，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由ab>0可得a>0b>0或a<0b<0，
当a>0b>0时，由基本不等式可得ba+ab≥2，当a=b时，等号成立；
当a<0b<0时，ba>0，ab>0，由基本不等式可得ba+ab≥2，所以充分性满足；
当ba+ab≥2时，设t=ba，
则有t+1t≥2，由对勾函数的性质可得t>0，即ba>0，可得ab>0，所以必要性满足．
故“ab>0”是“ba+ab≥2”的充要条件．
故选：C．
由ab>0可得a>0b>0或a<0b<0，从而可得ba+ab≥2；由ba+ab≥2，可得ba>0，进而可得ab>0，即可得答案．
本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2 在(0,+∞)上是减函数，则m2−2m−2=1，且m2+m−2<0，
求得m=−1，故f(x)=x−2=1x2，故f(m)=f(−1)=1(−1)2=1，
故选：C．
由题意利用幂函数的定义和性质可得m2−2m−2=1，且m2+m−2<0，由此求得m的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(m)的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知不等式转化为a≤x+1x在[1,2]上有解，
只需a≤(x+1x)max，
又函数x+1x在[1,2]上单调递增，所以当x=2时，(x+1x)max=2+12=52，
所以a⩽52，
故选：C．
由已知不等式转化为a≤x+1x在[1,2]上有解，只需a≤(x+1x)max，然后根据对勾函数的性质求出最大值即可求解．
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】
解：∵定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，
f(x)的大致图象如图：
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0；
故f(−1)<0；
当x=0时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x=1时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x−1=2或x−1=−2时，即x=3或x=−1时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x>0时，不等式xf(x−1)≥0等价为f(x−1)≥0，
此时x>00当x<0时，不等式xf(x−1)≥0等价为f(x−1)≤0，
即x<0−2≤x−1<0，得−1≤x<0，
综上−1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：因为当M=3m时，v=5.544千米/秒，
所以5.544=wln(1+3mm)=2wln2，所以w=5.5442ln2≈4，
所以v=4ln(1+Mm)，
当m=25吨，v=8千米/秒时，有8=4ln(1+M25)，所以M=25(e2−1)≈160吨．
故选：B．
把M=3m，v=5.544千米/秒，代入函数式中可得w=4，再代入m=25吨，v=8千米/秒，即可求得M的值．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=3cs(x−π3)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，
得到y=3cs(2x−π3)，
再把所得的图象向左平移π3个单位长度，得到y=3cs[2(x+π3)−π3]=3cs(2x+π3)，
然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，
即g(x)=3cs(2x+π3)−1，
∵−4≤g(x)≤2，
∴若g(x1)g(x2)=16，则必有g(x1)=g(x2)=−4，
由(x)=3cs(2x+π3)−1=−4，得cs(2x+π3)=−1，
即2x+π3=2kπ+π，得x=kπ+π3，k∈Z，
∵g(x1)=g(x2)=−4，
∴x1=k1π+π3，k1∈Z，x2=k2π+π3，k2∈Z，
∵x1，x2∈[−2π,2π]，∴若2x1−x2的最大值，则必有x1最大，x2最小，
则当k1=1时，x1最大为x1=π+π3=4π3，当k2=−2时，x2最小为x2=−2π+π3=−5π3，
则2x1−x2的最大值为2×4π3−(−5π3)=13π3，
故选：A．
根据三角函数的图象变换关系求出g(x)，结合函数的最值得到g(x1)=g(x2)=−4，然后结合最值性质求出x1，x2的值进行计算即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，结合函数最值是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据集合与元素间的关系可得，0∉⌀，⌀⊆{0}，⌀⫋{⌀}均正确，而{⌀}⊈{0}，
故选：ABD．
根据集合与元素间的关系以及空集的定义可解．
本题考查集合与元素，集合与集合间的关系，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，函数f(x)=ex+e−xex−e−x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故A错误；
对于B，f(−x)=ex+e−xe−x−ex=−(ex+e−xex−e−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；
对于C，法1°：f(−1)=e−1+e1e−1−e1=e2+11−e2<0，同理得f(1)=e2+1e2−1>0，f(−1)法2°：f(x)=ex+e−xex−e−x=e2x+1e2x−1=1+2e2x−1在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递减，
当x→−∞，f(x)→−1，x→0−时，f(x)→−∞，当x→0+时，f(x)→+∞，x→+∞，f(x)→1，
所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；
对于D，由上面的分析知，f(x)的值域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，
所以f(x)无最小值，也无最大值，故D正确；
故选：BD．
分析f(x)的定义域、值域、奇偶性及单调性可得答案．
本题考查函数的定义域、值域、奇偶性与单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，
函数f(x)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，即0≤(1+4k)π4ω≤π有4个整数k符合，
由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，
则k=0，1，2，3，
即1+4×3≤4ω<1+4×4，
∴134≤ω<174，故C正确；
对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈[π4,ωπ+π4),
∴ωπ+π4∈(7π2,9π2)，
当ωx+π4∈[π4,7π2)时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；
当ωx+π4∈[π4,9π2)时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；故A错误；
对于B，周期T=2πω，由134≤ω<174，则417<1ω≤413，
∴8π17又π2∈(8π17,8π13]，所以f(x)的最小正周期可能是π2，故B正确；
对于D，∵x∈(0,π15)，∴ωx+π4∈(π4,ωπ15+π4)，
又ω∈[134,174),∴ωπ15+π4∈(7π15,8π15),
又8π15>π2，所以f(x)在区间(0,π15)上不一定单调递增，故D错误．
故选：BC．
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，由函数f(x)在区间0，π]上有且仅有4条对称轴，即0≤(1+4k)π4ω≤π有4个整数k符合，可求出ω∈[134,174)判断C，再利用三角函数的性质可依次判断ABD．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：∵a，b均为正数，且a+2b=1，
∴由基本不等式可得，1=a+2b≥2 2ab，解得ab≤18，
当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时等号成立，故A选项错误；
1a+2b=(1a+2b)(a+2b)=1+2ba+2ab+4≥5+2 2ba⋅2ab=9，当且仅当2ba=2ab即a=b=13时，等号成立，故B选项正确；
∵a=1−2b>0b>0，∴0结合二次函数的性质可知，a2+b2=(1−2b)2+b2=5b2−4b+1≥15，故C选项正确；
(a+1)(b+1)=2(a+b)(a+3b)=2(a2+4ab+3b2)=2[(a+2b)2−b2]=2(1−b2)<2，故D错误．
故选：BC．
根据a>0，b>0，且a+2b=1，结合基本不等式即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：∵x>1，∴1x−x=1−x2x<0，
∵(1x−x)2=1x2+x2−2=(1x+x)2−4=4，
∴1x−x=−2．
故答案为：−2．
将1x−x平方，利用完全平方公式化简，并将已知方程代入即可．
本题考查有理数指数幂的运算，属于基础题．
14.【答案】4π3− 3
【解析】解：连接AG，FG，则△AFG是边长为2的等边三角形，
所以△AFG的面积S1=12×2× 3= 3，
因为正六边形ABCDEF，所以∠FAB=2π3，
所以扇形FAB的面积为S2=12×2π3×22=4π3，
由割补法可知，阴影部分的面积S=S2−S1=4π3− 3．
故答案为：4π3− 3．
连接AG，FG，由割补法可知，阴影部分的面积=扇形FAB的面积−△AFG的面积，得解．
本题考查扇形的面积公式，熟练掌握割补法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】−2tanx
【解析】解：因为x是第二象限的角，
所以 1+sinx1−sinx− 1−sinx1+sinx= (1+sinx)2(1−sinx)(1+sinx)− (1−sinx)2(1+sinx)(1−sinx)=1+sinx|csx|−1−sinx|csx|=−1+sinxcsx+1−sinxcsx=−2sinxcsx=−2tanx．
故答案为：−2tanx．
由已知结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】4 3−2
【解析】【分析】
本题考查代数式的最小值的求法，考查导数性质、基本不等式、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
构造函数f(x)=x3+5x，由f′(x)=3x2+5>0，得f(x)=x3+5x在R上是增函数，由
f(2b+1)=8(b+1)3+10b+1≤a3+5a=f(a)，得到2b+1≤a恒成立，由此能求出3a+2b的最小值．
【解答】
解：构造函数f(x)=x3+5x，则f′(x)=3x2+5>0，
∴f(x)=x3+5x在R上是增函数，
∵f(2b+1)=8(b+1)3+10b+1≤a3+5a=f(a)，
∴2b+1≤a恒成立，
∴3a+2b≥6b+1+2b=2[(b+1)+3b+1]−2≥4 3−2，
当且仅当a=2b+1b+1=3b+1，即a=2 33b= 3−1时取等号，
∴3a+2b的最小值是4 3−2．
故答案为：4 3−2．
17.【答案】解：(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1
=[(0.3)3]−13−36+(34)0.75+1−13
=103−36+27+1−13=−5；
(2)lg2 2+lg927+3lg316
=12lg22+32lg33+16
=12+32+16=18．
【解析】(1)利用指数运算公式化简即可；
(2)利用公式lganbm=mn⋅lgab化简即可．
本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题．
18.【答案】解：集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)当B=⌀时，则m+1>2m−1，可得m<2时，满足B⊆A．
当B≠⌀时，m+1≤2m−1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需m+1≥−22m−1≤5，
可得2≤m≤3，
综上，m的取值范围是(−∞,3)．
【解析】(1)根据集合的运算，B⊆A，对B讨论，即可求实数m的取值范围；
(2)根据A∩B=⌀，建立关系式，即可求实数m的取值范围．
本题考查了集合中基本运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵α是第三象限角，且tanα=12，
∴cs2α=11+tan2α=45，
则sinα=− 1−cs2α=− 55，csα=−2 55；
(2)1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)=1+2sinαcsαsin2α−cs2α
=(sinα+csα)2(sinα−csα)(sinα+csα)
=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1
=−3．
【解析】(1)由α为第三象限角，且tanα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cs2α的值，即可确定出sinα，csα的值；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可知f(12)=112k=1，故k=2；
(2)因为k=2，所以f(t)=2t,0又因为f(t)≥34时，药物释放量对人体有害，
所以0解得38≤t<12或12≤t≤23，所以38≤t≤23，
由23−38=724，故对人体有害的时间为724h．
【解析】(1)把t=12代入即可求得k的值；
(2)根据f(t)≥34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)∵由题意可得T=π，
∴2π2ω=π，即ω=1，
即f(x)=2sin(2x+π6)+1，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
则f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．
(2)因为x∈[−π2,0]，
所以−5π6≤2x+π6≤π6，
所以当2x+π6=−π2，即x=−π3时，取最小值−1；
当2x+π6=π6，即x=0时，取最大值2．
【解析】(1)由题意可求函数周期，进而利用周期公式即可求解ω的值，利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；
(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步即可求出函数的最值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
且f(x)−g(x)=m1−x，①
又因为f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，
所以f(−x)−g(−x)=m1+x，
即f(x)+g(x)=m1+x，②
由①+②解得f(x)=12(m1−x+m1+x)，
①−②解得g(x)=12(m1+x−m1−x)；
(Ⅱ)所以f(x)+g(x)=12(m1−x+m1+x)+12(−m1−x+m1+x)=m1+x，
所以1m[f(x)+g(x)]=mx，
所以h(x)=|1m[f(x)+g(x)]−1|=|mx−1|，m>1，
作出h(x)的图象，如图所示：
又因为方程[h(x)]2−2kh(x)+k2−116=0恰有三个解，
即方程[h(x)]2−2kh(x)+(k−14)(k+14)=0恰有三个解，
所以[h(x)−(k−14)][h(x)−(k−14)]=0恰有三个解，
解得h(x)=k−14或h(x)=k+14，
又因为k−14所以h(x)的图象与y=k−14的图象有2个交点且与y=k+14有一个交点，
所以01，解得34所以实数k的取值范围为[34,54].
【解析】(Ⅰ)根据奇函数、偶函数的性质求解即可；
(Ⅱ)先求得h(x)=|mx−1|，m>1，作出图象，将问题转化为h(x)的图象与y=k−14的图象有2个交点且与y=k+14有一个交点，结合图象列出不等式组，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
1.已知全集U={−2,−1,0,1,2}，A={x|−2
2.已知命题“∃x∈R，使2x2+(a−1)x+12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)B. (−1,3)C. (−3,+∞)D. (−3,1)
3.“ab>0”是“ba+ab≥2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2在(0,+∞)上是减函数，则f(m)的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
5.设a∈R，若关于x的不等式x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则( )
A. a≤2B. a≥2C. a≤52D. a≥52
6.若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是( )
A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]
7.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v=wln(1+Mm)，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M=3m时，v=5.544千米/秒．在保持w不变的情况下，若m=25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693)( )
A. 135吨B. 160吨C. 185吨D. 210吨
8.将函数f(x)=3cs(x−π3)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移π3个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)g(x2)=16，且x1，x2∈[−2π,2π]，则2x1−x2的最大值为( )
A. 133πB. 103πC. 52πD. 256π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. 0∉⌀B. ⌀⊆{0}C. {⌀}⊆{0}D. ⌀⫋{⌀}
10.已知函数f(x)=ex+e−xex−e−x，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的定义域为RB. f(x)是奇函数
C. f(x)在定义域上是减函数D. f(x)无最小值，无最大值
11.已知函数f(x)=sin(ωx−π4))(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是( )
A. f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点
B. f(x)的最小正周期可能是π2
C. ω的取值范围是[134,174]
D. f(x)在区间(0,π15)上单调递增
12.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为19B. 1a+2b的最小值为9
C. a2+b2的最小值为15D. (a+1)(b+1)的最大值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x>1，且x+1x=2 2，则1x−x= ______ ．
14.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为 ．
15.已知x是第二象限的角.化简： 1+sinx1−sinx− 1−sinx1+sinx的值为______ ．
16.已知正实数a，b满足8(b+1)3+10b+1≤a3+5a，则3a+2b的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；
(2)lg2 2+lg927+3lg316．
18.(本小题12分)
集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈R时，若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知角α是第三象限角，tanα=12．
(1)求sinα，csα的值；
(2)求1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)的值．
20.(本小题12分)
为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量f(t)(单位：mg/m3)与时间t(单位：h)的函数关系为f(t)=kt,0
(2)若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)，且函数图象中相邻两条对称轴间的距离为π2．
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π2,0]时，求函数f(x)的最值，并写出相应的自变量的取值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且满足f(x)−g(x)=m1−x(m>1)．
(Ⅰ)求函数f(x)，g(x)的解析式；
(Ⅱ)若函数h(x)=|1m[f(x)+g(x)]−1|，且方程[h(x)]2−2kh(x)+k2−116=0恰有三个解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先求出∁UA={−2,1,2}，再由交集的定义求出B∩(∁UA)．
【解答】
解：全集U={−2,−1,0,1,2}，A={x|−2
则B∩(∁UA)={1}．
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈R，使2x2+(a−1)x+12≤0”是假命题，
则∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0，
所以Δ=(a−1)2−4×2×12<0，解得−1
故选：B．
由题意可知，∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0，再结合判别式，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由ab>0可得a>0b>0或a<0b<0，
当a>0b>0时，由基本不等式可得ba+ab≥2，当a=b时，等号成立；
当a<0b<0时，ba>0，ab>0，由基本不等式可得ba+ab≥2，所以充分性满足；
当ba+ab≥2时，设t=ba，
则有t+1t≥2，由对勾函数的性质可得t>0，即ba>0，可得ab>0，所以必要性满足．
故“ab>0”是“ba+ab≥2”的充要条件．
故选：C．
由ab>0可得a>0b>0或a<0b<0，从而可得ba+ab≥2；由ba+ab≥2，可得ba>0，进而可得ab>0，即可得答案．
本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2 在(0,+∞)上是减函数，则m2−2m−2=1，且m2+m−2<0，
求得m=−1，故f(x)=x−2=1x2，故f(m)=f(−1)=1(−1)2=1，
故选：C．
由题意利用幂函数的定义和性质可得m2−2m−2=1，且m2+m−2<0，由此求得m的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(m)的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知不等式转化为a≤x+1x在[1,2]上有解，
只需a≤(x+1x)max，
又函数x+1x在[1,2]上单调递增，所以当x=2时，(x+1x)max=2+12=52，
所以a⩽52，
故选：C．
由已知不等式转化为a≤x+1x在[1,2]上有解，只需a≤(x+1x)max，然后根据对勾函数的性质求出最大值即可求解．
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数f(x)的草图，是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】
解：∵定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，
f(x)的大致图象如图：
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0；
故f(−1)<0；
当x=0时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x=1时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x−1=2或x−1=−2时，即x=3或x=−1时，不等式xf(x−1)≥0成立，
当x>0时，不等式xf(x−1)≥0等价为f(x−1)≥0，
此时x>00
即x<0−2≤x−1<0，得−1≤x<0，
综上−1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：因为当M=3m时，v=5.544千米/秒，
所以5.544=wln(1+3mm)=2wln2，所以w=5.5442ln2≈4，
所以v=4ln(1+Mm)，
当m=25吨，v=8千米/秒时，有8=4ln(1+M25)，所以M=25(e2−1)≈160吨．
故选：B．
把M=3m，v=5.544千米/秒，代入函数式中可得w=4，再代入m=25吨，v=8千米/秒，即可求得M的值．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=3cs(x−π3)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，
得到y=3cs(2x−π3)，
再把所得的图象向左平移π3个单位长度，得到y=3cs[2(x+π3)−π3]=3cs(2x+π3)，
然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，
即g(x)=3cs(2x+π3)−1，
∵−4≤g(x)≤2，
∴若g(x1)g(x2)=16，则必有g(x1)=g(x2)=−4，
由(x)=3cs(2x+π3)−1=−4，得cs(2x+π3)=−1，
即2x+π3=2kπ+π，得x=kπ+π3，k∈Z，
∵g(x1)=g(x2)=−4，
∴x1=k1π+π3，k1∈Z，x2=k2π+π3，k2∈Z，
∵x1，x2∈[−2π,2π]，∴若2x1−x2的最大值，则必有x1最大，x2最小，
则当k1=1时，x1最大为x1=π+π3=4π3，当k2=−2时，x2最小为x2=−2π+π3=−5π3，
则2x1−x2的最大值为2×4π3−(−5π3)=13π3，
故选：A．
根据三角函数的图象变换关系求出g(x)，结合函数的最值得到g(x1)=g(x2)=−4，然后结合最值性质求出x1，x2的值进行计算即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，结合函数最值是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据集合与元素间的关系可得，0∉⌀，⌀⊆{0}，⌀⫋{⌀}均正确，而{⌀}⊈{0}，
故选：ABD．
根据集合与元素间的关系以及空集的定义可解．
本题考查集合与元素，集合与集合间的关系，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，函数f(x)=ex+e−xex−e−x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故A错误；
对于B，f(−x)=ex+e−xe−x−ex=−(ex+e−xex−e−x)=−f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；
对于C，法1°：f(−1)=e−1+e1e−1−e1=e2+11−e2<0，同理得f(1)=e2+1e2−1>0，f(−1)
当x→−∞，f(x)→−1，x→0−时，f(x)→−∞，当x→0+时，f(x)→+∞，x→+∞，f(x)→1，
所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；
对于D，由上面的分析知，f(x)的值域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，
所以f(x)无最小值，也无最大值，故D正确；
故选：BD．
分析f(x)的定义域、值域、奇偶性及单调性可得答案．
本题考查函数的定义域、值域、奇偶性与单调性的应用，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，
函数f(x)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴，即0≤(1+4k)π4ω≤π有4个整数k符合，
由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，
则k=0，1，2，3，
即1+4×3≤4ω<1+4×4，
∴134≤ω<174，故C正确；
对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈[π4,ωπ+π4),
∴ωπ+π4∈(7π2,9π2)，
当ωx+π4∈[π4,7π2)时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；
当ωx+π4∈[π4,9π2)时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点；故A错误；
对于B，周期T=2πω，由134≤ω<174，则417<1ω≤413，
∴8π17
对于D，∵x∈(0,π15)，∴ωx+π4∈(π4,ωπ15+π4)，
又ω∈[134,174),∴ωπ15+π4∈(7π15,8π15),
又8π15>π2，所以f(x)在区间(0,π15)上不一定单调递增，故D错误．
故选：BC．
令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z，则x=(1+4k)π4ω,k∈Z，由函数f(x)在区间0，π]上有且仅有4条对称轴，即0≤(1+4k)π4ω≤π有4个整数k符合，可求出ω∈[134,174)判断C，再利用三角函数的性质可依次判断ABD．
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：∵a，b均为正数，且a+2b=1，
∴由基本不等式可得，1=a+2b≥2 2ab，解得ab≤18，
当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时等号成立，故A选项错误；
1a+2b=(1a+2b)(a+2b)=1+2ba+2ab+4≥5+2 2ba⋅2ab=9，当且仅当2ba=2ab即a=b=13时，等号成立，故B选项正确；
∵a=1−2b>0b>0，∴0
(a+1)(b+1)=2(a+b)(a+3b)=2(a2+4ab+3b2)=2[(a+2b)2−b2]=2(1−b2)<2，故D错误．
故选：BC．
根据a>0，b>0，且a+2b=1，结合基本不等式即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
13.【答案】−2
【解析】解：∵x>1，∴1x−x=1−x2x<0，
∵(1x−x)2=1x2+x2−2=(1x+x)2−4=4，
∴1x−x=−2．
故答案为：−2．
将1x−x平方，利用完全平方公式化简，并将已知方程代入即可．
本题考查有理数指数幂的运算，属于基础题．
14.【答案】4π3− 3
【解析】解：连接AG，FG，则△AFG是边长为2的等边三角形，
所以△AFG的面积S1=12×2× 3= 3，
因为正六边形ABCDEF，所以∠FAB=2π3，
所以扇形FAB的面积为S2=12×2π3×22=4π3，
由割补法可知，阴影部分的面积S=S2−S1=4π3− 3．
故答案为：4π3− 3．
连接AG，FG，由割补法可知，阴影部分的面积=扇形FAB的面积−△AFG的面积，得解．
本题考查扇形的面积公式，熟练掌握割补法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】−2tanx
【解析】解：因为x是第二象限的角，
所以 1+sinx1−sinx− 1−sinx1+sinx= (1+sinx)2(1−sinx)(1+sinx)− (1−sinx)2(1+sinx)(1−sinx)=1+sinx|csx|−1−sinx|csx|=−1+sinxcsx+1−sinxcsx=−2sinxcsx=−2tanx．
故答案为：−2tanx．
由已知结合同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】4 3−2
【解析】【分析】
本题考查代数式的最小值的求法，考查导数性质、基本不等式、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
构造函数f(x)=x3+5x，由f′(x)=3x2+5>0，得f(x)=x3+5x在R上是增函数，由
f(2b+1)=8(b+1)3+10b+1≤a3+5a=f(a)，得到2b+1≤a恒成立，由此能求出3a+2b的最小值．
【解答】
解：构造函数f(x)=x3+5x，则f′(x)=3x2+5>0，
∴f(x)=x3+5x在R上是增函数，
∵f(2b+1)=8(b+1)3+10b+1≤a3+5a=f(a)，
∴2b+1≤a恒成立，
∴3a+2b≥6b+1+2b=2[(b+1)+3b+1]−2≥4 3−2，
当且仅当a=2b+1b+1=3b+1，即a=2 33b= 3−1时取等号，
∴3a+2b的最小值是4 3−2．
故答案为：4 3−2．
17.【答案】解：(1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1
=[(0.3)3]−13−36+(34)0.75+1−13
=103−36+27+1−13=−5；
(2)lg2 2+lg927+3lg316
=12lg22+32lg33+16
=12+32+16=18．
【解析】(1)利用指数运算公式化简即可；
(2)利用公式lganbm=mn⋅lgab化简即可．
本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题．
18.【答案】解：集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)当B=⌀时，则m+1>2m−1，可得m<2时，满足B⊆A．
当B≠⌀时，m+1≤2m−1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需m+1≥−22m−1≤5，
可得2≤m≤3，
综上，m的取值范围是(−∞,3)．
【解析】(1)根据集合的运算，B⊆A，对B讨论，即可求实数m的取值范围；
(2)根据A∩B=⌀，建立关系式，即可求实数m的取值范围．
本题考查了集合中基本运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵α是第三象限角，且tanα=12，
∴cs2α=11+tan2α=45，
则sinα=− 1−cs2α=− 55，csα=−2 55；
(2)1+2sin(π−α)cs(−2π−α)sin2(−α)−sin2(3π2−α)=1+2sinαcsαsin2α−cs2α
=(sinα+csα)2(sinα−csα)(sinα+csα)
=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1
=−3．
【解析】(1)由α为第三象限角，且tanα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cs2α的值，即可确定出sinα，csα的值；
(2)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可知f(12)=112k=1，故k=2；
(2)因为k=2，所以f(t)=2t,0
所以0
由23−38=724，故对人体有害的时间为724h．
【解析】(1)把t=12代入即可求得k的值；
(2)根据f(t)≥34，通过分段讨论列出不等式组，从而求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)∵由题意可得T=π，
∴2π2ω=π，即ω=1，
即f(x)=2sin(2x+π6)+1，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
则f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．
(2)因为x∈[−π2,0]，
所以−5π6≤2x+π6≤π6，
所以当2x+π6=−π2，即x=−π3时，取最小值−1；
当2x+π6=π6，即x=0时，取最大值2．
【解析】(1)由题意可求函数周期，进而利用周期公式即可求解ω的值，利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；
(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步即可求出函数的最值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
且f(x)−g(x)=m1−x，①
又因为f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，
所以f(−x)−g(−x)=m1+x，
即f(x)+g(x)=m1+x，②
由①+②解得f(x)=12(m1−x+m1+x)，
①−②解得g(x)=12(m1+x−m1−x)；
(Ⅱ)所以f(x)+g(x)=12(m1−x+m1+x)+12(−m1−x+m1+x)=m1+x，
所以1m[f(x)+g(x)]=mx，
所以h(x)=|1m[f(x)+g(x)]−1|=|mx−1|，m>1，
作出h(x)的图象，如图所示：
又因为方程[h(x)]2−2kh(x)+k2−116=0恰有三个解，
即方程[h(x)]2−2kh(x)+(k−14)(k+14)=0恰有三个解，
所以[h(x)−(k−14)][h(x)−(k−14)]=0恰有三个解，
解得h(x)=k−14或h(x)=k+14，
又因为k−14
所以0
【解析】(Ⅰ)根据奇函数、偶函数的性质求解即可；
(Ⅱ)先求得h(x)=|mx−1|，m>1，作出图象，将问题转化为h(x)的图象与y=k−14的图象有2个交点且与y=k+14有一个交点，结合图象列出不等式组，求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
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