备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用突破2利用导数研究恒能成立问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用突破2利用导数研究恒能成立问题，共2页。试卷主要包含了[命题点1]已知函数f，[命题点3]已知函数f等内容，欢迎下载使用。

A.（－∞，－12]∪[1，＋∞）
B.（－∞，－1]∪[12，＋∞）
C.（－∞，0]∪[12，＋∞）
D.（－∞，－12]∪[0，＋∞）
解析 对函数f（x）求导可得，f'（x）＝f '(1）eex＋f（0）·x－1，∴f'（1）＝f'（1）＋
f（0）－1，得f（0）＝1.又f（0）＝f '(1）e，∴f'（1）＝e.故f（x）＝ex＋12x2－x，f'（x）＝ex＋x－1，易得导函数f'（x）单调递增，f'（0）＝0，故f（x）min＝f（0）＝1.由存在性的条件可得关于实数n的不等式2n2－n≥1，解得n∈（－∞，－12]∪[1，＋∞）.
2.[命题点2/2023山东潍坊4月模拟改编]已知函数f（x）＝14x3－x2sin α＋x＋1，证明：存在α∈[－π6，π2]，使得不等式f（x）＞ex有解.
解析 要证存在α∈[－π6，π2]，使得f（x）＞ex有解，只需证存在α∈[－π6，π2]，使得
（14x3－x2sin α＋x＋1）e－x＞1有解.
因为α∈[－π6，π2]，所以－1≤－sin α≤12，所以－x2sin α≤12x2，
当α＝－π6时，等号成立.
所以（14x3－x2sin α＋x＋1）e－x≤（14x3＋12x2＋x＋1）e－x.所以只需证[（14x3＋12x2＋x＋1）·
e－x]max＞1.
设函数g（x）＝（14x3＋12x2＋x＋1）e－x，则g'（x）＝－14x2（x－1）e－x.
当x∈（－∞，1）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增，当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（1）.
因为g（1）＝14＋12+1+1e＝2.75e＞1，
所以存在α∈[－π6，π2]，使得不等式f（x）＞ex有解.
3.[命题点3]已知函数f（x）＝x＋alnx（a∈R），g（x）＝ex－1（e为自然对数的底数）.
（1）若直线y＝0与函数y＝f（x）的图象相切，求a的值；
（2）设a＞0，∀x1，x2∈[3，＋∞）（x1≠x2），都有｜f（x1）－f（x2）｜＜｜g（x1）－
g（x2）｜，求实数a的取值范围.
解析 （1）易知a≠0，f'（x）＝1＋ax，设切点坐标为（x0，0），则1＋ax0＝0，解得x0＝－a，所以－a＋aln（－a）＝0，所以a＝－e.
（2）因为a＞0，所以x∈[3，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在[3，＋∞）上为增函数；因为g'（x）＝ex＞0，所以g（x）在[3，＋∞）上为增函数.
不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），g（x1）＜g（x2），
所以｜f（x1）－f（x2）｜＜｜g（x1）－g（x2）｜可转化为f（x2）－f（x1）＜g（x2）－
g（x1），
即f（x1）－g（x1）＞f（x2）－g（x2）.
设h（x）＝f（x）－g（x）＝x＋alnx－ex＋1，则h（x）在[3，＋∞）上为减函数，
h'（x）＝1＋ax－ex≤0在[3，＋∞）上恒成立，即∀x∈[3，＋∞），xex－x≥a恒成立.
设v（x）＝xex－x，x∈[3，＋∞），则v'（x）＝ex＋xex－1＞0，所以v（x）＝xex－x在[3，＋∞）上为增函数，所以v（x）min＝3e3－3，所以a≤3e3－3.
故a的取值范围为（0，3e3－3].