备考2024届高考物理一轮复习讲义第四章曲线运动第2讲抛体运动考点4斜抛运动

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在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，如图所示，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐.这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐的距离为9.8m，不考虑空气阻力，g取10m/s2.
（1）篮球进筐的速度有多大？
（2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少？
答案 （1）72m/s （2）2.45m
解析 （1）篮球从投出点运动到最高点过程中在水平方向做匀速直线运动，有v0tcs45°＝x2，其中x＝9.8m，在竖直方向做匀减速直线运动，有v0sin45°＝gt，解得篮球的初速度v0＝72m/s，运动至最高点的时间t＝0.7s.根据斜抛运动的对称性可知，篮球进筐的速度等于篮球的初速度，为72m/s.
（2）篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h＝12gt2＝2.45m.
研透高考 明确方向
9.[逆向分析斜抛]如图所示，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点.后来该运动员后退到更远处将篮球从与B点等高的C点以速度v1斜向上抛出，篮球仍垂直击中篮板上A点.关于两次投篮的比较，下列选项正确的是（ D ）
A.v1＜v0，θ1＞θ0B.v1＜v0，θ1＜θ0
C.v1＞v0，θ1＞θ0D.v1＞v0，θ1＜θ0
解析 两次斜抛运动均可看作从篮板上A点做平抛运动的逆过程，第一次抛到B点，第二次抛到C点，下落的高度相同，因此运动时间相同，竖直分速度相同，落到C点时说明篮球的水平分速度更大，速度与水平面的夹角更小，因此v1＞v0，θ1＜θ0，A、B、C错误，D正确.
10.[平抛与斜抛综合/2023湖南]如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种.某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上.忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ B ）
图（a） 图（b）
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
解析 竖直方向只受重力→两谷粒加速度a＝g，A错从O到P位移相同→谷粒2先上升后下降，用时更长，即t2＞t1，C错
水平方向从O到P位移相同谷粒2在最高点只有水平速度v1＞v2水平，B对
谷粒合位移xOPv1＞v2，D错
11.[斜抛中的极值问题/2024江西赣州模拟]某同学在水平地面上方高h处以一定大小的速度v0抛出一小球，当其速度方向不同时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则最大射程为（ D ）
A.2v02gB.v02+2ghg
C.h＋v02gD.v0v02+2ghg
解析 解法1：三角函数公式＋判别式
设小球被抛出时速度v0与水平方向夹角为θ，则
x＝v0csθ·t
h＝－v0sinθ·t＋12gt2
由于sin2θ＋cs2θ＝1，因此有（xv0t）2＋（12gt2－hv0t）2＝1，整理得
14g2t4－（gh＋v02）t2＋h2＋x2＝0
要使x最大，t应有唯一解，即
Δ＝（gh＋v02）2－4×14g2×（h2＋xm2）＝0
解得xm＝v0gv02+2gh.D正确.
解法2：位移矢量图＋配方
将小球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，其位移矢量图如图所示.由几何知识可知x2＝（v0t）2－（12gt2－h）2＝－14g2t4＋（gh＋v02）t2－h2＝
－14g2[t2－2（gh＋v02）g2]2＋v02（2gh＋v02）g2
当t2＝2（gh＋v02）g2，即t＝2（gh＋v02）g时，有最大射程xm＝v0v02+2ghg.D正确.
解法3：速度矢量三角形＋数形结合
设小球落地时速度v与水平地面夹角为α，则v与初速度v0、竖直分速度gt构成速度矢量三角形，如图所示.
三角形“面积”S△＝12×gt×v0csθ＝12×v×v0sin（α＋θ）
根据机械能守恒定律有12mv2＝12mv02＋mgh
又x＝v0csθ·t
以上各式联立得gx＝v0v02+2ghsin（α＋θ）
即x＝v0v02+2ghgsin（α＋θ）
由此可知，当α＋θ＝90°时，有最大射程xm＝v0v02+2ghg.D正确.
方法点拨
分析斜抛运动的两种方法
1.正交分解法：通常分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动.有时为了方便解决某个问题，可选取某个方向垂直于该方向的正交坐标轴进行分解.
2.逆向思维法：对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.