2022-2023学年广东省揭阳市高一（上）期末数学试卷（含解析）

展开

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|−2A. {2}B. {4,5}C. {3,4}D. {2,3}
2.命题“∃x∈R，x2−4x+3<0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2−4x+3<0B. ∃x∈R，x2−4x+3>0
C. ∀x∈R，x2−4x+3≥0D. ∃x∈R，x2−4x+3≥0
3.“x=−1”是“x2−2x+3=0”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y=−x3B. y=1xC. y=|x|D. y=1x2
5.已知角α终边上一点M的坐标为(1, 3)，则sinα等于( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
6.若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A. B.
C. D.
7.已知x>0，y>0，且满足x+6y=6，则xy有( )
A. 最大值32B. 最小值32C. 最大值1D. 最小值1
8.设abc>0，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若ab，则a2>ab
C. 若a>b>0，则ab>b2D. 若|a|>|b|，则a2>b2
10.若集合A，B满足：∃x∈A，x∉B，则下列关系可能成立的是( )
A. A⊆BB. A∩B≠⌀C. B⊆AD. A∩B=⌀
11.对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m,n]⊆D，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]上是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是( )
A. f(x)=2xB. f(x)=x2−2xC. f(x)=x3D. f(x)=lnx+2
12.设函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω,φ是常数，ω>0，0<φ<π2)，若f(x)在区间[−π24,5π24]上具有单调性，且f(−π24)=−f(5π24)=−f(11π24)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的周期为π
B. f(x)的单调递减区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)
C. f(x)的对称轴为x=π12+kπ2(k∈z)
D. f(x)的图象可由g(x)=sinωx的图象向左平移5π12个单位得到
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.sinα+π2+cs32π−αsinπ+α+cs−α=__________．
14.写一个定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)的幂函数f(x)= ．
15.定义域为R的函数f(x)满足条件：
①∀x1，x2>0，x1≠x2，恒有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0；
②f(x)−f(−x)=0；
③f(−3)=0，
则不等式xf(x)<0的解集是．
16.设0≤α≤π，不等式8x2−(8sinα)x+cs2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)已知扇形的圆心角是α=60°，半径为R=10cm，求扇形的弧长l；
(2)2lg2+lg25−22−lg26−23ln e．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
19.(本小题12分)
若f(x)=ax2−(a+1)x+1，a∈R．
(Ⅰ)若f(x)<0的解集为(14,1)，求a的值；
(Ⅱ)当a>0时，求关于x的不等式f(x)<0的解集．
20.(本小题12分)
为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆.为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)．
(1)求函数y=f(x)；
(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
21.(本小题12分)
某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y(单位：千辆)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记为y=f(t)，如表是某日桥上的车流量的数据：
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看做函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0，ω>0，b>0，−π≤φ≤0)的图象．
(1)根据以上数据，求函数y=f(t)的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−2x2x+1．
(1)求f(−2)+f(2)的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)若g(x)=(f(x))2−4a2x+1+2a，且对任意的x1，x2∈R，都有|g(x1)−g(x2)|<3，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求(∁RA)∩B．
【解答】
解：∵A={x|−2∵B={2,3,4,5}，
∴(∁RA)∩B={4,5}，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：因为存在量词的命题的否定是全称量词的命题，
命题“∃x∈R，x2−4x+3<0”是存在量词的命题，
所以命题“∃x∈R，x2−4x+3<0”的否定是“∀x∈R，x2−4x+3≥0”．
故选：C．
根据存在量词的命题的否定是全称量词的命题解答．
本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解法，充分条件与必要条件的概念，属于基础题．
先得到方程x2−2x+3=0无实数根，再利用充分条件与必要条件的概念判定即可．
【解答】
解：∵x2−2x+3=0的判别式Δ=4−12=−8<0，
∴方程x2−2x+3=0无实数根，
∴x=−1是x2−2x+3=0的既不充分也不必要条件．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，y=−x3是奇函数，故不符合题意；
对于B，y=1x是奇函数，故不符合题意；
对于C，y=|x|是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，故不符合题意；
对于D，y=1x2是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，故符合题意；
故选：D．
由常见函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由三角函数的定义知，sinα= 3 12+( 3)2= 32．
故选：D．
直接根据正弦函数的定义，即可得解．
本题考查正弦函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．
故选B．
根据实际情况即可解答
解答一次函数的应用题时，必须考虑自变量的取值范围要使实际问题有意义．
7.【答案】A
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+6y=6，
所以xy=16⋅x⋅6y≤16⋅(x+6y2)2=16×(62)2=32，
当且仅当x=6y，即x=3，y=12时取“=”，
所以xy有最大值为32；
又x=6−6y>0，所以0所以xy=(6−6y)y=−6y2+6y=−6(y−12)2+32，
所以xy没有没有最小值．
故选：A．
根据题意，利用基本不等式即可求出xy的最大值为32，判断xy无最小值．
本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：当a>0时，因为abc>0，所以b、c同号，由(C)(D)两图中可知c<0，
故b<0，∴−b2a>0，即函数对称轴在y轴右侧，C不正确，选项(D)符合题意．
显然a<0时，开口向下，因为abc>0，所以b、c异号，
对于A、由图象可知c<0，则b>0，对称轴−b2a>0，A不正确；
对于B，c>0，对称轴−b2a<0，B选项不正确．
故选：D．
当a>0时，二次函数开口向上，判断C、D中c的符号，再确定b的符号，判断C、D的正误，
当a<0时，同样的方法判断A、B的正误．
根据二次函数图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．是常考题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2=0，A错误；
对于B，若a=0，则a2=ab=0，B错误；
对于C，若a>b>0，根据不等式性质可得：ab>b2，C正确；
对于D，若|a|>|b|，根据不等式性质可得：|a|2>|b|2，即a2>b2，故D正确．
故选：CD．
根据不等式性质分析判断．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：存在当A={1,2,3}，B={1,2}时，满足“∃x∈A，x∉B”，
且有A∩B≠⌀，B⊆A，则B正确，C正确；
存在当A={1,2}，B={3,4}时满足条件“∃x∈A，x∉B”且有A∩B=⌀，则D正确；
若A⊆B，则∀x∈A，都有x∈B，与“∃x∈A，x∉B”矛盾，
那么A不可能是B的子集，则A错误．
故选：BCD．
根据题意可具体“举例子”说明B，C，D选项可能成立；用“反证法”说明A一定不成立．
本题主要考查集合间的基本关系，解题的关键是找具体的例子使得选项“可能成立”，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f(x)=x至少有两个解，
对于A选项，函数f(x)=2x在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，故错误；
对于B选项，函数f(x)=x2−2x在(1,+∞)上单调递增，且x2−2x=x有解0(舍)，3，不满足条件，故错误；
对于C选项，函数f(x)=x3在定义域R上单调递增，且x3=x有解−1，0，1，满足条件，故正确；
对于D选项，函数f(x)=lnx+2在(0,+∞)上单调递增，显然函数f(x)=lnx+2与函数y=x在(0,+∞)上有两个交点，即lnx+2=x有两个解，满足条件，故正确．
故选：CD．
由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f(x)=x至少有两个解，逐项判断即可．
本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．
12.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω,φ是常数，ω>0，0<φ<π2)，
若f(x)在区间[−π24,5π24]上具有单调性，则12⋅2πω≥5π24+π24，∴ω≤6．
∵f(−π24)=−f(5π24)=−f(11π24)，
则f(x)的图象关于点(π12,0)对称，∴f(x)的图象关于直线x=π3对称，
∴ω×π12+φ=kπ+π2，k∈Z①，且ω×π3+φ=nπ，k、n∈Z．
两式相减，可得ω=4(n−k)−2，故ω=2或ω=6．
当ω=2时，则由①可得φ=π3，f(x)=cs(2x+π3).
当当ω=6时，则由②可得φ不存在．
综上f(x)=cs(2x+π3).
故它的周期为2π2=π，A正确；
令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，求得kπ−π6≤x≤kπ+π3，可得函数的减区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，
故B正确．
令2x+π3=kπ，求得x=kπ2−π6，故f(x)的对称轴为x=kπ2−π6，k∈Z，故C错误；
由g(x)=sin2x的图象向左平移5π12个单位得到，y=sin(2x+5π6)=cs(2x+π3)的图象，
故D正确，
故选：ABD．
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：sin(α+π2)+cs(32π−α)sin(π+α)+cs(−α)=csα−sinα−sinα+csα=1．
故答案为：1．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
14.【答案】 x(答案不唯一)
【解析】【分析】
利用幂函数的性质求解．
本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．
【解答】
解：幂函数f(x)= x的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，符合题意，
故答案为： x(答案不唯一)．
15.【答案】(−∞,−3)∪(0,3)
【解析】解：①∀x1，x2>0，x1≠x2，恒有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②f(x)−f(−x)=0，f(x)=f(−x)，
所以f(x)是偶函数；所以f(x)在(−∞,0)上递减；
③f(−3)=0=f(3)；
不等式xf(x)<0可转化为x<0f(x)>0或x>0f(x)<0，
所以不等式的解集是(−∞,−3)∪(0,3)．
故答案为：(−∞,−3)∪(0,3)．
结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】[0,π6]∪[5π6,π]
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．
由题意可得，△=64sin2α−32cs2α≤0对x∈R恒成立即2sin2α−(1−2sin2α)≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．
【解答】
解：由题意可得，△=64sin2α−32cs2α≤0，
得2sin2α−(1−2sin2α)≤0
∴sin2α≤14，
−12≤sinα≤12，
∵0≤α≤π
∴α∈[0,π6]∪[5π6,π]．
故答案为[0,π6]∪[5π6,π]．
17.【答案】解：(1)因为α=60°=π3rad，
所以l=αR=10π3cm．
(2)原式=lg4+lg25−222lg26−23×12=lg100−23−13=2−1=1．
【解析】(1)根据弧长公式计算即可；
(2)应用指数对数运算律化简求值．
本题主要考查了弧长公式，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
所以π=2πω，可得ω=2，可得f(x)=2sin(2x+π3)，
所以f(π6)=2sin(2×π6+π3)= 3；
(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+π3)，
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
可得函数f(x)的单调递减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z．
【解析】(1)由题意利用正弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，即可计算求解．
(2)利用正弦函数的单调性即可求解．
本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)<0，可化为ax2−(a+1)x+1<0，
由不等式f(x)<0的解集为(14,1)，所以14和1是方程ax2−(a+1)x+1=0的实数根，
由根与系数的关系知，1+14=a+1a1×14=1a，解得a=4；
(Ⅱ)不等式ax2−(a+1)x+1<0可化为(x−1)(ax−1)<0，
对应方程ax2−(a+1)x+1=0的实数根为1和1a，
当01，解不等式得1当a>1时，1a<1，解不等式得1a当a=1时，1a=1，解不等式得x∈⌀，
综上知，a>1时，不等式解集为{x|1a0a=1时，不等式解集为⌀．
【解析】本题主要考查了含参数的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想及运算求解能力，是中档题．
(Ⅰ)不等式化为ax2−(a+1)x+1<0，由不等式的解集与对应方程的关系，即可求出a的值；
(Ⅱ)不等式可化为(x−1)(ax−1)<0，讨论a与1的大小，即可求出不等式的解集．
20.【答案】解：(1)当x≤5时，y=60x−120，令60x−120>0得，x>2，又∵x∈N*，∴2≤x≤5，
当x>5时，y=[60−2(x−5)]x−120=−2x2+70x−120，
令[60−2(x−5)]x−120>0，得x2−35x+60<0，又∵x∈N*，∴1≤x≤33，∴5综上所述，y=f(x)=60x−120,(3≤x≤5,x∈N*)−2x2+70x−120,(5(2)当2≤x≤5时，f(x)=60x−120，显然x=5时，f(x)的值最大，最大值为f(5)=180，
当5∴x=17或18时，f(x)的值最大，最大值为f(17)=492，
综上所述，当每辆电动观光车的日租金为17元或18元时，才能使一日的净收入最多．
【解析】(1)一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得即为净收入，根据题意建立函数关系即可；
(2)根据函数解析式，利用一次函数、二次函数、分段函数，求出最值．
本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
21.【答案】解(1)A=ymax−ymin2=5−12=2，b=ymax+ymin2=5+12=3，
T=12，ω=2πT=2π12=π6，
由ω×9+φ=π2，得π6×9+φ=π2，解得φ=−π2，
函数y=f(t)的近似解析式是y=2sin(π6t−π2)+3，(0≤t≤24)
(2)依题意由y≥4，得2sin(π6t−π2)+3≥4，得sin(π6t−π2)≥12，
∵0≤t≤24，∴−π2≤π6t−π2≤72π，
结合正弦函数的图象可得π6≤π6t−π2≤5π6或13π6≤π6t−π2≤17π6，
解得4≤t≤6或16≤t≤20．
所以估计一天内将有6小时不允许这种货车通行．
【解析】(1)根据函数的最大最小值可求出A和b，根据周期求出ω，根据一个最高点的横坐标可求得φ；
(2)解不等式y≥4可得．
本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．
22.【答案】解：(1)f(−2)+f(2)=1−2−22−2+1+1−2222+1=1−1414+1+1−44+1=35−35=0；
(2)f(x)=−(2x+1)+22x+1=22x+1−1，
因为2x>0，
所以2x+1>1，0<22x+1<2，
即−1<22x+1−1<1，
所以函数f(x)的值域为(−1,1)；
(3)g(x)=(f(x))2−4a2x+1+2a
=(f(x))2−2a(22x+1−1)=(f(x))2−2af(x)，
令f(x)=t，则g(x)=h(t)=t2−2at，t∈(−1,1)，
函数h(t)的对称轴为t=a，
①当a≥1时，函数h(t)在(−1,1)上单调递减，
所以|g(x1)−g(x2)|所以(1+2a)−(1−2a)≤3，解得a≤34，此时a的取值不存在；
②当a≤−1时，函数h(t)在(−1,1)上单调递增，
所以|g(x1)−g(x2)|所以(1−2a)−(1+2a)≤3，解得a≥−34，此时a的取值不存在；
③当−1所以|g(x1)−g(x2)|即1+2a−(−a2)≤3，且1−2a−(−a2)≤3，
从而a的范围为1− 3≤a≤ 3−1．
综上，实数a的取值范围为1− 3≤a≤ 3−1，
即a的取值范围是[1− 3, 3−1]．
【解析】本题考查函数的单调性和求值，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
(1)代入x=2，x=−2，计算可得所求和；
(2)由指数函数的值域和不等式的性质，可得所求值域；
(3)运用换元法，令f(x)=t，则g(x)=h(t)=t2−2at，t∈(−1,1)，讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性可得最值，解不等式可得所求范围．t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(千辆)
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1